专题5-4-一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】(原卷版).docx

专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】
【浙教版】

【题型1 一次函数与一元一次方程的解】 1
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】 2
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 3
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】 3
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】 4
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】 4
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】 5
【题型8 绝对值函数与不等式】 6
【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】 8
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 9

【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】
1. 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
2.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
【题型1 一次函数与一元一次方程的解】
【例1】（2022秋•白塔区校级月考）直线y＝3x﹣m﹣4经过点A（m，0），则关于x的方程3x﹣m﹣4＝0的解是　 　．
【变式1-1】（2022春•安阳县期末）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝0的解为　 　．

【变式1-2】（2022春•雷州市校级期末）一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b是常数）的图象如图所示，则关于x的方程kx+b＝4的解是（　　）

A．x＝3 B．x＝4 C．x＝0 D．x＝b
【变式1-3】（2022秋•招远市期末）已知关于x的一次函数y＝3x+n的图象如图，则关于x的一次方程3x+n＝0的解是（　　）

A．x＝﹣2 B．x＝﹣3 C． D．
【题型2 两个一次函数与一元一次方程】
【例2】（2022秋•双流区期末）已知一次函数y＝5x+m的图象与正比例函数y＝kx的图象交于点（﹣2，4）（k，m是常数），则关于x的方程5x＝kx﹣m的解是　 　．
【变式2-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，函数y＝2x+b与函数y＝kx﹣1的图象交于点P，则关于x的方程kx﹣1＝2x+b的解是　 　．

【变式2-2】（2022秋•苏州期末）已知一次函数y＝kx+1与的图象相交于点（2，5），求关于x的方程kx+b＝0的解．
【变式2-3】（2022秋•包河区期末）已知直线y＝x+b和y＝ax+2交于点P（3，﹣1），则关于x的方程（a﹣1）x＝b﹣2的解为 　 　．
【题型3 利用一次函数的变换求一元一次方程的解】
【例3】（2022春•江都区校级月考）若一次函数y＝kx+b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程k（x﹣5）+b＝0的解为 　 　　．
【变式3-1】（2022•姜堰区一模）若一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x+1）+b＝0的解是　 　　．
【变式3-2】（2022秋•庐阳区校级期中）若关于x的一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣1，0），则方程k（x+2）+b＝0的解为　 　　．
【变式3-3】（2022秋•庐阳区校级期中）将直线y＝kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y＝kx+m，已知方程kx+m＝0的解为x＝3，则k＝　 　，m＝　　 　．
【题型4 一次函数与二元一次方程（组）的解】
【例4】（2022春•夏津县期末）如图，根据函数图象回答问题：方程组y=kx+3y=ax+b的解为　 　　．

【变式4-1】（2022•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是　　 　　．

【变式4-2】（2022秋•西乡县期末）已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1，则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+5与直线l2：y=−12x﹣1的交点坐标为（　　）
A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）
【变式4-3】（2022•德城区二模）若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b＝0的解为坐标的点（x，y）都在直线y=−12x+b﹣1上，则常数b的值为（　　）
A．12 B．1 C．﹣1 D．2
【题型5 不解方程组判断方程组解的情况】
【例5】（2022秋•泰兴市校级期末）已知关于x，y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2
（1）当k，b为何值时，方程组有唯一一组解；
（2）当k，b为何值时，方程组有无数组解；
（3）当k，b为何值时，方程组无解．
【变式5-1】（2022秋•苏州期末）若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解，那么应满足的条件是（　　）
A．m=23 B．m≠23 C．m=−23 D．m≠−23
【变式5-2】（2022春•覃塘区期中）如果关于x，y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解，那么a，b，c的值应满足的条件是（　　）
A．a≠b B．b≠c C．a≠c D．a≠c且c≠1
【变式5-3】（2022春•高明区期末）k为何值时，方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解；无解；无穷多解？
【题型6 一次函数与一元一次不等式的解集】
【例6】（2022•海淀区校级自主招生）已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：
x
…
﹣m2﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
0
n2+1
…
则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（　　）
A．x＞1 B．x＞2 C．x＜1 D．无法确定
【变式6-1】（2022春•龙岗区期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣3，2），B（1，0），则关于x的不等式kx+b＜2解集为 　　 　　．

【变式6-2】（2022春•湖南期中）已知关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，则直线y＝ax+1与x轴的交点是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（1，0）
【变式6-3】（2022春•高明区校级期末）如图，直线y＝kx+b与直线y=−12x+52交于点A（m，2），则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是（　　）

A．x≤2 B．x≥1 C．x≤1 D．x≥2
【题型7 两个一次函数与一元一次不等式】
【例7】（2022•钟山县校级模拟）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（　　）

A．x＞3 B．x＜3 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1
【变式7-1】（2022•烟台）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为　　 　．

【变式7-2】（2022春•楚雄州期末）已知关于x的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，4）、B（0，3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）若关于x的一次函数y＝mx+n（m＜0）的图象也经过点A，则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为　 　．
【变式7-3】（2022春•潮安区期末）已知直线y＝kx+5交x轴于A，交y轴于B且A坐标为（5，0），直线y＝2x﹣4与x轴于D，与直线AB相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）根据图象，写出关于x的不等式2x﹣4＞kx+5的解集；
（3）求△ADC的面积．

【题型8 绝对值函数与不等式】
【例8】（2022秋•临海市校级月考）小敏学习了一次函数后，尝试着用相同的方法研究函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|和y＝|x﹣2|+1的图象；
（2）猜想函数y＝﹣|x+1|和y＝﹣|x+1|﹣3的图象关系；
（3）尝试归纳函数y＝a|x﹣b|+c的图象和性质；
（4）当﹣2≤x≤5时，求y＝﹣2|x﹣3|+4的函数值范围．

【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y＝|x|的图象和性质，并解决问题．
（1）完成下列步骤，画出函数y＝|x|的图象；
①列表、填空；
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3

1

1
2
3
…
②描点；
③连线．
（2）观察图象，当x　　　时，y随x的增大而增大；
（3）根据图象，不等式|x|＜12x+32的解集为　　 　　．

【变式8-2】（2022春•确山县期末）画出函数y＝|x|﹣2的图象，利用图象回答下列问题：
（1）写出函数图象上最低点的坐标，并求出函数y的最小值；
（2）利用图象直接写出不等式|x|﹣2＞0的解集；
（3）若直线y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与y＝|x|﹣2的图象有两个交点A（m，1），B（12，−32），直接写出关于x的方程|x|﹣2＝kx+b的解．
【变式8-3】（2022春•重庆期末）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）如表是部分x，y的对应值：
x
…
﹣6
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
n
﹣2
﹣3
﹣4
﹣1
2
5
8
…
根据表中的数据可以求得m＝　　 　，n＝　　 　　；
（2）请在给出的平面直角坐标系中，描出以如表中各组对应值为坐标的点，再根据描出的点画出该函数的图象；
（3）结合你所画的函数图象，写出该函数的一条性质 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　；
（4）若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣4，﹣2）和点（1，5），结合你所画的函数图象，直接写出不等式kx+b＜|2x+4|+x+m的解集．

【题型9 一次函数与一元一次不等式组的解集】
【例9】（2022秋•青田县月考）如图，可以得出不等式组ax+b＜0cx+d＞0的解集是（　　）

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．﹣1＜x＜4 D．x＞4
【变式9-1】（2022春•南康区期末）如图，直线y＝﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2．则关于x的不等式组−x+m＞12x+312x+3＞0的解集为 　　 　　．

【变式9-2】（2022•富阳区二模）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，3），B（−52，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜﹣3x的解集为 　　 　　．

【变式9-3】（2022•青羊区校级自主招生）如图，直线y1＝ax+2与y2＝bx+4交于点N（1，a+2），将直线y1＝ax+2向下平移后得到y3＝ax﹣5，则能使得y3＜y2＜y1的x的所有整数值分别为（　　）

A．1，2，3 B．2，3 C．2，3，4 D．3，4，5
【题型10 一次函数与不等式组中的阴影区域问题】
【例10】（2022•黄冈中学自主招生）如图，表示阴影区域的不等式组为（　　）

A．2x+y≥53x+4y≥9y≥0 B．2x+y≤53x+4y≤9y≥0
C．2x+y≥53x+4y≥9x≥0 D．2x+y≤53x+4y≥9x≥0
【变式10-1】（2022秋•包河区期中）图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集（　　）

A．x﹣y≤﹣5 B．x+y≥﹣5 C．x+y≤5 D．x﹣y≤5
【变式10-2】（2012春•南岸区期末）如图，用不等式表示阴影区域为（　　）

A．x+y≤0，且x﹣y≥0 B．x+y≥0，且x﹣y≥0
C．x+y≥0，且x﹣y≤0 D．x+y≤0，且x﹣y≤0
【变式10-3】（2022春•广水市期末）阅读材料：在平面直角坐标系中，二元一次方程x﹣y＝0的一个解x=1y=1可以用一个点（1，1）表示，二元一次方程有无数个解，以方程x﹣y＝0的解为坐标的点的全体叫作方程x﹣y＝0的图象．一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，我们可以把方程x﹣y＝0的图象称为直线x﹣y＝0．
直线x﹣y＝0把坐标平面分成直线上方区域，直线上，直线下方区域三部分，如果点M（x0，y0）的坐标满足不等式x﹣y≤0，那么点M（x0，y0）就在直线x﹣y＝0的上方区域内．特别地，x＝k（k常数）表示横坐标为k的点的全体组成的一条直线，y＝m（m为常数）表示纵坐标为m的点的全体组成的一条直线．
请根据以上材料，探索完成以下问题：
（1）已知点A（2，1）、B（83，32）、C（136，54）、D（4，92），其中在直线3x﹣2y＝4上的点有 　 　（只填字母）；请再写出直线3x﹣2y＝4上一个点的坐标 　　 　　；
（2）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤40≤y≤3则所有的点P组成的图形的面积是 　 　　；
（3）已知点P（x，y）的坐标满足不等式组0≤x≤10≤y≤2x−y≥0，请在平面直角坐标系中画出所有的点P组成的图形（涂上阴影），并求出上述图形的面积．