2022北京海淀清华附中初一(上)期末数学(教师版).docx

2022 北京海淀清华附中初一(上)期末
数 学
(清华附中初 21 级) 2022.01
一、选择题(本大题共 30 分，每小题 3 分)
1. 下列图形中，属于立体图形的是( )
A. B. C. D.
2. 目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的 手，带有各种细菌约75000 万个，将数据75000 用科学记数法表示是( )
A 7.5 103 B. 7.5 104 C. 7.5 105 D. 7.5 106
.
3. 单项式﹣ 3x2y 的系数和次数分别是( )
A. 3 ，2 B. -3 ，2 C. 3 ，3 D. ﹣ 3 ，3
4. 在灯塔 O 处观测到轮船 A 位于北偏西54°的方向，同时轮船 B 在南偏东 15°的方向，那么∠AOB 的大小为 ( )

A. 69° B. 111° C. 141° D. 159°
5. 下列各组式子中，是同类项的为( )
A. 2a 与 2b B. 2ab 与一3ba C. a2b与2ab2 D. 3a2 b 与 a2bc
6. 如果3(x 一 2) 与2(3 一 x) 互为相反数，那么x 的值是( )
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
.
7. 下列等式变形正确的是( )
A. 若 2x＝1，则 x＝2
B. 若 2 (x﹣ 2)＝5 (x+1)，则 2x﹣ 4＝5x+5
C. 若 4x﹣ 1＝2﹣ 3x，则 4x+3x＝2﹣ 1
D. 若 一 = 1，则 3 (3x+1) ﹣ 2 (1﹣ 2x)＝1 2 3
8. 实数a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
3x + 1 1 一 2x

A. 一a c B. a b C. ab 0 D. a 一3
9. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送 10
件，还剩 6 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件，设该分派站有 x 名快递员，则可列方程为( )
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A. 10x﹣ 6＝12x＋6 B. 10x＋6＝12x﹣ 6
x 一 6 x + 6 x + 6 x 一 6
C. = D. =
10 12 10 12
10. 如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD．当直线 CD 绕点 O 顺时针旋转 ° (0＜
＜180)时，下列各角的度数与∠BOD 度数变化无关的角是( )

A. ∠AOD B. ∠AOC C. ∠EOF D. ∠DOF
二、填空题(本大题共 16 分，每小题 2 分)
11. 用四舍五入法将 3.1415 精确到百分位约等于_____．
12. 已知关于x 的方程x + 2m = 15 的解是x = 1 ，则 m = __________．
13. 若关于x 的多项式x3 + (2m + 2)x2 一 (m 一 3)x 一 1不含二次项，则m = __________．
14. 如图，点 C 在线段 AB 上，若 AB = 10 ，BC = 2 ，M 是线段 AB 的中点，则MC 的长为_______．

15. 已知关于x 的方程 (m + 1)x|m| = 6 是一元一次方程，则m 的值是__________．
16. 比较大小： 36。25,__________ 36.25。(填“>” ，“<”或“=”)．
17. 已知代数式m + 2n = 1，则代数式 3m+ 6n+ 5 的值为_________．
18. 甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样． 甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过 200 元，不给予优惠；超过了200 元而不超过 500 元，一律打八八折；超过 500 元时，其中的 500 元打八八折，超过 500 元的部分打八折．
(1)某顾客要购买商品的总标价为 600 元，该顾客选择_____ (填“甲”或“乙”)商场更划算；
(2)当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同．
三、解答题(本大题共 54 分，第 19 ，20 题，每小题 8 分，第 21~25 题，每小题 5 分，第 26 题 7 分，第 27 题 6 分)
19. 计算：
(1) (一3)2 一 23 + (一2) ；
(2) + 一 ))|〉12 ．
20. 解下列方程：
(1) 2x 一 15 = 5 一 3x ；
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(2) 5x一3 7 = 3x一2 3 ．
21. 先化简，再求值: 4xy 一 (2x2 + 5xy 一 y2 )+ 2 (x2 + 3xy) ，其中 x = 1, y = 一2 .
22. 如图，平面上有 A 、B 、C、D 、F 五个点，请根据下列语句画出图形：
(1)直线 BC 与射线 AD 相交于点 M；
(2)连接 AB，并延长线段 AB 至点 E，使点 B 为 AE 中点；
(3)在直线 BC 上找一点 P，使点 P 到A 、F 两点的距离之和最小，作图的依据是： ．

23. 定义一种新运算“ ”，其规则为 x y = xy 一 x + y ．例如 2 3 = 2 3 一 2 + 3 = 7 ， (2a) 3 = (2a) 3 一 2a + 3 = 4a + 3 ．
(1)计算 3 2 值为 ；
(2)已知(2m) 3 = 2 m ，求 m 的值；
(3)有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即 a + b = b + a ，ab = ba ，那么“ ”运算是否满足交换律？若满 足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
24. 如表是某次篮球联赛积分榜的一部分

球队
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
远大
14
7
7
21
钢铁
14
0
14
14
备注：积分=胜场积分+负场积分

(1)观察积分榜，胜一场积 分，负一场积 分；
(2)设某队胜 x 场，则胜场总积分为 分，负场总积分为 分(用含x 的整式填空)；
(3)若某队的负场总积分是胜场总积分的 n 倍，其中n 为正整数，请直接写出n 的值．
25. 如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的点A ，B ， C 把数轴分成①②③④四部分，点A ，B ， C 对应的数 分别是 a ，b ，c ，已知 bc < 0 ．


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5
i
i

(1)原点在第 部分；
(2)若 AC = 5 ，BC = 3 ，b = 1，求 a 的值；
(3)在(2)的条件下，数轴上一点 D 表示的数为 d ，若 BD = 2OC ，直接写出 d 的值．
26. 已知 三AOB = 100。， 三COD = 40。， OE ， OF 分别平分 三AOD ， 三BOD ．

(1)如图 1，当 OA ， OC 重合时， 三EOF = 度；
(2)若将 三COD 的从图 1 的位置绕点 O 顺时针旋转，旋转角 三AOC = ，满足 0。< < 90。且 40。．
①如图 2，用等式表示 三BOF 与三COE 之间的数量关系，并说明理由；
②在 三COD 旋转过程中，请用等式表示三BOE 与 三COF之间的数量关系，并直接写出答案．
27. 给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1 ，第二个数记为 a2 ，第三个数记为 a3 ，依此类推，第 n 个数记
为an ( n 为正整数)，如下而这列数2 ，4 ，6 ，8 ，10 中， a1 = 2 ，a2 = 4 ， a3 = 6 ，a4 = 8 ，a5 = 10 ，规定
n
运算 ai = a1 + a2 + a3 + … + an ．即从这列数的第一个数开始依次加到第 n 个数，如在上面的一列数中，
i
=1
3
ai = a1 + a2 + a3 = 2 + 4 + 6 = 12 ．
i
=1
(1)已知一列数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ，那么 a5 = ， ai = ；
i =1
(2)已知这列数 1 ， 2 ，3 ， 4 ，5 ， 6 ，7 ， 8 ，9 ， 10 ， … ，按照规律可以无限写下去，那么
a2020 = ， ai = ；
2022

=1
n
=1
(3)在(2)的条件下，若存在正整数 n 使等式 ai = 2022 成立，直接写出n 的值．
四、附加题(本大题共 20 分，第 28-30 题每题 3 分，第 31 题 4 分，第 32 题 7 分)
28. 若实数x ，y ，满足| x + 2 | +(x + y)2 = 0 ，则 xy 的值等于__________．
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29. 一个角的补角比它的余角的 3 倍少20。，这个角的度数是_______度．
30. 若a + 9 = b + 8 = c + 7 ，则 (a 一 b)2 + (b 一 c)2 一 (c 一 a)2 = __________．
31. 对于三个数 a ，b ，c ，用 M{a, b, c} 表示这三个数的平均数，用min {a, b, c} 表示这三个，数中最小的数．例 如： M {一 1, 2, 3} = 一 1 +32 + 3 = ，min {一1, 2, 3} = 一1 ，如果 M{3, 2x + 1, x 一 1} = min {3, 一x + 7, 2x + 5} ，那么
x =
__________
．
32. 对于数轴上的点A 和正数r ，给出如下定义：点 A 在数轴上移动，沿负方向移动r 个单位长度后所在位置点表 示的数是x ，沿正方向移动 r 个单位长度后所在位置点表示的数是y ，x 与y 这两个数叫做“点A 的r 对称数”，记 作D(A, r) = {x, y} ，其中 x y ．
例如：原点 O 表示0 ，原点 O 的1对称数是D(O, 1) = {一 1, 1}．
(1)若点 A 表示2 ，则点 A 的4对称数D(A, 4) = {x, y} ，则 x = ，y = ；
(2)若 D(A, r) = {一3, 11} ，求点 A 表示的数及r 的值；
(3)己知 D(A, 5) = {x, y} ，D(B, 3) = {m, n} ，若点 A 、点 B 从原点同时出发，沿数轴反向运动，且点A 的速度 是点B 速度的2 倍，当2(y 一 n) = 3(x 一 m) 时，请直接写出点A 表示的数．


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参考答案
一、选择题(本大题共 30 分，每小题 3 分)
1. 下列图形中，属于立体图形的是( )
A. B. C. D. 【答案】 ACD
【解析】
【分析】根据立体图形的定义：是各部分不都在同一平面内的几何图形，由一个或多个面围成的可以存在于现实生 活中的三维图形，进行逐一判断即可．
【详解】解： A、是立体图形，符合题意；
B、不是立体图形，不符合题意；
C、是立体图形，符合题意；
D、是立体图形，符合题意；
故选 ACD．
【点睛】本题主要考查了立体图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握立体图形的定义．
2. 目前全球新型冠状病毒肺炎疫情防控形势依旧严峻，我们应该坚持“勤洗手，戴口罩，常通风”．一双没有洗过的 手，带有各种细菌约75000 万个，将数据75000 用科学记数法表示是( )
A. 7.5 103 B. 7.5 104 C. 7.5 105 D. 7.5 106
【答案】 B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤ |a|＜10 ，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10 时， n 是正整数；当原数的绝对 值＜1时， n 是负整数．
【详解】 75000 = 7.5 104
故选： B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤ |a|＜10 ，n 为整数，正 确确定 a 的值以及 n 的值是解决问题的关键．
3. 单项式﹣ 3x2y 的系数和次数分别是( )
A. 3 ，2 B. -3 ，2 C. 3 ，3 D. ﹣ 3 ，3 【答案】 D
【解析】
【分析】根据单项式的系数是单项式的数字因式，而次数是所有字母指数的和，据此求解即可．
【详解】解： 一3x2 y
其系数为一3 ，次数为 2+ 1 = 3，

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故选： D．
【点睛】题目主要考查单项式的相关概念，包括单项式的系数及次数，理解单项式的基础知识是解题关键． 4. 在灯塔 O 处观测到轮船 A 位于北偏西54°的方向，同时轮船 B 在南偏东 15°的方向，那么∠AOB 的大小为
( )

A. 69° B. 111° C. 141° D. 159°
【答案】 C
【解析】
【分析】根据方向角，可得∠1，∠2，根据角的和差，可得答案．
【详解】如图，

由题意，得
∠1=54°，∠2=15°，
由余角的性质，得
3=90o - 1=90o - 54o =36o .
由角的和差，得
∠AOB=∠3+∠4+∠2= 36o + 90o + 15o =141o
故选： C.
【点睛】本题考查方向角和角度的计算，熟练掌握方向角的定义是关键.
5. 下列各组式子中，是同类项的为( )
A. 2a 与 2b B. 2ab 与-3ba C. a2b与2ab2 D. 3a2 b 与 a2bc 【答案】 B
【解析】
【分析】根据同类项的概念判断即可．
【详解】解： A 、2a 与 2b，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；
B 、2ab 与−3ba 是同类项，符合题意；
C、a2b 与 2ab2 ，相同字母的指数不相同，不是同类项，不符合题意；
D 、3a2b 与 a2bc，所含字母不相同，不是同类项，不符合题意；
故选： B．
【点睛】本题考查的是同类项的概念，掌握所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项是解 题的关键．
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6. 如果3(x 一 2) 与2(3 一 x) 互为相反数，那么x 的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 A
【解析】
【分析】根据“互为相反数的两个数的和为 0” ，可列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意可知， 3(x 一 2) + 2(3 一 x) = 0 ，
则3x 一 6 + 6 一 2x = 0 ，
：x = 0 ，
故选： A．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程，相反数，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键，在 解题时还应注意解方程易错点：去分母时保留括号，等式左右每一项都要乘最小公分母，移项要变号等．
7. 下列等式变形正确的是( )
A. 若 2x＝1，则 x＝2
B. 若 2 (x﹣ 2)＝5 (x+1)，则 2x﹣ 4＝5x+5
C. 若 4x﹣ 1＝2﹣ 3x，则 4x+3x＝2﹣ 1
D. 若 一 = 1，则 3 (3x+1) ﹣ 2 (1﹣ 2x)＝1 2 3
3x + 1 1 一 2x

【答案】 B
【解析】
【分析】根据解一元一次方程的方法即可依次判断．
【详解】 A.若 2x＝1，则 x ＝ ，故错误；
B.若 2 (x﹣ 2)＝5 (x+1)，则 2x﹣ 4＝5x+5，正确；
C.若 4x﹣ 1＝2﹣ 3x，则 4x+3x＝2+1，故错误；
D.若 一 = 1，则 3 (3x+1) ﹣ 2 (1﹣ 2x)＝6，故错误；
3x + 1 1 一 2x
2 3
故选 B．
【点睛】此题主要考查解一元一次方程，解题的关键是熟知去分母的方法．
8. 实数a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )

A. 一a > c B. a > b C. ab > 0 D. a > 一3
【答案】 A
【解析】
【分析】由数轴得， a 0 b c ， a > c > b ，再逐个选项分析判断即可.
【详解】根据数轴可知： a 0 b c ， a > c > b ，
∴A. 一a > c ，正确；

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B. a < b ，故 B 选项错误；
C. ab < 0 ，故 C 选项错误；
D. a < 3 ，故 D 选项错误； 故选 A
【点睛】本题考查利用数轴比较实数大小以及实数的乘法，熟练掌握相关知识点是解题关键.
9. 近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送 10 件，还剩 6 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件，设该分派站有 x 名快递员，则可列方程为( )
A. 10x﹣ 6＝12x＋6 B. 10x＋6＝12x﹣ 6
x 6 x + 6 x + 6 x 6
C. = D. =
10 12 10 12
【答案】 B
【解析】
【分析】根据题意：若每个快递员派送 10 件，还剩6 件，则快递总数是： (10x+ 6) 件，若每个快递员派送 12 件， 还差 6 件，则快递总数是： (12x 6) 件，据此即可列出方程．
【详解】解：根据题意：若每个快递员派送 10 件，还剩6 件，则快递总数是： (10x+ 6) 件；若每个快递员派送 12 件，还差 6 件，则快递总数是： (12x 6) 件；
可得： 10x + 6 = 12x 6 ，
故选： B．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．
10. 如图，直线 AB ，CD 相交于点 O ，OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD．当直线 CD 绕点 O 顺时针旋转 ° (0＜
＜180)时，下列各角的度数与∠BOD 度数变化无关的角是( )

A. ∠AOD B. ∠AOC C. ∠EOF D. ∠DOF 【答案】 C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可得∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，结合平角的定义可求解∠EOF=90°，由∠ EOF 的度数为定值可判定求解．
【详解】解：∵OE 平分∠AOD ，OF 平分∠BOD，
∴∠AOD=2∠EOD，∠BOD=2∠DOF，
∵∠AOD+∠BOD=180°，
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∴∠EOD+∠DOF=90°，
即∠EOF=90°，
∴直线 CD 绕点 O 顺时针旋转 α° (0＜α＜180)时，∠EOF 的度数与∠BOD 度数变化无关．
故选： C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，求解∠EOF 的度数是解题的关键．
二、填空题(本大题共 16 分，每小题 2 分)
11. 用四舍五入法将 3.1415 精确到百分位约等于_____． 【答案】 3.14
【解析】
【分析】把千分位上的数字 1 进行四舍五入即可．
【详解】解： 3.1415 (精确到百分位)是 3.14．
故答案为： 3.14．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它 们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确
一些．
12. 已知关于x 的方程x + 2m = 15 的解是x = 1 ，则 m = __________． 【答案】 7
【解析】
【分析】把x = 1 代入原方程，再解方程即可．
【详解】解：把 x = 1 代入x + 2m = 15 得，
1+ 2m = 15 ，解得， m = 7
故答案为： 7．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，解题关键是明确方程解的含义，熟练地解方程．
13. 若关于x 的多项式x3 + (2m + 2)x2 一 (m 一 3)x 一 1不含二次项，则m = __________． 【答案】 - 1
【解析】
【分析】令 x 的二次项系数等于零列式求解即可．
【详解】解：∵于 x 的多项式x3 + (2m + 2)x2 一 (m 一 3)x 一 1不含二次项，
∴2m+2=0，
∴m=- 1，
故答案为： - 1．
【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关的意思， 与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于 0 ，由此建立方程求解．
14. 如图，点 C 在线段 AB 上，若 AB = 10 ，BC = 2 ，M 是线段 AB 的中点，则MC 的长为_______．

【答案】 3
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【解析】
【分析】根据线段中线性质可得 BM＝5，线段 BM 的长度减去 BC 的长度即是 MC 的长度．
【详解】解：∵M 是线段 AB 中点， AB = 10 ，
∴BM＝5，
∵ BC = 2 ，
∴MC＝BM－BC＝5－2＝3．
故答案为： 3．
【点睛】本题考查了与线段中点有关的计算，掌握线段中点性质和线段的计算方法是解题关键．
15. 已知关于x 的方程 (m + 1)x|m| = 6 是一元一次方程，则m 的值是__________． 【答案】 1
【解析】
【分析】根据一元一次方程一次项系数不为 0，未知数的次数为 1 求解即可．
【详解】解：关于 x 的方程 (m + 1)x|m| = 6 是一元一次方程，
所以， m = 1 且 m + 1 0 ，
解得， m = 1，
故答案为： 1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，解题关键是明确只含有一个未知数，未知数的次数为 1 的整式方程是一
元一次方程．
16. 比较大小： 36o25,__________ 36.25o (填“>” ，“<”或“=”)． 【答案】 >
【解析】
【分析】根据角度的大小来判断角的大小．
【详解】∵ 36.25o = 36o+ 0.25o = 36o15,
∴ 36o25, 36o15, = 36.25o
故答案为： >．
【点睛】本题考查角度大小比较，解题的关键是根据度分秒把两个角度统一成一样的形式．
17. 已知代数式m + 2n = 1，则代数式 3m+ 6n+ 5 的值为_________． 【答案】 8
【解析】
【分析】根据 m + 2n = 1得， 3m+ 6n = 3 ，整体代入计算即可．
【详解】∵ m + 2n = 1，
∴ 3m+ 6n = 3 ，
∴ 3m+ 6n+ 5 =3+5=8，
故答案为： 8．
【点睛】本题考查了条件型代数式的求值，根据条件，适当变形，整体代入计算是解题的关键．
18. 甲、乙两商场在做促销，如下所示，已知两家商场相同商品的标价都一样．
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甲商场：全场均打八五折；
乙商场：购物不超过 200 元，不给予优惠；超过了200 元而不超过 500 元，一律打八八折；超过 500 元时，其中的 500 元打八八折，超过 500 元的部分打八折． (1)某顾客要购买商品的总标价为 600 元，该顾客选择_____ (填“甲”或“乙”)商场更划算； (2)当购物总额是_____元时，甲、乙两商场实付款相同． 【答案】 ①. 甲 ②. 800 【解析】 【分析】(1)根据两商场的促销方案，即可求出哪家商场更划算； (2)设购物总额是 x 元时，甲、乙两商场实付款相同，选择适当的等量关系列出一元一次方程解方程求解即可
【详解】解：(1)甲商场需要： 600人 0.85 = 510 (元)
乙商场需要： 500 人 0.88+ (600 - 500) 人 0.8 = 520 (元)
510 < 520
：该顾客选择甲商场更划算；
故答案为：甲
(2)设购物总额是 x 元时，甲、乙两商场实付款相同，
当x < 200 时， 0.85x = x ，此方程无解，
当200 < x < 500 时，则0.85x = 0.88x ，此方程无解
当x > 500 时
依题意， 0.85x = 500 人 0.88+ 0.8 (x - 500)
解得x = 800
故答案为： 800 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题的关键． 三、解答题(本大题共 54 分，第 19 ，20 题，每小题 8 分，第 21~25 题，每小题 5 分，第 26 题 7 分，第 27 题 6 分) 19. 计算： (1) (-3)2 - 23 + (-2) ； (2) + - ))| 人12 ． 【答案】(1) - 1 (2) 1 【解析】 【小问 1 详解】
解： (-3)2 - 23 + (-2)
= 9 - 8 - 2
=- 1
【小问 2 详解】


12 / 24

解： + - ))| 根12
= 根12+ 根12 - 根12
= 3 + 6 - 8
=1
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟记有理数运算法则，按照有理数运算顺序和乘法运算律进行 计算．
20. 解下列方程：
(1) 2x - 15 = 5 - 3x ；
(2) = ． 【答案】(1) x = 4
(2) x = 5
【解析】
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤求解即可．
【小问 1 详解】
2x - 15 = 5 - 3x
移项，得： 2x+ 3x = 5 + 15
合并同类项，得： 5x = 20
系数化为 1，得： x = 4
【小问 2 详解】
5x - 7 3x - 3
3 = 2
去分母，得： 2(5x -7) = 3(3x -3)
去括号，得： 10x -14