2020北京初二(上)期中数学汇编：函数和函数的图象.docx

2020北京初二（上）期中数学汇编
函数和函数的图象
一、单选题
1．（2020·北京市第八十中学实验学校温榆河分校八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4，0)，点P到点O和点A的距离相等，则关于点P的坐标描述正确的是（   ）

A．点P的纵坐标为2，横坐标为任意实数
B．点P的横坐标为2，纵坐标为任意实数
C．点P的坐标为(2，0)
D．点P的坐标无法确定
2．（2020·北京市第六十六中学八年级期中）点关于轴的对称点是（    ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）点P（4，5）关于x轴对称点的坐标是 (    )
A．（﹣4，﹣5） B．（﹣4，5） C．（4，﹣5） D．（5，4）
二、填空题
4．（2020·北京交通大学附属中学分校八年级期中）若A（x，4）关于y轴的对称点是B（﹣3，y），则x=____，y=____．点A关于x轴的对称点的坐标是____．
5．（2020·北京师大附中八年级期中）请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“达才”的对应口令是“成德”．根据你发现的“密钥”，破译出“求实”的对应口令是__________．

6．（2020·北京市第十九中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，∠AOB=50°，AB⊥x轴于B，点C在y轴正半轴上运动，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是________．  

7．（2020·北京·临川学校八年级期中）某机器工作时，油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的关系式为．当时，________．
8．（2020·北京二中八年级期中）在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为_________________________________________．

9．（2020·北京·临川学校八年级期中）点P（3a+6，3-a）关于x轴的对称点在第四象限内，则a的取值范围为_________．
三、解答题
10．（2020·北京市陈经纶中学分校八年级期中）对于平面直角坐标系中的线段及点Q，给出如下定义：若点Q满足，则称点Q为线段的“中垂点”；当时，称点Q线段的“完美中垂点”．

(1)如图1，，下列各点中，线段的中垂点是_____________．

(2)如图2，点A为x轴上一点，若为线段的“完美中垂点”，写出线段的两个“完美中垂点”是__________和__________．
(3)如图3，若点A为x轴正半轴上一点，点Q为线段的“完美中垂点”，点在y轴正半轴上．
①请用尺规作图在线段上方做出线段的“完美中垂点”M
②求（用含m的式子表示）及．
11．（2020·北京市朝阳区芳草地国际学校富力分校八年级期中）对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．

(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在，，， 中，线段AB的“近轴点”是 ；
(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围______；
②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，直接写出点Q的坐标．
12．（2020·北京师大附中八年级期中）在平面直角坐标系中， 对任意的点， 定义 的绝对坐标，任取点，，，，若此时成立，则称点，相关．

（1）分别判断下面各组中两点是相关点的是 ．
①，．
②，．
（2）对于点 ，  其中，，其中，是整数．则所有满足条件的点有 个；
求所有满足条件的所有点中与点相关的点的个数；
对于满足条件的所有点中取出个点，满足在这个点中任意选择 ，两点，点 ，都相关，求的最大值．
13．（2020·北京市第八十中学实验学校温榆河分校八年级期中）如图，画出关于y轴对称的，并写出点的坐标．

14．（2020·北京市广渠门中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点．

（1）求证：；
（2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．）
（3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由．
15．（2020·北京市第四十三中学八年级期中）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即．

（1）若点的“属派生点”的坐标为，求点的坐标；
（2）若点在轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且线段的长度为线段长度的倍，求的值；
（3）如图，已知点，点是轴上一点，且是点的“属派生点”，以线段为一边，在其一侧作如图所示等边三角线．现点沿轴运动，当点运动到原点处时，记的位置为．问三角形的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由．
16．（2020·北京市第十九中学八年级期中）作图题（不写作法）
已知：如下图所示.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(3)在x轴上确定点P，使PA+PC最小．

参考答案
1．B
【分析】由到点O和点A的距离相等，则点在的垂直平分线上，再逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：如图，到点O和点A的距离相等，
则点在的垂直平分线上，

所以：点P的纵坐标为2，横坐标为任意实数，故错误；
点P的横坐标为2，纵坐标为任意实数，故正确；
点P的坐标为(2，0)，故错误；
点P的坐标无法确定，故错误；
故选：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
2．D
【分析】关于轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数.
【详解】解：关于轴的对称点是，
故选D.
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数.熟练掌握平面直角坐标系内点的坐标规律是解题的关键.
3．C
【详解】试题解析：点P（4，5）关于x轴对称点的坐标是：（4，-5）．
故选C．
4．     3     4     (3，﹣4)
【分析】根据点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数即可求解．
【详解】解：∵A(x，4)关于y轴的对称点是B(-3，y)，
∴x=3，y=4，
∴A点坐标为(3，4)，
∴点A关于x轴的对称点的坐标是(3，-4)．
故答案为：3；4；(3，-4)．
【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的特点：点关于x轴对称则横坐标不变纵坐标互为相反数，关于y轴对称则纵坐标不变横坐标互为相反数，由此即可求解．
5．勤奋
【分析】观察对应口令的坐标变化，找到变化规律即可得到答案．
【详解】解：观察口令发现，第一个字的横坐标+1，纵坐标-1，
第二个字的横坐标-1，纵坐标-1，
因此“求实”的对应口令是“勤奋”，
故答案为：勤奋．
【点睛】本题考查了坐标的规律问题，注意文字横纵坐标的变化是解题的关键．
6．40°或100°
【分析】分三种情况画出图形，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：当OC=OA时，如图1，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=40°，此时顶角的度数是40°；

当AC=AO时，如图2，则∠AOC=∠ACO=40°，∴∠OAC=180°－∠AOC－∠ACO=100°，此时顶角的度数是100°；

当CO=CA时，如图3，则∠AOC=∠OAC=40°，∴∠OCA=180°－∠AOC－∠OAC=100°，此时顶角的度数是100°；

综上，当△OAC为等腰三角形时，顶角的度数是40°或100°．
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，属于常考题型，全面分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．
7．
【分析】把t的值代入函数关系式计算即可得解．
【详解】当t=3时，Q=40-6×3=22．
故答案是：22．
【点睛】考查了函数值的求解，准确计算是解题的关键，求函数值即将自变量的值代入函数关系式中计算即可．
8．（-2，-3）、（4，3）、（4，-3）．
【详解】试题分析：因为C（-2，3），可以把△ABC沿x轴上下翻折，即作出其关于x轴对称的图形，即可看出D点为（﹣2，﹣3）．再把△ABC左右翻折，使得A点到B点，B点到A点，则有D点为（4，3），再将这个图形沿x轴上下翻折，即作出其关于x轴对称的图形，则可得到D点（4，﹣3）．

考点：1．图形在坐标系中的变换 2．点在坐标系中的表示方法
9．-2＜a＜3．
【详解】解：∵P关于x轴的对称点在第四象限内，
∴点P位于第一象限．
∴3a+6＞0①，3-a＞0②．
解不等式①得：a＞-2，
解不等式②得：a＜3，
所以a的取值范围是：-2＜a＜3．
【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标；解一元一次不等式组．
10．(1)
(2)，
(3)①画图见解析；②
【分析】（1）由“中垂点”定义即可求解；
（2）画出图形，根据等边三角形的性质求解即可；
（3）①分别以A、P为圆心，以的长为半径画弧，二者的交点即为M；②证明根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴线段的垂直平分线为直线，
∵Q是线段的中垂点，
∴点Q在线段的垂直平分线上，即点Q在直线上，
∴点Q的横坐标为2，
∴只有是线段的中垂点，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵Q为线段的“完美中垂点”，
∴，即A为线段的一个“完美中垂点”，
设线段的另外一个“完美中垂点”为L，如下图所示

∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，；
（3）解：①如图所示，即为所求

②∵P是的“完美中垂点”， 点Q为线段的“完美中垂点”
∴，
∴和为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质，坐标与图形，全等三角形的性质和判定．本题属于新定义的类型题，能结合定义画出对应图形是解题关键．
11．(1)、
(2)①或；②点Q的坐标为(1，0)
【分析】（1）如图1中作等边，根据点C，的坐标即可判断；
（2）①作以AB为边作等边△ABD或△ABD′，根据点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝30°．求出点D(0，-)，D′(3，2)，根据远轴点的定义通过图像可得点P在直线DD′上，线段DD′外即可结论；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB+QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA=QC+AQ=QC+BQ=3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．
（1）如图作等边，

由题意可知，当点P在线段上时，点P是近轴点，
∴点是近轴点，
故答案为：．
（2）①作以AB为边作等边△ABD或△ABD′
∵点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB＝30°．
∴OA=3，AB=2OB，
∴即
解得OB=，
∴AB=2OB=2，
∴BD=AD=AD′=2，
点D(0，-)
=∠OAB+∠BAD′=30°+60°=90°
∴AD′⊥OA，
∴D′(3，2)，
当点P为AB的远轴点时，点P在DD′线段外，直线DD′上，
∴点P的横坐标比3大或比0小，
∴t＜0或t＞3．
故答案为：t＜0或t＞3．

②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．
当点B，C在直线l的同侧时，
对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．
∵QA+QC≥AC，AC≥AO
∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．
∵∠OAB=30°，AQ=BQ，
∴∠QBA=∠QBO=30°．
∴OQ=BQ．
在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．
∴3x=3．
解得 x=1．
∴Q(1，0)．
当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．
综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．

【点睛】本题主要考查学生对新定义的理解能力、垂直平分线的性质以及运用一元一次方程解决问题的能力，解题的关键是正确理解题中所给“远轴点”、“近轴点”的意义，并利用所学灵活解决问题．
12．（1）②；（2）， ，
【分析】（1）根据已知条件，分别将坐标代入进行计算，判断是否符合条件，即可得出结论；
（2）因为且为整数，所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，所以得出满足条件的P点有169个；
根据点A，B相关的定义得到，把代入，得，分别讨论在四处象限及坐标轴上与点相关的点的个数；
由中的变换得，从而可知点A，B相关时的条件，从而求得n的最大值．
【详解】解（1）①因为，，
所以A＇（-2，2），B＇（3，1），
（2＋1）2＋（3＋2）2＝34，（2＋2）2＋（3＋1）2＝32
所以此项不符合要求；
②因为，，
所以C＇（4，4），D＇（4，－3），
（4＋3）2＋（2＋4）2＝85，（4＋4）2＋（2＋3）2＝89，
所以此项符合要求．
故答案为：②．
（2）因为 ，且是整数，
所以符合条件的x有13个，同理符合条件的y也有13个，
所以满足条件的P点有13×13＝169个．
故答案为：169．
要满足A，B相关，则有，
整理得：，
把代入，得，带有绝对值，所以四个象限是对称的，
首先考虑第一象限以及x、y轴正向，符合条件的有（0，3），（0，4），（0，5），（0，6），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），共16个．
x2，y2也是对称的，所以第一象限以及x、y轴正向有16×2－1＝31个点满足条件，
所以满足条件的点有4×4＋（12×2－1）×4＝108（个）．
对中稍作变换，得：，，
当＝0时等号成立，否则有．
因为x1，x2任取，所以，即，
故需满足横坐标绝对值相等或纵坐标的绝对值相等．
所以n的最大值为13×2＝26．
【点睛】本题主要考查绝对值的概念和平面直角坐标系的应用．
13．作图见解析，．
【分析】分别画出关于轴对称的点，再顺次连接，得即为所求的三角形，再根据图形的位置写出的坐标即可．
【详解】解：如图，分别画出关于轴对称的点，再顺次连接．

由图形可得：．
【点睛】本题考查的是图形与坐标，轴对称的作图与性质，掌握画关于纵轴对称的图形是解题的关键．
14．（1）见详解；（2）60°；（3）不变，
【分析】（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证；
（2）由（1）可直接进行求解；
（3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴AP=OP，∠APO=60°，
∵△PBC是等边三角形，
∴PB=PC，∠BPC=60°，
∵∠APB是公共角，
∴∠OPB=∠APC，
∴△OPB≌△APC（SAS），
∴OB=AC；
（2）解：由（1）可得△OPB≌△APC，
∴∠BOP=∠CAP，
∵∠BOP=60°，
∴∠CAP=60°，
故答案为60°；
（3）解：不变，AE=8，理由如下：
由（2）得：∠CAP=60°，
∵∠OAP=60°，
∴∠EAO=60°，
∴∠AEO=30°，
∵，
∴OA=4，
∴AE=2OA=8．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．（1）；（2）；（3）的面积是一个定值，为6．
【分析】（1）设点P的坐标为，再根据“属派生点”的定义可得一个关于a、b的二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）设点P的坐标为，从而可得点的坐标为，再根据“线段的长度为线段长度的倍”建立等式求解即可得；
（3）先根据“属派生点”的定义求出点P的坐标，从而可得OP的长，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理可得，最后根据三角形全等的性质即可得．
【详解】（1）设点P的坐标为，
由题意得：，
解得，
故点P的坐标为；
（2）设点P的坐标为，
由“属派生点”的定义得：点的坐标为，
则，，
由题意得：，即，
解得；
（3）的面积是一个定值，求解过程如下：
设点P的坐标为，
点的“属派生点”的为，
，解得，
，
，
，
，
和都是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
故的面积是一个定值，为6．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、坐标与图形性质等知识点，较难的是题（3），依据“属派生点”的定义求出点P的坐标是解题关键．
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）得出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，对应点的坐标，进而连接各点得出即可；
（2）写出各点的坐标即可；
（3）作A关于x轴的对称点A′，进而连接A′C交x轴于点P，P点即为所求．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1为所求，

（2）△A1B1C1三个顶点的坐标为：A1（-1，2），B1（-3，1），C1（-4，3）．
（3）如图所示：P点即为所求．
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