2023版大一轮数学人教A版-第1节-直线的方程.docx

第1节　直线的方程

知识梳理
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式：
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.

3．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线

1．直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：

α
0
0<α<

<α<π
k
0
k>0
不存在
k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．

诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等．

2．若过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12，则直线的方程为________．
答案　12x－y－18＝0
解析　由题意得＝12，解得m＝－2，∴A(2，6)，
∴直线AB的方程为y－6＝12(x－2)，
整理得12x－y－18＝0.
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________．
答案　A≠0且B≠0
解析　由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A≠0且B≠0.

4．(2020·衡水模拟)直线x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)

A. B. C. D.
答案　D
解析　由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π)，所以α＝.
5．(多选题)(2021·烟台调研)下列说法正确的是(　　)
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
答案　ABD
6．(2020·武汉调研)过点(－3，4)，在x轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______．
答案　4x－y＋16＝0
解析　由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为＋＝1，又直线过点(－3，4)，从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9(舍)．
故所求直线的方程为4x－y＋16＝0.

考点一　直线的倾斜角与斜率

【例1】(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．
答案　(－∞，－]∪[1，＋∞)
解析　法一　

设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]．
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
法二　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
【迁移】若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．
解　设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
感悟升华　1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的．
2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．
【训练1】 过函数f(x)＝x3－x2图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A. B.∪
C. D.

答案　B
解析　∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴斜率k＝tan α≥－1，解得倾斜角α∈∪，故选B.
考点二　直线方程的求法

【例2】 (1)已知△ABC的三个顶点分别为A(－3，0)，B(2，1)，C(－2，3)．求BC边上的中线AD所在直线的方程．
(2)经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)．
解　(1)由题意得线段BC的中点D(0，2)，可得BC边上的中线AD所在直线的方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(2)法一　①当截距为0时，直线l过点(0，0)，(2，3)，
则直线l的斜率为k＝＝，
因此，直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.
②当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
因为直线l过点P(2，3)，所以＋＝1，所以a＝5.
所以直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
法二　由题意可知所求直线斜率存在，
则可设y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－＋2.
于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或k＝－1.
则直线l的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，
即直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
(3)联立得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1，1)，
∵直线的方向向量v＝(－3，2)，
∴直线的斜率k＝－.
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
感悟升华　(1)求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
【训练2】 (1)已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
(2)过点(2，1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为________________．
答案　(1)D　(2)x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析　(1)设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan(α＋45°)＝＝－3，又点M(2，0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
(2)由题意可设直线方程为＋＝1.
则解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.

考点三　直线方程的综合应用

【例3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明　直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1)．
(2)解　由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
感悟升华　1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，能够看出“动中有定”．若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2)．
2．求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．
3．求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
【训练3】 (1)已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
①若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；
②若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；
③若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________．
(2)曲线xy－x＋2y－5＝0在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)
A．9 B. C. D.
答案　(1)①(0，3)　②(－3，0)　③(3，0)　(2)B
解析　(1)①当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3)．
②直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0)．
③当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0)．
(2)由xy－x＋2y－5＝0，得y＝f(x)＝，
∴f′(x)＝，∴f′(1)＝－，
∴曲线在点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)．
令x＝0，得y＝；令y＝0得x＝7.
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝××7＝.

A级　基础巩固

一、选择题

1．(多选题)(2021·惠州调研)如图，

直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　)
A．k1＜k3＜k2　B．k3＜k2＜k1
C．α1＜α3＜α2　D．α3＜α2＜α1
答案　AD
解析　如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2＞k3＞0，k1＜0，故＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD.
2．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)
A．1±或0 B.或0
C. D.或0
答案　A
解析　由题意知kAB＝kAC，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
3．如果A·B>0，B·C<0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　因为直线在x轴、y轴上的截距分别为<0，－>0，所以直线Ax－By－C＝0不经过的象限是第四象限．故选D.
4．(多选题)(2020·临沂质检)设直线l经过点A(2，1)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为(　　)
A．x－2y＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋2y＝0
答案　AB
解析　当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为y＝kx，则2k＝1，k＝，所以直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当截距都不为零，则设直线方程为x＋y＝a(a≠0)，则2＋1＝a(a≠0)，所以直线方程为x＋y＝3，即x＋y－3＝0，综上直线方程为x－2y＝0或x＋y－3＝0.
5．(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　)

答案　B
解析　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合．
6．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1 C．－2或－1 　D．－2或1
答案　D
解析　令x＝0，y＝2＋a，
令y＝0，x＝，则2＋a＝.
即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝－2或a＝1.
7．直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
8．(2020·安阳模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
答案　D
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，
∴－2≤k≤.
二、填空题
9．把直线x－y＋－1＝0绕点(1，)逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是________．
答案　y＝x
解析　已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，绕点逆时针旋转15°后，得到的直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l的斜率为tan α＝tan 60°＝，∴直线l的方程为y－＝(x－1)，即y＝x.
10．(2020·沈阳模拟)过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________．
答案　x＋4y－2＝0
解析　因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，
可设直线方程为＋ay＝1，
因为＋ay＝1过点，
所以＋a＝1，解得a＝2，
所以，所求直线方程为x＋2y＝1，化为x＋4y－2＝0.
11．(2021·重庆质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
答案　－
解析　依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，
则有解得
从而可知直线l的斜率为＝－.
12．在平面直角坐标系xOy中，经过点P(1，1)的直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B.若＝－2，则直线l的方程是________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　设A(a，0)，B(0，b)，由＝－2，可得a－1＝－2×(0－1)，0－1＝－2(b－1)，则a＝3，b＝，由截距式可得直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－3＝0.
B级　能力提升

13．(2021·东北三省三校调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为(　　)
A.　B．[－1，0] C．[0，1] D.
答案　A
解析　由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，
故－1≤x0≤－.
14．已知A，B是x轴上的不同两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
答案　B
解析　因为点P的横坐标为2，且点P在直线x－y＋1＝0上，所以点P的纵坐标为3，所以P(2，3)．又因为|PA|＝|PB|，所以直线PA，PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为－1，则直线PB的方程是y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选B.
15．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则a＝________．
答案　
解析　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2(2－a)＋×2(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，又0<a<2，所以当a＝时，面积最小．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是线段AB上的点，则P到AC，BC的距离的乘积的最大值为________．
答案　3
解析　

以C为坐标原点，CB所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)，则A(0，4)，B(3，0)，
直线AB的方程为＋＝1.
设P(x，y)(0≤x≤3)，所以P到AC，BC的距离的乘积为xy，因为＋≥2，
当且仅当＝＝时取等号，所以xy≤3，
所以xy的最大值为3.