初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线的技巧汇总.docx

在初中三角形问题集中体现在“全等”和“相似”2 大问题上，非常考验大家的解题能力、思维能力、耐性与定力。有时证不出来，急不可耐、恨它恨的牙痒痒。豆姐这次整理了全等三角形判定、性质，最重要的是后面附上了所有证明全等三角形，包括添加各种辅助线的方法

一、三角形全等的判定
1. 三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3. 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4. 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5. 直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。

二、全等三角形的性质
①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。

三、找全等三角形的方法
(1) 可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
(2) 可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； (3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； (4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。缺个角的条件：

缺条边的条件
四、构造辅助线的常用方法

1. 关于角平分线的辅助线
当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。

角平分线具有两条性质：
①角平分线具有对称性；
②角平分线上的点到角两边的距离相等。

关于角平分线常用的辅助线方法： (1)截取构全等
如下左图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，D 为 OC 上一点，F 为 OB 上一点，若在OA 上取一点 E，使得 OE=OF，并连接 DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

例：如上右图所示，AB//CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，点 E 在 AD 上，求证：
BC=AB+CD。
提示：在 BC 上取一点 F 使得 BF=BA，连结 EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等
利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB 的平分线 OC 上一点 D 向角两边 OA、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例：如上右图所示，已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

(3) 作角平分线的垂线构造等腰三角形
如下左图所示，从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA 相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点 D， 该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。

例：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH=（AB-AC）
提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。

(4) 作平行线构造等腰三角形
作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：
①如下左图所示，过角平分线 OC 上的一点 E 作角的一边 OA 的平行线 DE，从而构造等腰三角形 ODE。
②如下右图所示，通过角一边 OB 上的点D 作角平分线 OC 的平行线 DH 与另外一边 AO 的反向延长线相交于点 H，从而构造等腰三角形 ODH。

2. 由线段和差想到的辅助线
(1) 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：
①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
截长补短法作辅助线。

在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。

因为 AD 是∠BAC 的角平分线所以∠BAD=∠CAD
在 AB 上作 AE=AC 又 AD=AD
由 SAS 得：△EAD≌△CAD 所以∠EDA=∠CDA,ED=CD

又因为∠CDA=∠B+∠BAD, ∠BDA=∠C+∠CAD, ∠C=2∠B 所以∠BDE=∠BDA-∠EDA
=(∠C+∠CAD)-∠CDA
=(2∠B+CAD）-（∠B+∠BAD）
=∠B
所以△BED 为等腰三角形所以 EB=ED=CD
所以 AB=AE+EB=AC+CD

(2) 对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

例 1：已知如图 1-1：D、E 为△ABC 内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

（法 1）证明：将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在△AMN 中，AM＋AN ＞ MD
＋DE＋NE;（1）
在△BDM 中，MB＋MD＞BD； （2）
在△CEN 中，CN＋NE＞CE； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法 2）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：
AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边） （1） GF＋FC＞GE＋CE（同上） （2）
DG＋GE＞DE（同上） （3） 由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。
(3) 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上， 小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图 2-1：已知 D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC＞∠BAC。

分析：因为∠BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置。

证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时∠BDC 是△EDC 的外角，
∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，
∴∠BDC＞∠BAC

证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F
∵∠BDF 是△ABD 的外角
∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC。
注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

3. 由中点想到的辅助线
在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形
即如图 1，AD 是ΔABC 的中线，则 SΔABD=SΔACD=1/2SΔABC（因为ΔABD 与Δ ACD 是等底同高的）。

例 1 如图 2，ΔABC 中，AD 是中线，延长 AD 到 E，使 DE=AD，DF 是ΔDCE 的中线。已知ΔABC 的面积为 2，求：ΔCDF 的面积。
(2)倍长中线
已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长 AD 到 E，使得 AD=AE，连结 BE。

例 3 如图 3，在等腰△ABC 中，AB=AC，在 AB 上截取 BD，在 AC 延长线上截取
CE，且使 CE=BD．连接 DE 交 BC 于 F．求证：DF=EF．

过 H 作 HD‖AC 交 BC 于 H
则∠HDF=∠E,∠DHB=∠ACB 又∵AB=AC
∴∠B=∠ACB
∴∠DHB=∠B
∴DH=DB=CE
∵DH=CE,∠HDF=∠E,∠DFH=∠CFE
∴△HDF≌△CEF
∴DF=EF

4. 其他辅助线做法
(1) 延长已知边构造三角形
在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形， 可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．

例 4．如图 4，在△ABC 中，AC=BC，∠B=90°，BD 为∠ABC 的平分线．若 A 点到直线 BD 的距离 AD 为 a，求 BE 的长．

延长 AD、BC 交于 F,
∵∠DAE+∠AED=90°,∠CBE+∠BEC=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠DAE=∠CBE,
又∵∠ACF=∠BCE=90°,AC=BC,
∴△ACF≌△BCE,
∴BE=AF,
∵∠ABD=∠FBD,∠ADB=∠FDB=90°,BD=BD,
∴△ABD≌△FBD,
∴AD=FD=1/2AF, AD 为 a
∴BE=2a

(2) 连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如：如图 8-1：AB∥CD，AD∥BC 求证：AB=CD。

分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形全等来解决。

(3) 连接已知点，构造全等三角形
例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A
＝∠D。
分析：要证∠A＝∠D，可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等，而只有 AB＝ DC 和对顶角两个条件，差一个条件，，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 AB＝DC，AC＝BD，若连接 BC，则△ABC 和△DCB 全等，所以，证得∠A
＝∠D。

(4) 取线段中点构造全等三角形
例如：如图 11-1：AB＝DC，∠A＝∠D 求证：∠ABC＝∠DCB。

分析：由 AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有△ABN≌△DCN，故 BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需证∠NBC＝∠NCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。问题得证。