2021全国高三(上)期中数学汇编：椭圆及其方程.docx

2021全国高三（上）期中数学汇编
椭圆及其方程
一、单选题
1．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆离心率e的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
2．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（       ）
A．14 B．16 C．18 D．20
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的标准方程为（    ）
A． B． C． D．
5．设、分别是椭圆C：的左、右焦点，直线过交椭圆C于A，B两点，交y轴于C点，若满足且，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．椭圆C：的上、下顶点分别为A，C，点B在椭圆上，平面四边形ABCD满足∠BAD=∠BCD=90°，且，则该椭圆的离心率为__________﹒

7．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么椭圆的离心率为______．
8．已知点是椭圆：上一点，点､是椭圆的左､右焦点，若的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为_________．
9．在中，点，，点C在椭圆上，则的周长为____________．
10．已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得，写出C的一个标准方程：___________.
11．设椭圆的左､右焦点分别为､，是椭圆上一点，，，，则椭圆离心率的取值范围为___________.
12．已知，分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的端点，点在椭圆上，且.若的面积为，则___________.
13．已知椭圆的方程为，，为椭圆的左右焦点，P为椭圆上在第一象限的一点，I为的内心，直线PI与x轴交于点Q，椭圆的离心率为，若，则的值为___________.
14．已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，且，则椭圆的离心率为______．
15．已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.
三、解答题
16．已知椭圆C： (a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与椭圆C相交于A，B两点，且AB⊥OB，O为坐标原点.
(1)求椭圆的离心率e；
(2)若b＝1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点，
①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；
②点M满足2＝，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求的值.
17．已知离心率为的椭圆与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点P（0，-2）的动直线l与椭圆C相交于A，B两点，当坐标原点O位于以AB为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
18．已知中心为坐标原点，关于坐标轴对称的椭圆经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，若，求直线的方程．
19．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O．
20．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值为坐标原点）．
四、双空题
21．已知椭圆，则此椭圆的焦距长为_____________，设为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则_____________.

参考答案
1．D
【分析】由题设易知，设有，应用勾股定理得到关于的方程，利用方程有解，结合判别式构造不等式求椭圆离心率e的取值范围.
【详解】由题设，知：，若，则，
∴，整理得，
∴，可得，又，
∴.
故选：D
2．A
【分析】结合椭圆的对称性以及椭圆的定义得到，在中结合余弦定理可得，进而结合离心率的公式可以求出结果.
【详解】
取椭圆的右焦点，连接，由椭圆的对称性以及直线经过原点，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为，则，而，因此，由于，则，
在中结合余弦定理可得，
故，即，所以，因此，
故选：A.
3．C
【分析】设椭圆的左焦点为，由题可知，，利用，即可得出．
【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则

，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
4．D
【分析】根据长轴长为12，离心率为，由，求解.
【详解】由题意知，，，
所以，，
所以，
又焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为．
故选：D．
5．A
【解析】利用已知条件求出点的坐标，利用两点间的距离公式求得，，利用椭圆的定义求得，整理求得离心率.
【详解】设点坐标为，
，，，
所以有，解得，
因为，所以直线的方程为，
所以有点坐标为，
所以有，，
所以，
所以，
故选：A.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆离心率的求法，方法如下：
（1）根据题意，求得点的横坐标，代入直线方程求得点的纵坐标；
（2）利用两点间距离求得，；
（3）根据椭圆定义，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为；
（4）之后利用离心率的定义求得结果.
6．##
【分析】根据已知条件知、、、在以为直径的圆上，设，，，，结合圆的性质以及所给面积关系可得，，求得圆的方程，代入点坐标经计算即可得解﹒
【详解】根据题意可得，，设，，由，可得点A、B、C、D在以DB为直径的圆上，
又原点О为圆上的弦AC的中点，∴圆心在AC的垂直平分线上，可得圆心在x轴上，∴，
又，可得，
故圆心坐标为，半径为，
∴圆的方程为，
将A代入结合，可得，∴，，，
故答案为：﹒
7．##
【分析】先求得，然后求得圆的圆心和半径，进而求得椭圆的离心率.
【详解】由于方程表示圆，所以，
即圆的方程是，
圆心为，半径为，
所以.
故答案为：
8．
【分析】利用的面积关系可建立不等式，得出，即可根据题意得出，进而求出离心率.
【详解】设的内切圆半径为，则，
又，
所以，则，
由题意可得，即，则，
又，即，
所以离心率.
故选：B.
9．16
【分析】由题意可得，、为椭圆的两个焦点，则由椭圆定义及性质即可得的周长.
【详解】由椭圆方程可知，，，则，即、为椭圆的两个焦点，所以的周长为.
故答案为：16.

10．（答案不唯一）
【分析】根据题意和椭圆的定义，求得，进而求得，又由，求得，即可写出一个椭圆的方程.
【详解】因为，所以，则，
又因为，所以，即.
根据题意可设C的方程为，
因为椭圆的短轴长为4，则可得，，
又由，可得，解得，
所以其中椭圆的一个标准方程.
故答案为：（答案不唯一）.
11．
【分析】设，则，由椭圆定义可得即，由勾股定理可得，两式相除可得，再令由函数的性质可得的范围，进而可得椭圆离心率的取值范围.
【详解】设，，由椭圆的定义可得，
设，则，所以，即，①
因为，所以，②
两式相除可得，
令可得，
所以
，
因为，所以，
所以当即，时取得最小值，此时最小为，
当或即，时取得最大值，此时最大为，
所以椭圆离心率的取值范围为，
故答案为：.
12．
【分析】由题意可知，，三点共线和，再根据椭圆的定义，和勾股定理可证，即可求出，由此即可求出结果.
【详解】因为，所以，，三点共线.
又是椭圆短轴的端点，所以，
所以，，则，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
13．
【分析】连接､，是的内心，得到为的角平分线，即到直线､的距离相等，利用三角形的面积比，得到，结合椭圆的离心率的定义，即可求解.
【详解】解：如图所示，连接､，是的内心，所以､分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线､的距离相等，
所以，同理可得，，
由比例关系性质可知.
又椭圆的离心率.所以，所以，故，
故答案为：4.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
14．
【分析】利用列方程，化简求得椭圆的离心率.
【详解】依题意，设，则，
，即，，
，，
所以.
故答案为：
15．
【详解】设, ，因为，所以可得 ， ，三等式联立消去 可得
故答案为：.
16．(1)；
(2)①－；②
【分析】（1）根据题意可得点坐标，代入椭圆方程，结合，进而可得离心率；
（2）①由（1）可得椭圆的方程，写出直线方程，设，，，，联立直线与椭圆的方程，可得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，，，再计算，即可得答案；
②设点，，由，可得，再由，推出点坐标，再用坐标表示，，求出点坐标，把点，，代入椭圆方程，化简即可得答案．
（1）
解：已知，，，则，，
代入椭圆的方程有，所以，即，
所以，
所以．
（2）
解：①由（1）可得，，所以椭圆的方程为，
设直线，，，，，
联立直线与椭圆的方程，得，
所以△，，，
所以，
所以．
②设点，， ，则，
又因为，所以点，，
所以，，，，
则，所以，即，
因为点，，在椭圆上，
所以，，，，
所以，
由①可知，
所以，则，
所以．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）由将椭圆方程化简为，进而结合判别式法求得答案；
（2）设，，直线l方程为，根据，进而结合根与系数的关系求得答案.
(1)
根据题意，，而，则，，
所以椭圆方程为，，

，，
所以，，椭圆C方程为：.
(2)
设直线l方程为，，，
，即，
或，且,因为O在以AB为直径的圆外，所以，则，于是，即
.
综上：l斜率k的取值范围为.
18．(1)椭圆的方程为；
(2)直线的方程为或.
【分析】（1）、设椭圆的方程为，将坐标代入联立方程组求出即可得到椭圆的方程；
（2）、设出直线的方程与椭圆的方程联立，由及韦达定理可以求出，代入中即可求出，即可求出直线的方程.
(1)
设椭圆的方程为，
在椭圆上，，，椭圆的方程为.
(2)
由（1）可知：椭圆的左焦点，设直线的方程为：，
由联立得：，
直线交椭圆于两点，，，
设，，
又，.
,
，，，
直线的方程为：,即或.
19．(1)；(2)证明见解析.
【分析】(1)由的最大值为确定出点P的位置，探求出b与半焦距c的关系即可得解；
(2)切线MN斜率不存在时，可得，切线MN斜率存在，设出其方程，再与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即可得解.
【详解】(1)当点P在短轴端点处时，最大，而的最大值为，则有，，
所以所求椭圆的标准方程为；
(2)过点Q的圆O的切线斜率不存在时，切线方程为或，由椭圆及圆的对称性，不妨令切线为，
由(1)可得，，于是得，即，
过点Q的圆O的切线斜率存在时，设切线方程为，则有，即，
由消去y得：，
显然圆O在椭圆C内，则圆O的每一条切线都与椭圆C交于两点，设，，
，而，，
于是得
，
则有，
综上，过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，都有，
所以，以为直径的圆过点O.
20．（1）；（2）2.
【解析】（1）由离心率的值及右顶点到直线的距离为3和，，之间的关系求出，的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出面积的表达式，换元，由均值不等式的可得面积的最大值．
【详解】（1）由椭圆的方程可得右顶点，所以右顶点到直线的距离为，可得：，
由离心率，可得，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）由题意显然直线的斜率不为0，设直线的方程为：，设，，，，
联立直线与椭圆的方程可得：，整理可得：，，
所以，
设，
取等号时，，即斜率不存在，
这时，
当，，则，
所以
令，，则恒成立，
所以在单调递增，无最小值，也无最大值，
所以无最大值，
综上所述当且仅当，即时，所以面积的最大值为2．
【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合及均值不等式的应用，考查了利用韦达定理搭桥建立各个变量之间的关系，从而求得圆锥曲线的最值问题，计算量相对较大，属于较难题.
21．         
【分析】根据椭圆方程求出的值，由可得的值，进而可得焦距，根据椭圆的定义即可求得的长.
【详解】由椭圆可得，，所以，
所以椭圆的焦距长为，
由椭圆的定义可知：，，
两式相加可得：，
因为，所以，即，
故答案为：；.

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