专题跟踪检测(十一)-统计.doc

专题跟踪检测（十一） 统计、统计案例
1．发展清洁能源，是改善能源结构、保障能源安全、推进生态文明建设的重要任务．十三五以来，我国加快调整能源结构，减少煤炭消费、稳定油气供应、大幅增加清洁能源比重，风电、光伏等可再生能源发电效率不断提高．据资料整理统计我国从2015年到2019年的年光伏发电量如表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
编号x
1
2
3
4
5
年光伏发电量(亿千瓦时)y
395
665
1 178
1 775
2 243

其中iyi＝23 574，≈4 837.5，＝1 251.2.
(1)请用相关系数r说明是否可用线性回归模型拟合年光伏发电量y与x的关系；
(2)建立年光伏发电量y关于x的经验回归方程，并预测2021年年光伏发电量(结果保留整数)．
参考公式：相关系数r＝，经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)因为＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
iyi＝23 574，≈4 837.5，
＝1 251.2，
所以相关系数r＝＝≈0.993.
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)因为＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
所以＝＝＝480.6，＝－＝1 251.2－480.6×3＝－190.6，
所以回归方程为＝480.6x－190.6.
因为2021年所对应的年份编号为7，当x＝7时，＝480.6×7－190.6＝3 173.6≈3 174，故预计2021年年光伏发电量为3 174亿千瓦时．
2．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：
旅游消费/千元
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
合计
年轻人/人
9
10
9
7
3
2
40
中老年人/人
5
9
13
13
11
9
60

(1)分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
(2)把一年旅游消费金额满8千元的客户称为“高消费”，否则称为“低消费”．
①从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；
②完成2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.

低消费
高消费
合计
年轻人

中老年人

合计

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：(1)由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为
1×＋3×＋5×＋7×＋9×＋11×＝4.55(千元)．
中老年人旅游消费的平均数为
1×＋3×＋5×＋7×＋9×＋11×≈6.43(千元)．
(2)①由表格可知，样本中“低消费”总客户数为100－5－20＝75，
其中“低消费”的年轻人有9＋10＋9＋7＝35人．
所以随机选一人，该客户是年轻人的概率为＝.
②2×2列联表如下：

低消费
高消费
合计
年轻人
35
5
40
中老年人
40
20
60
合计
75
25
100

因为K2＝≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关．
3．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数

25

未闯红灯人数
85

合计

200

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数
5
15
20
未闯红灯人数
95
85
180
合计
100
100
200

将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
(1)将2×2列联表填写完整(不需要写出填写过程)，并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议(至少提出两条建议)．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：(1)由题意，可将2×2列联表填写完整如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数
15
25
40
未闯红灯人数
85
75
160
合计
100
100
200

因为K2＝＝＝3.125>2.706，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．
(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为＝0.1，
而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．
(3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率，故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．
4．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

(xi－)2
(xi－)·
(yi－)
(ui－)2
(ui－)·(yi－)
15.25
3.63
0.269
2 085.5
－230.3
0.787
7.049

表中ui＝，＝i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；
(3)若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80 000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归方程＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)由散点图判断，y＝c＋更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程．
(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于＝＝≈8.957≈8.96，
所以＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，
所以y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，
所以y关于x的回归方程为＝1.22＋.
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x－x≥80，解得x≥11.12，所以至少印刷11 120册才能使销售利润不低于80 000元．

5．(2021·南通二模)网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数yi和时间第xi天间的数据，列表如下：
xi
1
2
3
4
5
yi
75
84
93
98
100

(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01)．
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率．
(3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：≈65.88.
参考公式：相关系数r＝，经验回归方程的斜率＝，截距＝－.
解：(1)由表中数据可得＝3，＝90，(xi－)2＝10，
(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，
所以r＝＝≈0.97>0.75，所以可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系．
而＝＝＝6.4，
则＝－＝90－6.4×3＝70.8，
所以＝6.4x＋70.8，令x＝6，
可得＝109.2≈109.
即8月10日到该专营店购物的人数约为109.
(2)因为75∶100＝3∶4，所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4，从而3人取自不同天的种数为
CC＋CC，所以概率P＝＝.
即这3人取自不同天的概率为.
(3)若选方案一，需付款1 000－100＝900元．
若选方案二，设需付款X元，则X的取值可能为600,800,900,1 000，
则P(X＝600)＝C×3＝，
P(X＝800)＝C×2×＝，
P(X＝900)＝C××2＝，
P(X＝1 000)＝C×3＝，
所以E(X)＝600×＋800×＋900×＋1 000×＝<900，因此选择方案二更划算．