2017-2021北京重点校初二(下)期中数学汇编：矩形.docx

2017-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编
矩形
一、单选题
1．（2021·北京师大附中八年级期中）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
2．（2018·北京师大附中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，H是EG的中点，若AB＝6，BC＝8，则线段CH的长为(　　)

A．2 B． C．2 D．
3．（2018·北京四中八年级期中）如图，点是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为点，，连接，，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ 一定是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
4．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD=120°，AC=4，则CD的长为(　　)

A．2 B．3 C．2 D．2
二、填空题
5．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为_____．

6．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则线段A'B的长度为____，折痕DG的长度为____．

7．（2018·北京师大附中八年级期中）如图，矩形ABCD中，AB＝3，两条对角线AC、BD所夹的钝角为120°，则对角线BD的长为_____．

8．（2018·北京师大附中八年级期中）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG， 则AG=___________．

9．（2018·北京四中八年级期中）如图，已知矩形ABCD的对角线长为10cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于_____cm．

三、解答题
10．（2020·北京四中八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段AE的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．
（1）依题意补全图形；
（2）求证∠DMF＝∠ABF．

11．（2017·北京·人大附中八年级期中）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点．
（）求证：．
（）若，，，点是的中点，求的长．

12．（2018·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，将矩形ABCD翻折，使得点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC于点F，求FC的长．

参考答案
1．B
【详解】
试题分析：A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
考点：矩形的判定与性质．
2．D
【分析】
首先过点H作HM⊥BC于点M，由将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，可得BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，又由H是EG的中点，易得HM是△BEG的中位线，继而求得HM与CM的长，由勾股定理即可求得线段CH的长．
【详解】
解：过点H作HM⊥BC于点M，

∵将ABCD绕点B顺时针旋转90°到GBEF位置，AB＝6，BC＝8，
∴BE＝BC＝8，∠CBE＝90°，BG＝AB＝6，
∴HM∥BE，
∵H是EG的中点，
∴MH＝BE＝4，BM＝GM＝BG＝3，
∴CM＝BC−BM＝8−3＝5，
在Rt△CHM中，CH＝．
故选D．
【点睛】
此题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角形中位线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握旋转前后图形的对应关系．
3．C
【分析】
作PH⊥AB于H，连接EF，根据题意证明△AHP≌△FPE即可证明①，②；根据正方形的性质得到△PFD是等腰直角三角形，四边形PECF是矩形，即可判断出③；根据等腰三角形的判定可判断不一定是等腰三角形．
【详解】
作PH⊥AB于H，连接EF，

∴∠PHB=90°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠1=∠2=∠BDC=45°，∠ABC=∠C=90°，
∴四边形BEPH和四边形PECF是矩形，PE=BE，DF=PF，
∴四边形BEPH为正方形，
∴BH=BE=PE=HP，
∴AH=CE，
∴△AHP≌△FPE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，
故①、②正确，
在Rt△PDF中，由勾股定理，得：PD=PF，
∴PD=CE．
故③正确；
∵点P在BD上，
∴当AP=AD、PA=PD或DA=DP时△APD是等腰三角形．
∴△APD是等腰三角形只有三种情况．
故④错误，
∴正确的个数有3个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理的运用三角形全等，解题的关键是根据题意作出辅助线，能够正确分析出题目中边角之间的关系．
4．A
【分析】
根据邻补角的定义求出∠COD＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO＝DO＝2，然后判断出△COD是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得CD＝DO＝2．
【详解】
∵∠AOD=120°，
∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO=2，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=DO=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△COD是等边三角形是解题的关键．
5．4
【分析】
过E作EM⊥BC于M，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，得出四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM＝AB＝5，AE＝BM，求出EM＝FM＝5，根据BC＝13和AE＝CF＝BM求出即可．
【详解】
解：如图，过E作EM⊥BC于M，
则∠EMF＝∠EMB＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∵AB＝5，
∴EM＝AB＝5，AE＝BM，
∵∠EFB＝45°，∠EMF＝90°，
∴∠MEF＝45°＝∠EFB，
∴EM＝FM＝5，
∵BC＝13，AE＝CF＝BM，
∴2AE+5＝13，
解得：AE＝4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握这些知识并合理的作出辅助线是解题的关键．
6． 4 3．
【分析】
在矩形中根据勾股定理可求出BD的长，由折叠得DA＝DA′＝6，进而求出A′B，在Rt△A′BG中，由勾股定理建立方程可求出A′G，即AG，在Rt△ADG中，由勾股定理可求出DG．
【详解】
∵矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，
∴BD10，
由折叠得：DA=DA'=6，GA=GA'，
∴A'B=DB﹣DA'=10﹣6=4，
设GA=GA'=x，则GB=8﹣x，
在Rt△A'BG中，由勾股定理得：x2+42=(8﹣x)2，
解得：x=3，即AG=3，
在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG3．
故答案为：4，3．
【点睛】
本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，设未知数建立方程是解决此类问题的常用方法．
7．6
【分析】
根据矩形的性质推出AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，求出OA=OB，求出△AOB是等边三角形，推出OB=AB=3，即可求出答案．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=AC，OD=OB=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∵OB=OD，
∴BD=6．
故选B.
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，矩形的性质的应用，熟练掌握矩形的性质是解题关键.
8．1.5
【分析】
根据勾股定理可得BD＝5，由折叠的性质可得△ADG≌△A′DG，则A′D＝AD＝3，A′G＝AG，则A′B＝5−3＝2，在Rt△A′BG中根据勾股定理求AG的长即可．
【详解】
解：在Rt△ABD中，
BD＝＝5，
由折叠的性质可得，△ADG≌△A′DG，
∴A′D＝AD＝3，A′G＝AG，
∴A′B＝BD−A′D＝5−3＝2，
设AG＝x，则A′G＝AG＝x，BG＝4−x，
在Rt△A′BG中，，
解得x＝1.5，
即AG＝1.5．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换的知识，解题的关键是利用勾股定理得到，
9．20
【详解】
解：∵矩形ABCD的对角线长为10，
∴AC=BD=10
∵点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=HG=AC=×10=5
EH=GF=BD=×10=5
∴四边形EFGH的周长为EF+FG+GH+HE=5+5+5+5=20．
故答案为：20
【点睛】
本题考查矩形的性质和三角形中位线定理．
10．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）按要求画图即可；
（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM，可得结论．
【详解】
（1）解：如图所示，

（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，

∵点P为线段AE中点，
∴AP＝PE，
∵AB∥CD，
∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，
∵在△APB和△EPN中，
∵，
∴△APB≌△EPN（AAS），
∴AB＝EN
∴AB＝CD＝EN，
∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，
∵DE＝CM，
∴DN＝DM，
∵FD⊥MN，
∴FN＝FM，
∴∠N＝∠1，
∴∠1＝∠2，
即∠DMF＝∠ABF．
【点睛】
本题考查了几何作图、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键．
11．（）见解析（）
【详解】
试题分析：
（1）由已知条件易证∠GAD=∠ADE=∠CED，结合∠AGE=∠GAD+∠ADE，可得∠AGE=2∠CED，再结合∠AED=2∠CED即可得到∠AGE=∠AED，从而可得AE=AG；
（2）如下图，连接GH，由（1）中结论可知AE=AG=，结合BE=2，在Rt△ABE中可求得AB=11，结合BF=1可求得AF=10，再结合G是DF的中点，H是AD的中点由三角形中位线定理即可求得GH=5.
试题解析：
（）∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∴ ，
又∵ 为中点，
∴ ，
∴ ，
∵∠AGE=∠GAD+∠ADE，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
．
（）连接，由（）知：=，
在中，，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是中点，是中点，
∴ ．

12．
【详解】
分析：根据翻转前后，图形的对应边和对应角相等，可知EF=BF，AB=AE，故可求出DE的长，然后设出FC的长，则EF=4-FC，再根据勾股定理的知识，即可求出答案．
详解：由题意，得AE=AB=5，AD=BC=4，EF=BF，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得DE=3．
在矩形ABCD中，DC=AB=5．
∴CE=DC-DE=2．
设FC=x，则EF=4-x．
在Rt△CEF中，x2+22=（4-x）2．
解得x＝．
即FC=．
点睛：本题考查了翻转变换的知识，属于基础题，注意掌握图形翻转前后对应边和对应角相等．
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