2017-2021北京重点校高三(上)期中数学汇编：圆锥曲线的方程.docx

2017-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编
圆锥曲线的方程
一、单选题
1．（2021·北京一七一中高三期中）双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
2．（2020·北京八中高三期中）已知曲线C：的离心率，则实数m值为（    ）
A．6 B．-6 C． D．
3．（2020·北京八中高三期中）已知直线：和直线：，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（    ）
A． B． C． D．
4．（2018·北京·北师大实验中学高三期中（文）） “实数”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（    ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
5．（2020·北京八中高三期中）双曲线C过点，且与双曲线有共同的渐近线，则双曲线C的方程为______．
6．（2019·北京·北师大二附中高三期中）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.
7．（2018·北京·北师大实验中学高三期中（文））若抛物线的焦点在直线上，则实数____；抛物线C的准线方程为_____________．
三、解答题
8．（2020·北京八中高三期中）1.已知椭圆的短轴长为，直线l：与x轴交于点A，椭圆的右焦点为F，，过点A的直线与椭圆交于P，Q两点．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)若，求直线PQ的方程；
(3)过点P且平行于y轴的直线交椭圆于另一点M，求面积的最大值．
9．（2019·北京·北师大二附中高三期中）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：.
10．（2018·北京八中高三期中（理））已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点．
（1）求圆和椭圆的方程．
（2）已知，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值．
11．（2018·北京市十一学校高三期中（理））已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
（）求椭圆的标准方程．
（）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点，时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

参考答案
1．A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．
2．D
【分析】由曲线C：的离心率，得出是双曲线，进而得出，，由离心率，即可得出答案．
【详解】因为曲线C：的离心率，
所以曲线C：为双曲线，即，所以，，
所以离心率，解得，
故选：D．
3．A
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线和直线的距离之和，当B，P，F三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【详解】∵抛物线，∴抛物线的准线为，焦点为，

∴点P到准线的距离PA等于点P到焦点F的距离PF，即，
∴点P到直线和直线的距离之和，
∴当B，P，F三点共线时，最小，
∵，∴，
∴点P到直线和直线的距离之和的最小值为．
故选：A．
4．B
【分析】当时，分两种情况讨论，则即可判断两者之间的关系.
【详解】解：若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，因此；
若，当时，此时双曲线的焦点在轴上；
当，此时双曲线的焦点在轴上；
因此“”是“曲线是焦点在轴上的双曲线”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】考查必要不充分条件的判断，基础题.
5．
【分析】由双曲线C与双曲线有相同的渐近线，则设双曲线C的方程为，把点代入，解得λ，即可得出答案．
【详解】因为双曲线C与双曲线有相同的渐近线，
所以设双曲线C的方程为，
又因为双曲线C过点，所以，解得，
所以，所以双曲线C的方程为．
故答案为：．
6．.
【分析】根据条件求，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得，
解得或，
因为，所以.
因为，
所以双曲线的渐近线方程为.
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
7．         
【分析】由抛物线得其焦点是，代入求解可得答案.
【详解】抛物线的焦点是，由题意的，解得，所以准线方程为．
故答案为：6；.
8．(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）由，求得，由，即可求得a的值，求得椭圆方程；
（2）设直线PQ的方程，代入椭圆方程．利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得k的值；
（3）运用向量的共线的坐标运算和韦达定理，计算化简即可得证Q，F，M三点共线，则面积，代入，利用基本不等式即可求得面积的最大值．
(1)由题意，，则，，则，则，由，则，，所以椭圆的方程为；
(2)由（1）可得，设直线PQ的方程为，
，整理得，
依题意，得，设，
则①，②，由直线PQ的方程得，
于是③，由，则，④
由①②③④得，从而，所以直线m的方程为或；
(3)设，即有，
即，，设，即有，
则，，，，∴，
由于，等价为，
由韦达定理代入可得，
则有，故有，∴Q，F，M三点共线，
∴面积，
，
当且仅当，即时取等号，满足，
∴面积的最大值．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
9．（1）的方程为或；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先根据与轴垂直，且过点，求得直线的方程为，代入椭圆方程求得点的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；
（2）分直线与轴重合、与轴垂直、与轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.
【详解】（1）由已知得，l的方程为.
由已知可得，点的坐标为或.
所以的方程为或.
（2）当与轴重合时，.
当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以.
当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，
则，直线、的斜率之和为.
由得.
将代入得.
所以，.
则.
从而，故、的倾斜角互补，所以.
综上，.
【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.
10．（）；；（）见解析．
【分析】（1）根据椭圆定义知，又，因此易求得，得椭圆方程，从而也得到圆的方程；
（2）设出，，分别代入椭圆方程和圆的方程得到两个关系式，写出直线的方程，求出M点坐标，同理写出BP方程，求出N点坐标，再求得向量，并计算数量积，结果为0，可得．
【详解】（1）依题意，得，，
∴圆方程，椭圆方程．
（2）设，，
∴，，，
∵方程，令时，，
方程为，令得，
∴，，
∴，
∴．
11．(1) (2) 不存在
【详解】分析：（1）由椭圆的焦点坐标与点在椭圆上可求得椭圆的的标准方程。(2) 设，，，，的中点为，设直线MN的方程为，与椭圆组方程组结合韦达定理，由，知四边形为平行四边形，，得，由，可得，所以不存在Q点在椭圆上。
详解：（）设椭圆的焦距为，则，
∵在椭圆上，
∴，
∴，，
故椭圆的方程为．
（）假设这样的直线存在，设直线的方程为，
设，，，，的中点为，
由，消去，得，
∴，且，
故且，
由，知四边形为平行四边形，
而为线段的中点，因此为线段的中点，
∴，得，
又，可得，
∴点不在椭圆上，
故不存在满足题意的直线．
点睛：本题第（1）问考查由点在椭圆上与焦点坐标可求得椭圆的标准方程。第（2）问由平面向量为载体考查直线与椭圆相交韦达定理应用与点坐标关系的运算。
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