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专题跟踪检测（五） 等差数列、等比数列
1．(2022届·南宁质检)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则数列{an}的通项公式an＝(　　)
A．n　　　　　　　　　　 B.
C．2n－1 D.
解析：选B　设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋d＝3＋3d＝，解得d＝，
∴an＝1＋(n－1)×＝.
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2(n∈N*)，则{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n B．an＝2n－1
C．an＝3n－2 D．an＝
解析：选B　∵Sn＝n2，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1，上式也成立，∴an＝2n－1(n∈N*)，故选B.
3．(2021·宝鸡二模)已知{an}是等差数列，满足3(a1＋a5)＋2(a3＋a6＋a9)＝18，则该数列前8项和为(　　)
A．36 B．24
C．16 D．12
解析：选D　由等差数列性质可得a1＋a5＝2a3，a3＋a6＋a9＝3a6，
所以3×2a3＋2×3a6＝18，即a3＋a6＝3，所以S8＝＝＝12.
4．(2021·淄博二模)已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q＝(　　)
A. B.
C．1 D．2
解析：选D　因为2S3＝a2＋a3＋a4，所以2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4，即2a1＋a2＋a3＝a4，因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3，即(q－2)(q2＋q＋1)＝0，因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2.
5．(2021·汕头一模)在正项等比数列{an}中，a2a4＝16，a4＋a5＝24，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n－1 B．an＝2n
C．an＝3n D．an＝3n－1
解析：选A　设等比数列{an}的公比为q，由题意可知，对任意的n∈N*，an>0，q>0，
由等比中项的性质可得a＝a2·a4＝16，
解得a3＝4，
所以a4＋a5＝a3(q＋q2)＝4(q＋q2)＝24，
整理可得q2＋q－6＝0，
又q>0，解得q＝2，因此，an＝a3qn－3＝4×2n－3＝2n－1.
6．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝－(n2－an)，且a2，a4，a5成等比数列，则该数列的通项公式为(　　)
A．an＝7－2n B．an＝6n－1
C．an＝2n＋3 D．an＝6－n
解析：选D　因为Sn＝－(n2－an)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－(2n－1－a)，由a2，a4，a5成等比数列，则(7－a)2＝(3－a)(9－a)，解得a＝11，此时an＝5－(n－1)＝6－n.当n＝1时，a1＝S1＝－(12－11)＝5满足上式，所以an＝6－n，故选D.
7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50，则下列说法正确的是(　　)
A．此数列的第19项是182
B．此数列的第20项是200
C．此数列偶数项的通项公式为a2n＝2n＋1
D．此数列的前n项和为Sn＝n·(n－1)
解析：选B　观察此数列，偶数项通项公式为a2n＝2n2，奇数项是后一项减去后一项的项数，即a2n－1＝a2n－2n，由此可得a20＝2×102＝200，a19＝a20－20＝180，∴A错误，B正确，C错误；Sn＝n·(n－1)＝n2－n是一个等差数列的前n项和，而题中数列不是等差数列，不可能有Sn＝n·(n－1)，D错误．故选B.
8．(多选)(2021·潍坊一模)南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列{an}，则(　　)

A．a4＝12 B．an＋1＝an＋n＋1
C．a100＝5 050 D．2an＋1＝an· an＋2
解析：选BC　由题意知：a1＝1，a2＝3，a3＝6，…，an＝an－1＋n，故an＝，
∴a4＝＝10，故A错误；an＋1＝an＋n＋1，故B正确；a100＝＝5 050，故C正确；2an＋1＝(n＋1)(n＋2)，an·an＋2＝，显然2an＋1≠an·an＋2，故D错误．故选B、C.
9．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
解析：选A　在数列{an}中，an＋1－an＝ln，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋2＝ln··…·＋2＝ln n＋2.
10．(2021·绵阳三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则S10＝(　　)
A. B.
C．410－1 D．411－1
解析：选A　因为an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，所以an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，又a1＋a2＝3≠0，所以＝4(n≥3)，所以{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为3，则数列{a2n－1＋a2n}也是等比数列，公比为42＝16，首项为3.
所以S10＝＝.
11．(2021·马鞍山一模)在等差数列{an}中，<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn<0时，n的最大值为(　　)
A．7 B．8
C．13 D．14
解析：选C　设等差数列{an}的公差为d，因为<－1，所以＋1＝<0，可得a7<0，由于等差数列的前n项和Sn有最小值，且Sn＝n2＋n，则>0，即d>0，所以a7<a8，若a7>0，则a8>a7>0，这与a7(a7＋a8)<0矛盾，所以a7<0，a7＋a8>0，则S13＝＝13a7<0，S14＝＝7(a7＋a8)>0，因此，当Sn<0时，n的最大值为13.
12．(多选)设数列{an}的前n项和为Sn，若为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．则下列数列{bn}为“吉祥数列”的有(　　)
A．bn＝n B．bn＝(－1)n(n＋1)
C．bn＝4n－2 D．bn＝2n
解析：选BC　对于A，Sn＝，S2n＝n(1＋2n)，S4n＝2n(1＋4n)，所以＝＝不为常数，故A不正确；对于B，由并项求和法知：S2n＝n，S4n＝2n，＝＝，故B正确；对于C，Sn＝×n＝2n2，S2n＝8n2，S4n＝32n2，所以＝，故C正确；对于D，Sn＝＝2(2n－1)，S2n＝2(4n－1)，S4n＝2(16n－1)，所以＝＝不为常数，故D不正确．故选B、C.
13．(2021·绍兴一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则S3＝________尺．
解析：由题意知：大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，
所以大老鼠前n天打洞长度之和为＝2n－1，同理小老鼠前n天打洞长度之和为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1，所以S3＝23－＋1＝.
答案：
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，an(2Sn－1)＝2S(n≥2，n∈N*)，则Sn＝________，an＝________.
解析：因为当n≥2时，an(2Sn－1)＝2S，an＝Sn－Sn－1，所以(Sn－Sn－1)·(2Sn－1)＝2S，所以Sn－1－Sn＝2Sn－1Sn，即－＝2，故是以＝1为首项，2为公差的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以Sn＝.因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
所以an＝
答案：　
15．(2021·淄博一模)已知等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是________．
解析：由f(x)＝x3－6x2＋32x得f′(x)＝x2－12x＋32，因为a2，a3是函数f(x)＝x3－6x2＋32x的两个极值点，所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，故 因为q>1，所以a2＝4，a3＝8，故q＝2，则前9项和S9＝＝210－2＝1 022 .
答案：1 022
16．若数列{an}满足a2－a1<a3－a2<…<an－an－1<…，则称数列{an}为“差半递增”数列．若数列{an}为“差半递增”数列，且其通项an与前n项和Sn满足Sn＝2an＋2t－1(n∈N*)，则实数t的取值范围是________．
解析：由题意知，Sn＝2an＋2t－1，①
当n＝1时，a1＝2a1＋2t－1，得a1＝1－2t；
当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋2t－1，②
①－②并化简，得an＝2an－1，故数列{an}是以a1＝1－2t为首项，2为公比的等比数列，
则an＝(1－2t)·2n－1，
所以an－an－1＝(1－2t)·2n－1－·(1－2t)·2n－2＝(3－6t)·2n－3.
因为数列{an}为“差半递增”数列，所以3－6t>0，
解得t<.
答案：