备战2023年高考数学一轮复习-第2节-圆与方程.docx

第2节　圆与方程

1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

1.圆的定义与方程
定义
平面内到　　　的距离等于　　　的点的集合叫 做圆 
方程
标准式
(x-a)2+(y-b)2
=r2(r>0)
圆心为　　 
半径为　　 
一般式
x2+y2+Dx+
Ey+F=0
充要条件:　　　　　 
圆心坐标:(-D2,-E2)
半径r=12D2+E2-4F
2.点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:
(1)若M(x0,y0)在圆外,则　　　　　　　　　. 
(2)若M(x0,y0)在圆上,则　　　　　　　　　　. 
(3)若M(x0,y0)在圆内,则　　　　　　　　　　. 
3.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.
　　　　⇔相交;　　　　⇔相切;　　　　⇔相离. 
(2)代数法:>0⇔　　　;=0⇔　　　;<0⇔　　　.
4.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r12(r1>0),
圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).

　方法

位置　　
关系
几何法:圆心距d与
r1,r2的关系
代数法:联立两圆
方程组成方程
组的解的情况
外离

外切

相交

内切

内含

1.以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1) (y-y2)=0.
2.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
3.圆系方程
(1)同心圆系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是参数;
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);
(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解).
4.两圆相交时公共弦的方程
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

1.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)
D.±1
2.(多选题)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,则下列说法正确的是(　　)
A.圆M的圆心为(4,-3)
B.圆M被x轴截得的弦长为8
C.圆M的半径为25
D.圆M被y轴截得的弦长为6
3.(选择性必修第一册P98习题T1改编)圆Q:x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为(　　)
A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0
C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0
4.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.相离
5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是　　　　. 

圆的方程
1.半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=22 均相切,则该圆的标准方程为(　　)
A.(x-1)2+(y+2)2=4
B.(x-2)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y+2)2=4
D.(x-22)2+(y+22)2=4
2.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线l:2x-7y+8=0上,则圆C的方程为　　　　　　. 
3.经过三点(2,-1),(5,0),(6,1)的圆的一般方程为　　　　　　　.

求圆的方程的两种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.
(2)待定系数法:
①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
与圆有关的最值问题
角度一　利用几何法求最值
(1)在平面直角坐标系xOy中,若圆C:(x-3)2+(y-a)2=4上存在两点A,B满足:∠AOB=60°,则实数a的最大值是(　　)
A.5 B.3 C.7 D.23
(2)已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
①求|MQ|的最大值和最小值;
②求y-3x+2的最大值和最小值;
③求y-x的最大值和最小值.

处理与圆有关的最值问题时,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解,其中以下几类转化较为常见:
(1)形如m=y-bx-a的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
(2)形如m=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间距离的平方的最值问题.
角度二　利用代数法求最值
设点P(x,y)是圆(x-3)2+y2=4上的动点,定点A(0,2),B(0,-2),则|PA→+PB→|的最大值为　　　　. 

根据已知条件列出相关的函数关系式,再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.
[针对训练]
(1)已知实数x,y满足(x-2)2+(y-1)2=1,则z=y+1x的最大值与最小值分别为　　　　和　　　　. 
(2)已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　. 
直线与圆的位置关系
角度一　位置关系的判断
已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定

判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.
角度二　弦长问题
若3a2+3b2-4c2=0,则直线ax+by+c=0被圆O:x2+y2=1所截得的弦长为(　　)
A.23 B.1
C.12 D.34

弦长的两种求法
(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.
(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2r2-d2.
角度三　切线问题
已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点P的圆C的切线方程;
(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.

圆的切线方程的两种求法
(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.
(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.
[针对训练]
(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.以上都有可能
(2)过点P(2,4)作圆(x-1)2+(y-1)2=1的切线,则切线方程为(　　)
A.3x+4y-4=0
B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0
D.y=4或3x+4y-4=0
(3)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4的弦,则最短弦所在的直线方程为　　　　. 
圆与圆的位置关系
已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?

解决圆与圆位置关系问题的两大方法
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法.
(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
[针对训练]
已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.

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