专题跟踪检测(十一)-统计.doc

专题跟踪检测（十一） 统计、统计案例
1．发展清洁能源，是改善能源结构、保障能源安全、推进生态文明建设的重要任务．十三五以来，我国加快调整能源结构，减少煤炭消费、稳定油气供应、大幅增加清洁能源比重，风电、光伏等可再生能源发电效率不断提高．据资料整理统计我国从2015年到2019年的年光伏发电量如表：
年份
2015
2016
2017
2018
2019
编号x
1
2
3
4
5
年光伏发电量(亿千瓦时)y
395
665
1 178
1 775
2 243

其中iyi＝23 574，≈4 837.5，＝1 251.2.
(1)请用相关系数r说明是否可用线性回归模型拟合年光伏发电量y与x的关系；
(2)建立年光伏发电量y关于x的经验回归方程，并预测2021年年光伏发电量(结果保留整数)．
参考公式：相关系数r＝，经验回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝－.
解：(1)因为＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
iyi＝23 574，≈4 837.5，
＝1 251.2，
所以相关系数r＝＝≈0.993.
所以y与x之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合．
(2)因为＝12＋22＋32＋42＋52＝55，
所以＝＝＝480.6，＝－＝1 251.2－480.6×3＝－190.6，
所以回归方程为＝480.6x－190.6.
因为2021年所对应的年份编号为7，当x＝7时，＝480.6×7－190.6＝3 173.6≈3 174，故预计2021年年光伏发电量为3 174亿千瓦时．
2．为了解国内不同年龄段的民众旅游消费基本情况，某旅游网站从其数据库中随机抽取了100条客户信息进行分析，这些客户一年的旅游消费金额如下表：
旅游消费/千元
[0,2)
[2,4)
[4,6)
[6,8)
[8,10)
[10,12]
合计
年轻人/人
9
10
9
7
3
2
40
中老年人/人
5
9
13
13
11
9
60

(1)分别估计年轻人和中老年人的旅游消费的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
(2)把一年旅游消费金额满8千元的客户称为“高消费”，否则称为“低消费”．
①从这些“低消费”客户中随机选一人，估计该客户是年轻人的概率；
②完成2×2列联表，并判断能否有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关.

低消费
高消费
合计
年轻人

中老年人

合计

附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：(1)由表格可知，年轻人旅游消费的平均数为
1×＋3×＋5×＋7×＋9×＋11×＝4.55(千元)．
中老年人旅游消费的平均数为
1×＋3×＋5×＋7×＋9×＋11×≈6.43(千元)．
(2)①由表格可知，样本中“低消费”总客户数为100－5－20＝75，
其中“低消费”的年轻人有9＋10＋9＋7＝35人．
所以随机选一人，该客户是年轻人的概率为＝.
②2×2列联表如下：

低消费
高消费
合计
年轻人
35
5
40
中老年人
40
20
60
合计
75
25
100

因为K2＝≈5.556>5.024，所以有97.5%的把握认为旅游消费高低与年龄有关．
3．某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光．但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低的情况．交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数

25

未闯红灯人数
85

合计

200

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚．在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数
5
15
20
未闯红灯人数
95
85
180
合计
100
100
200

将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：
(1)将2×2列联表填写完整(不需要写出填写过程)，并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；
(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；
(3)结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议(至少提出两条建议)．
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

解：(1)由题意，可将2×2列联表填写完整如下：

45岁以下
45岁以上
合计
闯红灯人数
15
25
40
未闯红灯人数
85
75
160
合计
100
100
200

因为K2＝＝＝3.125>2.706，所以有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关．
(2)在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，行人闯红灯的概率为＝0.1，
而在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，行人闯红灯的概率为0.2，故在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象有明显改善．
(3)①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系，故可以针对45岁以上人群开展“道路安全”宣传教育；②由于经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率故可以在法律允许范围内进行适当的经济处罚．
4．某公司为研究某种图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．

(xi－)2
(xi－)·
(yi－)
(ui－)2
(ui－)·(yi－)
15.25
3.63
0.269
2 085.5
－230.3
0.787
7.049

表中ui＝，＝i.
(1)根据散点图判断：y＝a＋bx与y＝c＋哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y与印刷数量x的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程(结果精确到0.01)；
(3)若该图书每册的定价为9.22元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于80 000元？(假设能够全部售出，结果精确到1)
附：对于一组数据(ω1，v1)，(ω2，v2)，…，(ωn，vn)，其回归方程＝＋ω的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
解：(1)由散点图判断，y＝c＋更适合作为该图书每册的成本费y(单位：元)与印刷数量x(单位：千册)的回归方程．
(2)令u＝，先建立y关于u的线性回归方程，
由于＝＝≈8.957≈8.96，
所以＝－·＝3.63－8.957×0.269≈1.22，
所以y关于u的线性回归方程为＝1.22＋8.96u，
所以y关于x的回归方程为＝1.22＋.
(3)假设印刷x千册，依题意得9.22x－x≥80，解得x≥11.12，所以至少印刷11 120册才能使销售利润不低于80 000元．

5．(2021·南通二模)网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数yi和时间第xi天间的数据，列表如下：
xi
1
2
3
4
5
yi
75
84
93
98
100

(1)由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01)．
(2)运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率．
(3)该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100元可减10元；方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．某顾客计划在此专营店购买1 000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．
参考数据：≈65.88.
参考公式：相关系数r＝，经验回归方程的斜率＝，截距＝－.
解：(1)由表中数据可得＝3，＝90，(xi－)2＝10，
(yi－)2＝434，(xi－)(yi－)＝64，
所以r＝＝≈0.97>0.75，所以可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系．
而＝＝＝6.4，
则＝－＝90－6.4×3＝70.8，
所以＝6.4x＋70.8，令x＝6，
可得＝109.2≈109.
即8月10日到该专营店购物的人数约为109.
(2)因为75∶100＝3∶4，所以从第1天和第5天取的人数分别为3和4，从而3人取自不同天的种数为
CC＋CC，所以概率P＝＝.
即这3人取自不同天的概率为.
(3)若选方案一，需付款1 000－100＝900元．
若选方案二，设需付款X元，则X的取值可能为600,800,900,1 000，
则P(X＝600)＝C×3＝，
P(X＝800)＝C×2×＝，
P(X＝900)＝C××2＝，
P(X＝1 000)＝C×3＝，
所以E(X)＝600×＋800×＋900×＋1 000×＝<900，因此选择方案二更划算．