2022北京首都师大附中高二(上)期中数学(教师版).docx

2022北京首都师大附中高二（上）期中
数 学
一、选择题（每题5分）
1. 直线的倾斜角为
A. B. C. D.
2. 圆心，半径为的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线方程的一个法向量可以是（ ）
A. B. C. D.
4. 点(3，0)到直线x+y－4=0距离等于（ ）
A. 4 B. C. 1 D.
5. 三棱锥中，、分别是、的中点，且，，，用、、表示，则等于（ ）

A. B.
C. D.
6. 已知直线与平行，则系数（ ）
A. B. C. D.
7. 直线与圆的位置关系为（ ）
A. 相切 B. 相交但直线不过圆心
C. 相交且直线过圆心 D. 相离
8. 已知向量，是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量在直线l上，则“，且”是的（ ）
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 点在圆上，点在直线上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为（　　）

A. B.
C. D.
二、填空题（每题5分）
11. 圆的圆心坐标为______，半径为_______
12. 过点且方向向量为 的直线方程是__________．
13. 已知两条直线，，若，则的值为___________.
14. 已知向量，，则在方向上的投影为________．
15. 如图，已知长方体中，，，则点到平面的距离为__________．

16. 已知矩形，沿将折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的最大值为__________，最小值为__________.
三、解答题（每题14分）
17. 已知△ABC三个顶点是A（3，3），，．
（1）求边中线所在直线方程；
（2）求边的垂直平分线的方程；
（3）求的面积
18. 如图，在直三棱柱中，，，，点是中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
19. （1）求过点（2，0）且圆心为（1，0）的圆的方程：
（2）过点(2，5)作（1）中圆的切线，求出切线方程.
20. 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=AD=1，AB=2，∠PAD=45°，E是PA中点，F在线段AB上，且满足=0.

（1）求证:DE∥平面PBC.
（2）求二面角F-PC-B余弦值.
（3）在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是? 若存在，求出AQ的长;若不存在，请说明理由.
21. 如图， 的边 边所在直线的方程为 ， 满足 ，点 在 边所在直线上且满足 ．

（1）求 边所在直线的方程；
（2）求 的外接圆的方程；
（3）若点 坐标为 ，其中 为正整数．试讨论在 的外接圆上是否存在点 ，使得 成立?说明理由．

参考答案
一、 选择题
1.【答案】A
【解析】【分析】首先将直线化为斜截式求出直线的斜率，然后再利用倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】由直线，
则，
设直线的倾斜角为，
所以，
所以.
故选：A
【点睛】本题考查了直线的斜截式方程、直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题.
2.【答案】D
【解析】【分析】根据圆心坐标及半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为:.
故选：D.
3.【答案】A
【解析】【分析】根据题意求出直线的方向向量，由法向量的定义再逐个分析判断.
【详解】因为直线的斜率为2，
所以直线的一个方向向量为，
对于A，因为，所以为直线的一个法向量，所以A正确，
对于B，因为，所以不是直线的法向量，所以B错误，
对于C，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，
对于D，因为，所以不是直线的法向量，所以C错误，
故选：A
4.【答案】D
【解析】【分析】由点到直线的距离公式计算．
【详解】由题意所求距离为．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】根据空间向量运算求得正确答案.
【详解】

.
故选：B
6.【答案】B
【解析】【分析】由直线的平行关系可得，解之可得．
【详解】解：直线与直线平行，
，解得．
故选：．
7.【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线的距离与半径比较可得结果.
详解】由，得，
所以圆心，半径为，
因为圆心到直线的距离为
，
所以直线与圆相交，
因为不在直线上，
所以直线与圆相交但直线不过圆心，
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案.
【详解】由题意，，.
若与方向相反，且，在平面α内，则向量，所在的直线要么重合，要么平行，因此根据线面垂直的判定定理，由，且无法得到.
若，根据线面垂直的定义，可以得到，且.
所以“，且”是的必要不充分条件.
故选：B.
9.【答案】B
【解析】【分析】根据题意可知圆心，又由于线外一点到已知直线的垂线段最短，结合点到直线的距离公式，即可求出结果.
【详解】由题意可知，圆心，
所以圆心到的距离为，所以的最小值为.
故选：B.
10.【答案】A
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，将点P到直线CC1的距离的最小值转化为异面直线D1E与CC1的距离，利用空间向量可求得结果.
【详解】以D为原点，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则E(1,2,0)，D1(0,0,2)，,,
，，,
设(x，y，z)，,，
则(x，y，z)·(0,0,2)＝0，∴z＝0，
＝(x，y，z)·(－1，－2,2)＝，∴y＝-x，
令x＝1，则y＝-，∴u＝(1,-,0)，
∴异面直线D1E与CC1的距离为d＝，
∵P在D1E上运动，∴P到直线CC1的距离的最小值为d＝.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：将点P到直线CC1的距离的最小值转化为为异面直线D1E与CC1的距离求解是解题关键.
二、 填空题
11.【答案】 ①. ②.
【解析】【分析】配方后可得圆心坐标和半径．
【详解】圆标准方程是，
圆心坐标为，半径为．
故答案为：；．
12.【答案】
【解析】【分析】根据直线的方向向量求出直线斜率，然后利用点斜式求出直线方程.
【详解】直线方程方向向量为 直线的斜率为
直线过点，直线方程为，即
故答案为：
13.【答案】
【解析】【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出的值．
【详解】当时，不满足，舍去；
当时，直线的斜率，的斜率
∵，
∴，
解得
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】根据向量投影的计算公式，计算出在方向上的投影.
【详解】依题意在方向上的投影为.
【点睛】本小题主要考查向量在另一个向量上的投影的计算，考查空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题.
15.【答案】
【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间向量中点到平面距离公式，即可求出结果.
【详解】以为坐标原点的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则.

设，则，，
设平面的法向量为,则,
，即，所以，
可取.
又，
点到平面的距离为，即点到平面的距离为.
故答案为：.
16.【答案】 ①. ## ②.
【解析】【分析】结合到平面的距离的最大值和最小值来求得正确答案.
【详解】过作，垂足为，
.
当在平面上的投影在上时，到平面的距离最大，如下图所示，
此时平面平面，且交线为，平面，所以平面，
所以四面体体积的最大值为.

当在平面上的投影在上时，到平面的距离最小，
则平面，由于平面，所以，
由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
，，
，
所以四面体的体积的最小值为.

故答案为：；
【点睛】求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式，如果底面积固定（如本题），则通过找高的最值来进行求解.
三、 解答题
17.【答案】（1）
（2）
（3）8
【解析】【分析】（1）求出中点坐标后，由截距式写出直线方程并整理；
（2）求出的斜率，由垂直关系得垂直平分线的斜率，从而可得直线方程；
（3）求出到直线的距离，再求得的长后可得三角形面积．
【小问1详解】
因为A（3，3），，所以中点的坐标为，
方程为，即；
【小问2详解】
，中垂线的斜率为，垂直平分线方程为；
【小问3详解】
直线方程为，即，
点到直线的距离为，
，
所以．
18.【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，标记处各个点的坐标.
（1）表示出 ，用向量法求异面直线与所成角的余弦值；
（2）用向量法求平面与平面所成角的余弦值.
【详解】
如图示：以A为原点，为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.
（1） ，
所以异面直线与所成角的余弦值
.
（2）显然面的一个法向量.
设面的一个法向量为，
则，不妨取y=-2，则
由图示，平面与平面所成角为锐角，所以
所以平面与平面所成角的余弦值为.
19.【答案】(1) ；(2)或．
【解析】【分析】（1）求出半径后可得圆标准方程；
（2）分类讨论．验证斜率不存在的直线是切线，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程．
【详解】（1）由已知圆半径为，所以圆方程为；
（2）易知直线与相切，
当切线斜率存在时，设切线方程是，即，
由，解得，切线方程是，即．
所以切线方程是或．
20.【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，|AQ|=
【解析】【分析】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，证明四边形CDEM为平行四边形即可得证；
（2）以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，分别求出平面PBC和FPC的法向量，结合向量夹角的余弦公式即可求解；
（3）设存在点Q，结合线面角的正弦值等于线与法向量夹角的余弦值的绝对值,直接计算即可.
【小问1详解】
取PB的中点M，连接EM和CM，
∵E，M分别为PA，PB的中点， ∴EM∥AB且EM=AB，
又CD∥AB且CD=AB，∴EM∥CD且EM=CD，∴四边形CDEM为平行四边形，
∴DE∥CM，又CM⊂平面PBC，DE⊄平面BPC，∴DE∥平面PBC；
【小问2详解】
由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E，0，，=(-1，-1，0)，=(0，-1，1)，
设平面PBC的法向量为=(x，y，z)，则令y=1，则x=-1，z=1，
∴=(-1，1，1).
设点F的坐标为(1，t，0)，则=(1，t-1，0)，=(1，2，0)，由=0，
得t=，∴F1，，0=1，-，0，
设平面FPC的法向量为=(a，b，c)，由得令a=1，则b=2，c=2，∴=(1，2，2)，
则，又由图可知，二面角F-PC-B为锐角，故该二面角的余弦值为；
【小问3详解】
存在，由(2)知，可设==(-λ，0，λ)，λ∈[0，1]，
=-λ，-，λ，
∴
∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，
，整理得20λ2+8λ-1=0，解得λ=，λ=-(舍)，
∴存在满足条件的点Q，=-，0，，且|AQ|=
21.【答案】（1）；
（2）；
（3）当n=1或2时，存在点P，当n时，不存在点P.
【解析】【分析】（1）由又在上且，得AC⊥AB，结合T点坐标及直线AB的斜率，可求出AC边所在直线的方程；（2）结合（1）中结论，直线AB,AC的方程联立，得点A；由B、C两点关于M点对称，得△ABC的外接圆是以M为圆心，以AM为半径的圆；（3）若在△ABC的外接圆上存在点P，使得|PN|＝|PT|成立，则P为线段NT的垂直平分线与圆M的公共点．所以当与圆M相离时，不存在点P；当与圆M相交或相切时则存在点P．设N点坐标，点N到直线距离d与半径r=比较，即可得到结论．
【小问1详解】
因为，
所以，又在上，所以，为，
又边所在直线的方程为，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
即．
【小问2详解】
与的交点为，
所以由解得点的坐标为，
因为，
所以，
所以为斜边上的中点，即为外接圆的圆心．
又．
从外接圆的方程为：．
【小问3详解】
若在的外接圆圆上存在点，使得成立，则为线段的垂直平分线与圆的公共点．
所以当与圆相离时，不存在满足条件的点；当与圆相交或相切时则存在满足条件的点．
由，，知的斜率为，线段的中点为．
线段的垂直平分线为，即．
圆的圆心到直线的距离为，
（）当时，而，由，此时直线与圆相交，存在满足条件点；
（）当时，此时直线与圆相交，存在满足条件的点；
（）当时，，，，
所以

此时直线与圆相离，不存在满足条件的点
综上：当n=1或2时，存在点P，当n时，不存在点P.
【点睛】本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角三角形的外接圆的性质的应用，两直线的交点、点到直线的距离公式等基础知识，本题考查的知识点较多，要求考生具备综合应用知识的能力，属于中档题．
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