《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第六章-第5节-复数.docx

第5节　复　数

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
复数的概念
2,7

复数的运算
3,4,6,8

复数的几何意义
1,9

综合问题
5
10,11,12,13,14
15,16

1.已知复数z满足zz-i=i,则z在复平面内对应的点位于(　A　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:法一　设z=a+bi(a,b∈R),因为zz-i=i,所以a+bia+(b-1)i=i,所以a+bi=(1-b)+ai,所以a=1-b,b=a,解得a=b=12,所以z在复平面内对应的点为(12,12),位于第一象限.故选A.
法二　因为zz-i=i,所以z=11-i=1+i2=12+12i,所以z在复平面内对应的点为(12,12),位于第一象限.故选A.
2.设(1+2i)x=x+yi,其中x,y是实数,i为虚数单位,则 |yx+i|等于(　D　)
A.1 B.2 C.3 D.5
解析:由x+2xi=x+yi,x,y∈R,则y=2x, |yx+i|=|2+i|=5.故选D.
3.若z=1+i,则|z2-2z|等于(　D　)
A.0 B.1 C.2 D.2
解析:法一　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|= |-2|=2.故选D.
法二　因为z=1+i,所以|z2-2z|=|z||z-2|=2×|-1+i|=2×2=2.故选D.
4.设复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,则z1z2等于(　B　)
A.1+i B.35+45i
C.1+45i D.1+43i
解析:因为复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,z1=2+i,所以z2=2-i,所以z1z2=2+i2-i=(2+i)25=35+45i.故选B.
5.(多选题)下列命题正确的是(　BCD　)
A.若复数z1,z2的模相等,则z1,z2互为共轭复数
B.z1,z2都是复数,若z1+z2是虚数,则z1不是z2的共轭复数
C.复数z是实数的充要条件是z=z(z是z的共轭复数)
D.已知复数z=x+yi(x,y∈R)且|z-2|=3,则yx的最大值为3
解析:对于A,z1和z2可能是相等的复数,故A错误;对于B,若z1和z2互为共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B正确;对于C,由a+bi=a-bi得b=0,故C正确;对于D,因为|z-2|=(x-2)2+y2=3,所以(x-2)2+y2=3,由图可知(yx)max=3,故D正确.故选BCD.

6.已知复数z=2+i1-i(i为虚数单位),那么z的共轭复数为(　B　)
A.32+32i B.12-32i
C.12+32i D.32-32i
解析:由题意知z=(2+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+2i+i-12=12+32i,所以z=12-32i.故选B.
7.已知i是虚数单位,若复数a+5i1+2i(a∈R)是纯虚数,则a=　　　　. 
解析:由已知,得a+5i1+2i=a+5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=a+2+i,由题意得a+2=0,所以a=-2.
答案:-2
8.复数z的共轭复数z满足(2+i)z=|3+4i|,z=　　　　. 
解析:法一　由(2+i)z=|3+4i|,得z=|3+4i|2+i=52+i=5(2-i)(2+i)(2-i)=2-i,所以z=2+i.
法二　设z=a+bi(a,b∈R),则(2+i)(a-bi)=5,即2a+b+(a-2b)i=5,所以2a+b=5,a-2b=0,解得a=2,b=1,所以z=2+i.
答案:2+i
9.若|z1-z2|=1,则称z1与z2互为“邻位复数”.已知复数z1=a+3i与z2=2+bi互为“邻位复数”,a,b∈R,求a2+b2的最大值.
解:由题意,|a+3i-2-bi|=1,故(a-2)2+(3-b)2=1,所以点(a,b)在圆(x-2)2+(y-3)2=1上,而a2+b2表示点(a,b)到原点的距离,故a2+b2的最大值为(22+(3)2+1)2=(1+7)2=8+27.　

10.已知复数z=(1+i)2i(1-i),则下列结论正确的是(　D　)
A.z的虚部为i
B.|z|=2
C.z的共轭复数z=-1+i
D.z2为纯虚数
解析:z=(1+i)2i(1-i)=21-i=2(1+i)(1-i)(1+i)=2(1+i)2=1+i,则z的虚部为1,所以选项A错误;|z|=12+12=2,所以选项B错误;z的共轭复数z=1-i,所以选项C错误;z2=(1+i)2=2i是纯虚数,所以选项D正确.故选D.
11.复数z满足(z-2)·i=z(i为虚数单位),z为复数z的共轭复数,则下列说法正确的是(　B　)
A.z2=2i B.z·z=2
C.|z|=2 D.z+z=0
解析:由题意,得zi-2i=z,z(i-1)=2i,z=2ii-1=2i(i+1)(i-1)(i+1)=2(i-1)-2=1-i,则z2=-2i,z·z=(1-i)(1+i)=2,|z|=2,z+z=1-i+1+i=2.故选B.
12.已知集合M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为　　　　. 
解析:因为M∩N={3},所以3∈M且-1∉M,
所以m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3或m=3,
所以m2-5m-6=0且m≠-1或m=3,
解得m=6或m=3,经检验符合题意.
答案:3或6
13.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面内对应的点分别为A,B,C,若OC→=λOA→+μOB→(λ,μ∈R),λ+μ的值为　　　　. 
解析:由条件得OC→=(3,-4),OA→=(-1,2),
OB→=(1,-1),
根据OC→=λOA→+μOB→,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ, 2λ-μ),
所以-λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得λ=-1,μ=2,
所以λ+μ=1.
答案:1
14.已知复数z满足:z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三 象限.
(1)求复数z;
(2)设a∈R,且 |(1+z1+z)2 021+a|=2,求实数a的值.
解:(1)设z=c+di(c,d∈R且c<0,d<0),
则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i,
所以c2-d2=3,2cd=4,
解得c=-2,d=-1或c=2,d=1(舍去).
所以z=-2-i.
(2)因为z=-2+i,
所以1+z1+z=-1-i-1+i=1+i1-i=(1+i)22=i,
所以(1+z1+z)2 021=i2 021=i2 020+1=i505×4+1=i,
所以|a+i|=a2+1=2,所以a=±3.

15.已知复数z=bi(b∈R),z-21+i是实数,i是虚数单位.
(1)求复数z;
(2)若复数(m+z)2在复平面内所对应的点位于第一象限,求实数m的取值范围.
解:(1)因为z=bi(b∈R),
所以z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)
=(b-2)+(b+2)i2=b-22+b+22i.
又因为z-21+i是实数,所以b+22=0,
所以b=-2,即z=-2i.
(2)因为z=-2i,m∈R,
所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=
(m2-4)-4mi,
又因为复数(m+z)2在复平面内所对应的点位于第一象限,
所以m2-4>0,-4m>0,解得m<-2,
即实数m的取值范围为(-∞,-2).
16.若虚数z同时满足下列两个条件:
①z+5z是实数;
②z+3的实部与虚部互为相反数.
求z.
解:设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),
则z+5z=a+bi+5a+bi=a+bi+5(a-bi)a2+b2=(a+5aa2+b2)+(b-5ba2+b2)i.
因为z+5z是实数,所以b-5ba2+b2=0.
又因为b≠0,所以a2+b2=5.①
又z+3=(a+3)+bi的实部与虚部互为相反数,
所以a+3+b=0.②
联立①②得a+b+3=0,a2+b2=5,
解得a=-1,b=-2或a=-2,b=-1,
故z=-1-2i或z=-2-i.