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第4节 古典概型与事件的相互独立性
知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
古典概型
1,4,6,8
10,11,14
15
相互独立事件的概率
5,7,9
16
互斥、对立与相互独立的综合应用
2,3
12,13
1.(2021·江西九江统考)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数.其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从4个阴数中随机抽取2个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是( D )
A.12 B.23 C.14 D.13
解析:从4个阴数中随机抽取2个数,共有6种取法,其中满足题意的取法有两种:4,6和2,8.所以能使这2个数与居中阳数之和等于15的概率P=26=13.故选D.
2.三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为12,34,34,且是互相独立的.将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,在如图的电路中,电路不发生故障的概率是( A )
A.1532 B.932 C.732 D.1732
解析:记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=
12,P(A2)=34,P(A3)=34,不发生故障为事件(A2∪A3)A1,则不发生故障的概率为P=P[(A2∪A3)A1]=[1-P(A2)·P(A3)]·P(A1)=(1-14×14)×12=1532.故选A.
3.(2021·山西大同一中期末)某学校10名同学组成的志愿者组织由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该组织的4名同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给
4名同学,且所发信息都能被收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( C )
A.25 B.1225 C.1625 D.45
解析:记“甲同学收到李老师的信息”为事件A,“甲同学收到张老师的信息”为事件B.由题意知事件A,B相互独立,P(A)=P(B)=410=25,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1-P(AB)=1-
[1-P(A)]·[1-P(B)]=1-35×35=1625.故选C.
4.(2021·湖北武昌高三调研)某学校成立了A,B,C三个课外学习小组,每名学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中任意一个学习小组是等可能的,则该校的任意4名学生中,恰有2人申请A学习小组的概率是( D )
A.364 B.332 C.427 D.827
解析:依题意4名学生申请A,B,C三个课外学习小组的方法有34种,这4名学生中,恰有2人申请A学习小组的方法有C42×22种,所以这
4名学生中,恰有2人申请A学习小组的概率为C42×2234=827.故选D.
5.(多选题)设M,N为两个随机事件,则以下说法正确的是( ABC )
A.若事件M与事件N互斥,且P(M)=15,P(N)=14,则P(M∪N)=920
B.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则事件M,N相互独立
C.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则事件M,N相互独立
D.若P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,则事件M,N相互独立
解析:由概率的加法公式得P(M∪N)=15+14=920,故A正确;由相互独立事件的概念知B正确;由对立事件概率计算公式和相互独立事件的概念知C正确;当事件M,N相互独立时,P(MN)=12×23=13,故D错误.故选ABC.
6.(2021·广西南宁一模)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里,每个格子填一个数字,并且从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数,则这样填法的概率为 .
解析:5个格子用0与1两个数字随机填入共有25=32种不同方法,从左到右数,不管数到哪个格子,总是1的个数不少于0的个数有:①全是1,有1种方法;②第一个格子是1,另外4个格子有一个0,有4种方法;③第一个格子是1,另外4个格子有2个0,有5种方法.所以共有1+4+5=10种方法,那么概率P=1032=516.
答案:516
7.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多,某自行车租车点的收费标准是每辆车每次租车时间不超过2 h免费,超过2 h的部分每小时收费2元(不足1 h的部分按1 h计算),有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一辆车一次).设甲、乙不超过2 h还车的概率分别为14,12,2 h以上且不超过3 h还车的概率分别为12,14,两人租车时间都不会超过4 h.甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 .
解析:由题意知,甲、乙在3 h以上且不超过4 h还车的概率分别为14,14.设“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件A,则P(A)=14×12+12×14+
14×14=516.
答案:516
8.(2021·广东东莞一模)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 .
解析:基本事件总数n=C42C22A22·A22=6,乙、丙两人恰好参加同一项活动即表示两人分在同一个志愿者小组有两种情况,即m=2,所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率P=mn=26=13.
答案:13
9.(2021·浙江金华一模)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;
(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,求参赛女生人数不少于2人的概率.
解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.入选代表队学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100,因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.
(2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A,记“参赛女生有
2人”为事件B,“参赛女生有3人”为事件C,则P(B)=C32C32C64=35,P(C)=C33C31C64=
15.由互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(B)+P(C)=35+15=45,故所求事件的概率为45.
10.(2021·四川攀枝花统考)部分省份在即将实施的新高考中将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二.小明与小芳都准备选物理,如果他们都对后面四科的选择没有偏好,则他们所选六科中恰有五科相同的概率为( A )
A.23 B.12 C.13 D.16
解析:新高考中将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二.小明与小芳都准备选
物理,
他们都对后面四科的选择没有偏好.
基本事件总数n=C42C42=36,
他们所选六科中恰有五科相同包含的基本事件个数m=C42C21C21=24,
所以他们所选六科中恰有五科相同的概率为
P=mn=2436=23.故选A.
11.(多选题)(2021·山东烟台教育科学研究院模拟)已知甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,
2,3,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”,则( BC )
A.事件A发生的概率为12
B.事件A∪B发生的概率为1120
C.事件A∩B发生的概率为25
D.从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为15
解析:由题意,从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,共包含C41C51=
20个样本点;
“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的样本点有:(1,5),(1,6),
(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共
11个;
“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的样本点有:(2,5),(2,6),
(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6),共8个,
即事件B是事件A的子事件,
因此事件A发生的概率为1120,故A错误;
事件A∪B包含的样本点个数为11,所以事件A∪B发生的概率为1120,故B正确;
事件A∩B包含的样本点个数为8,所以事件A∩B发生的概率为820=25,故C正确;
从甲罐中抽到标号为2的小球,包含的样本点为:(2,1),(2,2),
(2,3),(2,5),(2,6),共5个,故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为14,故D错误.故选BC.
12.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为12,乙解出它的概率为13,丙解出它的概率为14.由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为 .
解析:甲解出,而乙、丙不能解出为事件A1,
则P(A1)=12×(1-13)×(1-14)=14,
乙解出,而甲、丙不能解出为事件A2,
则P(A2)=13×(1-12)×(1-14)=18,
丙解出,而甲、乙不能解出为事件A3,
则P(A3)=14×(1-12)×(1-13)=112.
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=14+18+
112=1124.
答案:1124
13.设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,每人需不需要使用设备相互独立.
(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;
(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.
解:记Ai表示事件:同一工作日,乙、丙中恰有i人需使用设备,i=
0,1,2.
B表示事件“甲需使用设备”,
C表示事件“丁需使用设备”,
D表示事件“同一工作日至少3人需使用设备”,
E表示事件“同一工作日4人需使用设备”,
F表示事件“同一工作日需使用设备的人数大于k”.
(1)D=(A1∩B∩C)∪(A2∩B)∪(A2∩B∩C),
P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A0)=(1-0.5)×(1-0.5)=0.25,P(A1)=2×0.5×(1-0.5)=0.5,P(A2)=0.5×0.5=0.25,
所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2BC)
=P(A1BC)+P(A2B)+P(A2BC)=P(A1)·P(B)P(C)+P(A2)P(B)+
P(A2)P(B)P(C)=0.31.
(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1.
因为E=B∩C∩A2,
所以P(E)=P(BCA2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.
若k=3,则P(F)=0.06<0.1.
故k的最小值为3.
14.(2021·河南焦作第一次模拟)新个税法于2019年1月1日起实施.为了调查国企员工对新个税法的满意程度,研究人员在A地各个国企中随机抽取了1 000名员工进行调查,并将满意程度以分数的形式统计成如图所示的频率分布直方图,其中a=4b.
(1)求a,b的值,并估计被调查的员工的满意程度的中位数;(计算结果保留两位小数)
(2)若按照分层随机抽样的方法从分数在[50,60),[60,70)的员工中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人的分数在[50,60)的概率.
解:(1)依题意,得(a+b+0.008+0.027+0.035)×10=1,所以a+b=0.03.
又a=4b,所以a=0.024,b=0.006.
所以中位数为70+0.5-0.08-0.240.035≈75.14.
(2)依题意,知从分数在[50,60)的员工中抽取2人,记为m,n,从分数在[60,70)的员工中抽取6人,记为1,2,3,4,5,6,所以从这8人中随机抽取2人的所有情况为(m,n),(m,1),(m,2),(m,3),(m,4),(m,5),
(m,6),(n,1),(n,2),(n,3),(n,4),(n,5),(n,6),(1,2),(1,3),
(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),
(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共28种.
其中满足条件的为(m,n),(m,1),(m,2),(m,3),(m,4),(m,5),(m,6),
(n,1),(n,2),(n,3),(n,4),(n,5),(n,6),共13种,设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A,则P(A)=1328.
15.(多选题)(2021·山东滨州十二校联考)设集合M={2,3,4},N=
{1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*).若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( BC )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:由题意,得点P(m,n)的所有可能情况为(2,1),(2,2),(2,3),
(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共
12个.事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含(2,1),共1个基本事件,所以P(A3)=112;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含(2,2),
(3,1),共2个基本事件,所以P(A4)=212=16;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含(2,3),(3,2),(4,1),共3个基本事件,所以P(A5)=312=14;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含(2,4),(3,3),(4,2),共
3个基本事件,所以P(A6)=312=14;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含(3,4),(4,3),共2个基本事件,所以P(A7)=212=16;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含(4,4),共1个基本事件,所以P(A8)=112.综上可知,当k=5或k=6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=14.故选BC.
16.(2021·山东沂水第一中学高三模拟)甲、乙、丙三人玩传球游戏,持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的.开始甲持球,传球两次后,球回到甲手里的概率P2= ;传球n次后,球回到甲手里的概率Pn= .
解析:经过一次传递后,落在乙、丙手中的概率都为12,
而落在甲手中的概率为0,因此P1=0,
两次传递后球落在甲手中的概率为
P2=12×12+12×12=12.
要想经过n次传递后球落在甲的手中,那么在n-1次传递后球一定不在甲手中,
所以Pn=12(1-Pn-1),n=1,2,3,4,…,
因此P3=12(1-P2)=12×12=14,
P4=12(1-P3)=12×34=38,
P5=12(1-P4)=12×58=516,
P6=12(1-P5)=12×1116=1132,
因为Pn=12(1-Pn-1),
所以Pn-13=-12(Pn-1-13),
Pn-13=(P1-13)·(-12)n-1,
所以Pn=13-13·(-12)n-1.
答案:12 13-13·(-12)n-1
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