2023届高考数学一轮复习-助学培优11-解决数列问题的七大常用技巧.doc

助学培优11　解决数列问题的七大常用技巧[学生用书P168]
技巧一　巧用性质减少运算
(1)一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为(　　)
A．180 B.108
C.75 D.63
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SkSk＋1<0的正整数k＝__________．
【解析】　(1)由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，
即S21－S14＝3，所以S21＝63.
(2)依题意得a6＝S6－S5>0，
a7＝S7－S6<0，a6＋a7＝S7－S5>0，
则S11＝＝11a6>0，
S12＝＝>0，
S13＝＝13a7<0，
所以S12S13<0，即满足SkSk＋1<0的正整数k＝12.
【答案】　(1)D　(2)12

等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上利用性质使用公式．
技巧二　巧用升降角标法实现转化
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
【解】　当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，
得an＝2Sn－1＋3，
两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
所以an＋1＝3an，
所以＝3.
当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以an＝3×3n－1＝3n.

在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．
技巧三　巧用不完全归纳找规律
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 021＝__________．
【解析】　由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3＋1＝－2，a5＝－a4＋cos 5π＝2－1＝1，…，由此可知，数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝－2，所以S2 021＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 021＝505×(－2)＋a1＝－1 009.
【答案】　－1 009

解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律，如周期性等．
技巧四　巧用辅助数列求通项
(1)(多选)若数列{an}满足a1＝3，an＝3an－1＋3n(n≥2)，则(　　)
A.是等差数列
B.是等比数列
C．数列{an}的通项公式an＝n·3n
D．数列{an}的通项公式an＝
(2)设数列{an}满足a1＝2，an＋1－4an＝3×2n＋1，则数列{an}的通项公式为________．
【解析】　(1)在数列{an}中，当n≥2时，an＝3an－1＋3n，即＝＋1，而a1＝3，即＝1，则是首项为1，公差为1的等差数列，
因此，＝1＋(n－1)×1＝n，an＝n·3n，
所以AC正确．
(2)由an＋1－4an＝3×2n＋1得，－＝3，
设bn＝，则bn＋1＝2bn＋3，设bn＋1＋t＝2(bn＋t)，所以2t－t＝3，解得t＝3，所以bn＋1＋3＝2(bn＋3)，所以＝2，又b1＋3＝＋3＝1＋3＝4，所以数列{bn＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以bn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－3，所以an＝bn·2n＝(2n＋1－3)×2n＝22n＋1－3×2n.
【答案】　(1)AC　(2)an＝22n＋1－3×2n

已知数列的递推式求数列的通项公式时，基本思路就是通过变换递推式把其转化为等差数列、等比数列(辅助数列)，求出辅助数列的通项，再通过变换求出原数列的通项公式．
(1)当出现an＝an－1＋m(n≥2)时，构造等差数列；
(2)当出现an＝xan－1＋y(n≥2)时，构造等比数列．
技巧五　巧用裂项求和
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，若数列{Sn＋1}是公比为4的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】　(1)由题意知Sn＋1＝(S1＋1)·4n－1＝4n，
所以Sn＝4n－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3·4n－1，且a1＝3满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝3·4n－1.
(2)bn＝＝
＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝×＋×＋…＋×
＝＝－.

裂项相消法是数列求和的基本方法之一，在通项为分式的情况下，注意尝试裂项，裂项的基本原则是an＝f(n)－f(n＋1)．
技巧六　巧用分组妙求和
若数列{an}的通项公式为an＝22n＋1，令bn＝(－1)n－1×，则数列{bn}的前n项和Tn＝____________．
【解析】　由题意得bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1
＝(－1)n－1，
当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝－，
当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝＋，
所以Tn＝－(－1)n.
【答案】　－(－1)n

分组求和方法是分类与整合思想在数列求和问题中的具体体现，其基本特点是把求和目标分成若干部分，先求出部分和，再整合部分和的结果得出整体和．
技巧七　巧用特值验算保准确
已知数列{an}的通项公式为an＝，则其前n项和Sn＝__________．
【解析】　由题知Sn＝＋＋＋…＋，
2Sn＝2＋＋＋…＋，
两式相减得Sn＝2＋＋＋…＋－，
Sn＝2＋－＝5－.
【答案】　5－

使用“错位相减法”求和的方法学生都能够掌握，但求解的结果容易出现错误，应该在求出结果后使用a1＝S1进行检验，如果出现a1≠S1，则说明运算结果一定错误，这时可以检查解题过程找出错误、矫正运算结果．