备战2023年高考数学一轮复习-第9节-函数模型及其应用.docx

第9节　函数模型及其应用

1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.

1.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数型
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数型
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
2.三种函数模型性质的比较
　　　函数
性质　　　
y=ax(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xn
(n>0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调　　 
单调　　 
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增
大逐渐表
现为与
　　　平行 
随x的增
大逐渐表
现为与
　　　平行 
随n值
变化而
各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax

1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
2.函数f(x)=x+ax(a>0)的性质及最值:
(1)该函数在(-∞,-a)和(a,+∞)上单调递增,在[-a,0)和(0,a]上单调递减.
(2)当x>0时,x=a 时取最小值2a,
当x<0时,x=-a 时取最大值-2a.

1.(必修第一册P156习题T14改编)在一次数学实验中,某同学运用图形计算器采集到如下一组数据:
x
-2
-1
1
2
3
y
0.24
0.51
2.02
3.98
8.02
在以下四个函数模型(a,b为待定系数)中,最能反映x,y函数关系的是(　　)
A.y=a+bx B.y=a+bx
C.y=a+logbx D.y=a+bx
2.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的34,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.人们通常以分贝(符号dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0 dB是人能听到的等级最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x) dB,则有f(x)=10lg x1×10-12,则90 dB的声音与60 dB的声音强度的比值为(　　)
A.100 B.1 000 C.1100 D.11 000
4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16 m元,则该职工这个月实际用水为
　　　　m3.
5.某桶装水经营部每天的固定成本为420元,每桶水的进价为5元,日均销售量y(桶)与销售单价x(元)的关系式为y=-30x+450,则该桶装水经营部要使利润最大,销售单价应定为　　　　元. 

利用图象刻画变化过程
1.设甲、乙两地的距离为a(a>0),某人骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则此人从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)

2.某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的路程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述正确的是(　　)

A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油

判断函数图象与实际问题
变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
已知函数模型求解实际问题
教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe-t12(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1) (　　)
A.10分钟 B.14分钟
C.15分钟 D.20分钟

已知函数模型解决实际问题的关注点
(1)认清所给函数模型,明确哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该模型求解实际问题.
[针对训练]
(2021·山东潍坊三模)某地区为落实乡村振兴战略,帮助农民脱贫致富,引入一种特色农产品种植,该农产品上市时间仅能维持5个月,预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.经研究其价格模拟函数为f(t)=t(t-3)2 +n(0≤t≤5,其中t=0表示5月1日,t=1表示6月1日,以此类推),若f(2)=6,为保护农户的经济效益,当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销,请你预测该农产品价格下跌的月份为(　　)
A.5月和6月 B.6月和7月
C.7月和8月 D.8月和9月
构建函数模型解决实际问题
角度一　构建二次函数、分段函数模型
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利
0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(万元)与精加工的蔬菜量x(吨)有如下关系:
P=120x2,0≤x≤8,3x+810,8<x≤14.设该农业合作社将x(吨)蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(万元).
(1)写出y关于x的函数表达式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大,并求出最大利润.

1.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,因此需要构建分段函数模型.
2.分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).
3.二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处
取得.
角度二　构建指数函数模型
(2021·河北“五个一”名校高三联考)某大学2013年在校本科生有4 500人,研究生有500人,预计在今后若干年内,该学校本科生每年比上一年增长12.5%,研究生每年比上一年增长50%,则从　　　　年开始该校研究生的人数占该校本科生和研究生总人数的比例首次达到50%以上.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 

增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型y=N(1+p)x(其中N是基础数,p为增长率,x为时间)或幂函数模型y=a(1+x)n(其中a为基础数,x为增长率,n为时间)的形式表示.求解时要注意指数、对数式的互化以及指数、对数函数的单调性的应用.
角度三　构建对数函数模型
(2021·广东高三联考)核酸检测分析是用荧光定量PCR法,通过化学物质的荧光信号,对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时检测,在PCR扩增的指数时期,荧光信号强度达到阈值时,DNA的数量Xn与扩增次数n满足:lg Xn=nlg(1+p)+lg X0,其中p为扩增效率,X0为DNA的初始数量.已知某被测标本DNA扩增5次后,数量变为原来的10倍,那么该标本的扩增效率p约为(参考数据:100.2≈1.585, 10-0.2≈0.631)(　　)
A.0.369 B.0.415 C.0.585 D.0.631

涉及与对数函数有关的函数模型问题,应结合函数解析式以及对数函数的运算性质以及对数函数的性质求解.求解时注意指数式与对数式的互化,以及实际问题中的条件限制.
角度四　构建y=x+ax(a>0)函数模型
运货卡车以x km/h的速度匀速行驶300 km,按交通法规限制50≤x≤100(单位:km/h),假设汽油价格是每升6元,汽车每小时耗油(4+x2420)L,司机的工资是每小时46元.则这次行车的总费用的最低值是　　　元. 

1.解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+bx的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+bx的形式.
2.利用模型f(x)=ax+bx求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.
[针对训练]
1.(2021·百校联盟高三联考)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与log3Q100成正比,且当v=1 m/s 时,鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法:
①v与log3Q100的正比例系数为k=12;
②当v=2 m/s时,鲑鱼的耗氧量的单位数为2 700;
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时,游速v=1e m/s.
则正确说法的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2.某企业计划在2022年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x(千部)手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=10x2+100x,0<x<40,701x+10 000x-9 450,x≥40.由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2022年年产量为多少千部时,企业所获利润最大?最大利润是
多少?

请完成“课时作业”第211～212页的内容