2022届辽宁省大连市高三第二次模拟考试数学试题.docx

2022 年大连市高三第二次模拟考试
数 学
命题人:
校对人:
本试卷满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项：1. 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷（非选择题）两部分.
2. 考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题 共 60 分)
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只
有一项是符合题目要求的)
1. 设集合 A={x∣y=1−x},B={−1,0,1,2},则 A∩B= 
A. {−1,0} B. {0,1,2}
C. {1,2} D. {−1,0,1}
2. 已知复数 z 满足 zi=2+i, 则复数 z 的虚部为 ( )
A. 1 B. −2i
C. 2i D. −2
3. 若直线 ax+by−1=0a>0,b>0 平分圆 C:x2+y2−2x−4y=0 的周长, 则 ab 的取值范围是（ )
A. 18,+∞ B. 0,18
C. 0,14 D. 14,+∞
4. 某校高三年级有 1000 人参加期末考试, 经统计发现数学成绩近似服从正态分布 120,σ2,且成绩不低于 140 分的人数为 100, 则此次考试数学成绩高于 100 分的人数约为( )
A. 700 B. 800
C. 900 D. 950
5. 如图所示, 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 F 是棱 AA1 上的一个动点（不包括顶点）,平面 BFD1 交棱 CC1 于点 E, 则下列命题中正确的是( )

A. 存在点 F, 使得 ∠D1FB 为直角
B. 对于任意点 F, 都有直线 A1C1// 平面 BED1F
C. 对于任意点 F, 都有平面 A1C1D⊥ 平面 BED1F
D. 当点 F 由 A1 向 A 移动过程中, 三棱雉 F−BB1D1 的体积逐渐变大
6.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的重要指标, 现抽检一批产品测得如下数据:

已知该产品的色度 y 和色差 x 之间满足线性相关关系, 且 y=0.8x+a, 现有一对测量数据为33,25.2, 则该数据的残差为 ( )
A. 0.6 B. 0.4
C. −0.4 D. −0.6
7.下列不等式正确的是（）
A. ln22>ln44 B. 2ln33>ln2
C. eln10>10 D. 26>6
8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概
括为“出入相补原理”: 一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切害成有限多块,这有限
多块经过移动再组合成另一个图形, 则后一图形的面积或体积保持不变. 利用这个原理, 解
决下面问题: 已知函数 fx 满足 f8−x=fx, 且当 x∈0,4 时的解析式为
fx=2log22−x2,0≤x≤22log12x2,2<x≤4,则函数 y=fx 在 x∈0,8 的图像与直线 y=2 所围
成封闭图形的面积为（）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
二、多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的四个选项中,
有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得 2 分. )
9. 为评估一种农作物的种植效果, 选了 10 块地作试验田. 这 10 块地的亩产量 (单位: kg ) 互
不相等,且从小到大分别为 x1,x2,⋯,x10, 则下列说法正确的有（）
A. x1,x2,⋯,x10 的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度
B. x1,x2,⋯,x10 的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度
C. x10−x1 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度
D. x1,x2,⋯,x10 的中位数为 x5
10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状, 后人称为“三角垛” (下图所示的是一个 4 层的三角跺）.“三角垛”最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球,第三层有 6 个球, ...., 设第 n 层有 an 个球, 从上往下 n 层球的球的总数为 Sn, 则（）
A. an−an−1=n+1 n≥2
B. S7=84
C. a98=98×992
D. 1a1+1a2+1a3+⋯+1a2022=40442023
11.已知在平面直角坐标系中, A−1,0,B1,0,C1,1,D−2,0,E2,0,P 为该平面上一动点, 记直线 PD,PE 的斜率分别为 k1 和 k2, 且 k1⋅k2=−34, 设点 P 运动形成曲线 F,点 M,N 是曲线 F 上位于 x 轴上方的点,且 MA//NB, 则下列说法正确的有（ )
A. 动点 P 的轨迹方程为 x24+y23=1 B. △PAB 面积的最大值为 3
C. PA+PC 的最大值为 5 D. MA⋅NB 的最小值为 94
12.球面几何学是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用,如图, A,B,C 是球面上不在同一个大圆上的三点,经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 AB,BC,CA, 由这三条劣弧围成的球面图形称为球面 △ABC.已知 R 为地球半径, N为北极点, P,Q 是地球表面上的两点, 则下列结论正确的有（）

A. 若 P,Q 在赤道上, 且 PQ=2R, 则三棱雉 O−NPQ 的体积为 16R3
B. 若 P,Q 在赤道上, 且 PQ=R, 则球面 △NPQ 的面积为 13πR2
C. 若 NP=PQ=QN=263R, 则球面 △NPQ 的面积为 πR2
D. 若 NP=PQ=QN=263R, 则由球面 △NPQ, 平面 OPN, 平面 OQN 及平面 OPQ 所围成的几何体的体积为 4πR39
第II 卷（非选择题 共 90 分）
三、填空题（本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.)
13. 已知直线 2x−3y=0 为双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的一条渐近线, 则 C 的离
心率为 .
14.将函数 y=sinωx−π6ω>0 的图像分别向左、向右各平移 π6 个单位长度后, 所得的两个函数图像的对称轴重合, 则 ω 的最小值为 .
15. 已知 A4,0,B0,−6, 点 P 在曲线 y=1−1−x2 上, 则 PA⋅PB 的最小值为 .
16. 若 ex+1−lnx+2kx−k≥0 对任意 x>0 恒成立, 则实数 k 的取值范围是 .

四、解答题（本大题共 6 小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17. (本小题满分 10 分)
已知数列 an 是首项 a1=1 的正项等比数列, bn 是公差 d=2 的等差数列, 且满足
b3=2a2,a3=b4+1.
( I ) 求数列 an,bn 的通项公式;
(II ) 若 cn= , 求 cn 的前 n 项和 Sn.
*请在① cn=3an+bn−1;② cn=bn−13an. 这两个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并
加以解答.
18. (本小题满分 12 分)
在 △ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 满足 sinA−sinBsinA−sinC=sinCsinA+sinB, 且 ∠ABC 的平分线交 AC 于点 M.
(I) 求 ∠ABC 的大小;
(II)若 BM=2, 且 CM=2MA, 求 △BMC 的面积.
19. (本小题满分 12 分)
2022 年 2 月 4 日至 2 月 20 日, 北京冬奥会在我国盛大举行. 在冬奥会如火如茶地进行过程中, 不少外国运动员纷纷化身 “干饭人” , 在社交媒体上发布沉浸式 “吃播” , 直呼 “好吃到到舍不得回家”。其中麻辣汤、豆沙包、宫保鸡丁、饺子……会频频亮相会频频亮相. 2 月 16 日美联社称麻辣汤成为欧洲部分运动员眼中最好吃的冬奥会美食. 荷兰速滑运动员尤塔 - 里尔达姆（jutta leerdam）就对麻辣浈赞不绝口, 在社交媒体上发布的视频获得 20 多万点赞. 西班牙冰舞选手奥利维亚 - 斯马特 (olivia smart) 和搭档阿德里安・迪亚斯 (adrian diaz) 也告诉美联社, 他们每天都在食堂吃麻辣汤. 针对于此,欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣汤. 该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方 (分别称为 A 配方和 B 配方), 并按这两种配方制作售卖. 由于不熟悉当地居民是否能吃辣, 故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣）, 得到下面第一天的售卖结果:
A 配方的售卖频数分布表

B 配方的售卖频数分布表
定义本餐厅麻辣汤的 “麻辣度指数” 如下表:

( I ) 试分别估计第一天 A 配方, B 配方售卖的麻辣汤的麻辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）, 并比较大小.
（II ) 用样本估计总体, 将频率视为概率, 从当地同时吃过两种配方麻辣汤的消费者中随机抽取 1 人进行调查, 试估计其评价 A 配方的 “麻辣度指数” 比 B配方的 “麻辣度指数”高的概率.
20. (本小题满分 12 分)
在三棱台 DEF−ABC 中, CF⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,AB=BC=CF=2EF,M,P 分别是 AC,CF 的中点.
(I )求证: 平面 BCD⊥ 平面 PBM;
(II) 求二面角 E−BD−P 的余弦值.

21. (本小题满分 12 分)
已知抛物线 E:y2=2pxp>0 的焦点为 F, 点 P 在抛物线上, O 为坐标原点, 且
OP=PF=32.
( I ) 抛物线 E 的标准方程;
( II ) 如图所示, 过点 Mt,0 和点 N2t,02≤t≤6 分别做两条斜率为 k 的平行弦分别和
抛物线 E 相交于点 A,B 和点 C,D, 得到一个梯形 ABCD. 记梯形两腰 AD 和 BC 的斜率
分别为 k1 和 k2, 且 k1+k2−k1k2=0.
( i ) 试求实数 k 的值;
( ii ) 若存在实数 λ, 使得 S梯形ABCD=λS△OAB, 试求实数 λ 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分)
已知函数 fx=2ex+ax,gx=2cosx+13x3.
（I）求函数 fx 的单调区间;
(II ) 设 hx=fx+gx, 若函数 hx 有两个极值点 x1,x2, 且 x1<x2.
( i ) 求实数 a 的取值范围;
(ii ) 求证: hx1+hx2>8.

学科网（北京）股份有限公司