2020北京初三数学上学期期末汇编：二次函数(教师版).docx

2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：二次函数
1．（2019秋•北京期末）已知抛物线经过原点，对称轴为直线，求该抛物线的解析式．
2．（2019秋•北京期末）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）已知点，，若该抛物线与线段有公共点，结合函数图象，求出的取值范围．

3．（2019秋•丰台区期末）已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．
4．（2019秋•丰台区期末）在二次函数的学习中，教材有如下内容：

小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探究方程的近似解，做法如下：
小聪的做法：
令函数，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程的近似解．
小明的做法：
因为，所以先将方程的两边同时除以，变形得到方程，再令函数和，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程的近似解（精确到．
5．（2019秋•丰台区期末）在平面直角坐标系中，抛物线沿轴翻折得到抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当时，求抛物线和围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；
②如果抛物线和围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求出的取值范围．
6．（2019秋•顺义区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向左平移3个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）已知点，．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
7．（2019秋•密云区期末）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）写出抛物线顶点的纵坐标（用含的代数式表示）；
（2）若该抛物线与轴的两个交点分别为点和点，且点在点的左侧，．
①求的值；
②记二次函数图象在点，之间的部分为（含点和点，若直线经过，且与图形有公共点，结合函数图象，求的取值范围．

8．（2019秋•密云区期末）已知二次函数．
（1）用配方法将化成的形式；
（2）在平面直角坐标系中，画出该函数的图象．
（3）结合函数图象，直接写出时自变量的取值范围．

9．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①抛物线的对称轴为　　；
②若在抛物线上有两点，，且，则的取值范围是　　；
（2）抛物线的对称轴与轴交于点，点与点关于轴对称，将点向右平移3个单位得到点，若抛物线与线段恰有一个公共点，结合图象，求的取值范围．

10．（2019秋•门头沟区期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与轴交于点，与直线交于点，（点在点的左侧）．
（1）求抛物线的顶点的坐标（用含的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段围成的封闭区域（不含边界）为“区域”．
①当时，请直接写出“区域”内的整点个数；
②当“区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出的取值范围．

11．（2019秋•门头沟区期末）已知二次函数．
（1）用配方法将其化为的形式；
（2）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象．

12．（2019秋•通州区期末）把二次函数表达式化为的形式．
13．（2019秋•昌平区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上．
（1）①直接写出抛物线的对称轴是　　；
②用含的代数式表示；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点恰好为整点，若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出的取值范围．
14．函数的图象的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象．
①直接写出函数图象的表达式；
②设直线与轴交于点，与轴交于点，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
15．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，（点在点的左侧）．
（1）求点，的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．
①直接写出线段上整点的个数；
②将抛物线沿翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在轴上方的部分与线段所围成的区域内（包括边界）整点的个数．
16．（2019秋•大兴区期末）抛物线过点和．
（1）求，的值；
（2）当为何值时，有最大值？
17．（2019秋•朝阳区期末）已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如下表：

0
1
2

0
1
2
3
4

0

0
3
8

（1）求的表达式；
（2）关于的不等式的解集是　　．
18．（2019秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）直线与直线交于点，求点的坐标（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点在的左侧）．
（1）求点，的坐标；
（2）已知点，，点在直线上，且点的横坐标为4．
①求点的纵坐标（用含的式子表示）；
②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
20．（2019秋•东城区期末）为迎接国庆节，某商店购进了一批成本为每件30元的纪念商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量与销售单价的函数关系式；
（2）若商店按不低于成本价，且不高于60元的单价销售，则销售单价定为多少元，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大？最大利润是多少？

21．（2019秋•东城区期末）二次函数，，是常数，的自变量与函数值的部分对应值如表：

0
1
2

根据以上列表，回答下列问题：
（1）直接写出的值和该二次函数图象的对称轴；
（2）写出关于的一元二次方程的根；
（3）若，求此二次函数的解析式．
22．（2019秋•西城区期末）已知二次函数．
（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；
（2）利用图象回答：当取什么值时，．
23．（2019秋•西城区期末）在平面直角坐标系中，抛物线．
（1）若该抛物线与直线交于，两点，点在轴上．
求该抛物线的表达式及点的坐标；
（2）横坐标为整数的点称为横整点．
①将（1）中的抛物线在，两点之间的部分记作（不含，两点），直接写出上的横整点的坐标；
②抛物线与直线交于，两点，将抛物线在，两点之间的部分记作（不含，两点），若上恰有两个横整点，结合函数的图象，求的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移2个单位长度，得到点．直线与轴，轴分别交于点，．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点与点关于轴对称，
①求点的坐标；
②若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
25．为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练．在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为3米时，达到最大高度米的处．小丁此次投掷的成绩是多少米？

26．（2019秋•石景山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．
（1）直接写出点，，的坐标；
（2）画出这个函数的图象．
27．（2019秋•房山区期末）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表所示：

0
1
2
3

0
3
4
3
0

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）结合图象，直接写出当时，的取值范围．

28．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，．
（1）若，求的值；
（2）过点作与轴平行的直线，交抛物线于点，．当时，求的取值范围．
29．（2019秋•平谷区期末）二次函数上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：

0
1
2
3

3

0

0

（1）直接写出此二次函数的对称轴；
（2）求的值；
（3）直接写出表中的值，　　；
（3）在平面直角坐标系中，画出此二次函数的图象．

30．（2019秋•平谷区期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）点、关于对称轴对称，求点的坐标；
（3）已知点，．若抛物线与线段恰有两个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

2019-2020北京初三数学上学期期末汇编：二次函数
参考答案
一．解答题（共30小题）
1．【分析】根据待定系数法求得即可．
【解答】解：抛物线经过原点，
，
又抛物线的对称轴为，
，
解得
抛物线的解析式为．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
2．【分析】（1）化成顶点式，即可求得顶点的坐标；
（2）由顶点的坐标可知，抛物线的顶点在直线上移动．分别求出抛物线过点、点时，的值，画出此时函数的图象，结合图象即可求出的取值范围．
【解答】解：（1），
抛物线顶点为．
（2）把的坐标代入，
得，
解得 ．
把的坐标代入，
得，
即，
解得 或．
结合函数图象可知：或．

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，提现了转化思想和数形结合思想的应用．
3．【分析】（1）先把解析式配成顶点式为，则抛物线的顶点坐标为，再求出抛物线与轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先计算时，，然后利用图象写出对应的的范围．
【解答】解：
（1），则抛物线的顶点坐标为，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为，
函数图象如下图所示：

（2）观察图象得：当时；
当时，，
当时，的取值范围为．
【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
4．【分析】根据小明的作法，将方程变形得到方程，令函数和，画出函数的图象，借助图象得到方程的近似解．
【解答】解：选择小明的作法，将方程的两边同时除以，变形得到方程，
令函数和，
列表

0
1
2
3
4

8
3
0

0
3
8

1

描点、连线画出函数图象如图：

根据函数图象，得近似解为，，．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，图象的交点坐标的横坐标是方程的解．
5．【分析】（1）抛物线化成顶点式，求得顶点坐标，然后根据轴对称的性质求得抛物线的顶点坐标；
（2）①当时，则，，画出函数的图象，根据图象即可求得；
②抛物线在和围成的区域内 （包括边界） 恰有7个整点，则抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为，分别把，代入求得的值，从而求得的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线，
抛物线：的顶点为，
抛物线沿轴翻折得到抛物线．
抛物线的顶点坐标为；
（2）①当时，，．
根据图象可知，和围成的区域内（包括边界）整点有5个．

②抛物线在和围成的区域内 （包括边界） 恰有7个整点，
结合函数图象，可得抛物线与轴的一个交点的横坐标的取值范围为．
将代入，得到，
将代入，得到，
结合图象可得．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
6．【分析】（1）根据抛物线与轴交于点，将点向左平移3个单位长度，得到点，可以先求得点的坐标，再根据平移的性质得到点的坐标；
（2）根据题目中的点的坐标和（1）中求得的点的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；
（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线，
当时，，
点的坐标为，
点的坐标为；
（2）点和点都在抛物线上，
该抛物线的对称轴是直线；
（3）当时，点在轴负半轴，
此时，点，位于抛物线内部（如图．
所以，抛物线与线段无交点；
当时，点在轴正半轴，
当与轴平行，即时（如图，
抛物线与线段恰有一个交点．
此时，．
当时（如图，结合图象，抛物线与线段无交点．
当时（如图，结合图象，抛物线与线段恰有一个交点．
综上，的取值范围是．

【点评】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．
7．【分析】（1）利用配方法求得抛物线的顶点坐标；
（2）①根据抛物线的对称性质求得点、的坐标，然后利用待定系数法确定的值；
②利用待定系数法确定一次函数解析式，根据两直线交点的求法求得的两个临界值即可．
【解答】（1）解：
则抛物线顶点的纵坐标是；

（2）①解：抛物线的对称轴是，抛物线与轴的两个交点分别为点和点，
点和点各距离对称轴2个单位．
点在点的左侧，
，．
将代入．
．
解得；

②当经过和时
，
解得
当经过和时
，
解得．
或．

【点评】本题主要考查了抛物线与轴的交点，一次函数的性质，二次函数的性质等知识点，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式是解题的关键．
8．【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）结合抛物线的顶点及其与坐标轴的交点作图即可；
（3）从函数图象上找到，即抛物线在轴下方的部分，从而确定其对应的的取值范围．
【解答】解：（1）；
（2）该函数的图象如图所示：

（3）由函数图象知时自变量的取值范围是．
【点评】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是掌握配方法求抛物线的顶点式、抛物线与坐标轴交点坐标的求法等知识点．
9．【分析】（1）把代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；
②根据二次函数的图象和性质，抛物线上有两点，，且进而可得的取值范围；
（2）根据题意先求出点、、的坐标，再结合图象，即可求的取值范围．
【解答】解：（1）①抛物线的对称轴为，
故答案为1；

②抛物线上有两点，，
且，则的取值范围是或；
故答案为：或；
（2）抛物线的对称轴为，且对称轴与轴交于点，
点的坐标为．
点与点关于轴对称，
点的坐标为．
点右移3个单位得到点，
点的坐标为．
依题意，抛物线与线段恰有一个公共点，
把点代入，可得；
把点代入，可得；
把点代入，可得．
根据所画图象可知抛物线与线段恰有一个
公共点时可得：
或．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是结合图象解答．
10．【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）由已知可知，，画出函数图象，观察图象可得；
（3）分两种情况求：当时，抛物线定点经过时，，抛物线定点经过时，，则；当时，抛物线定点经过时，，抛物线定点经过时，，则．
【解答】解：（1），
顶点为；
（2）①，
，，
，，
有6个整数点；
（3）当时，抛物线定点经过时，，
抛物线定点经过时，，
；
当时，抛物线定点经过时，，
抛物线定点经过时，，
；
综上所述：或．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．
11．【分析】（1）用配方法配方成顶点式即可；
（2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象．
【解答】解：（1）；
（2）顶点，
当时，，
，
，，
与轴交点为、，

【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式及画出二次函数的图象，知道用五点法画二次函数图象的方法：①五点是指：顶点、与轴的两个交点、与轴交点及其对称点（也可取任意两个对称点），②计算出五点的坐标，③再列表、描点，连线即可．
12．【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式．
【解答】解：，即．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：，、、为常数）；
（2）顶点式：；
（3）交点式（与轴）．
13．【分析】（1）①与关于对称轴对称；
②向右平移2个单位长度，得到点，代入解析式即可求得；
（2）分两种情况和讨论，结合图象确定有1个整数点时的最大和最小值，进而确定的范围．
【解答】解：（1）①与关于对称轴对称，
抛物线对称轴为直线，
故答案为直线；
②抛物线与轴交于点，

点向右平移2个单位长度，得到点，
点在抛物线上，
，
．
（2）方法一：如图1，若，
，，
区域内（不含边界）恰有1个整点的坐标为，则理另一个整点不在区域内，
把代入抛物线得，
根据题意得，解得，
如图2，若，
同理可得，解得
综上，符合题意的的取值范围为或．

方法二：，点是整点，
点到的距离大于1并且小于等于2．
点到的距离表示为，减去的差的绝对值，
，即，
或．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论的情况，数形结合解题是解题的关键．
14．【分析】（1）根据对称轴方程即可求得；
（2）①根据平移的规律即可求得；
②根据二次函数的性质以及一次函数的性质，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）函数的图象的对称轴为直线．
，

函数的表达式为；
（2）①将函数的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象为；
②直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
新的函数图象的顶点为，与的交点为，
当线段与图象只有一个公共点时，，
解得，
由整理得，
则△，
解得，舍去）
综上，故的取值范围是．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合求抛物线与线段的交点问题是解题关键．
15．【分析】（1）解方程可得点，的坐标；
（2）①写出从到3的整数的个数即可；
②利用对称的性质写出新抛物线的解析式为抛物线，新抛物线的顶点坐标为，然后结合图象求解．
【解答】解：（1）当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）①线段上整点的坐标为，，，，，
即线段上整点有5个；
②抛物线沿翻折，得到新抛物线的解析式为抛物线，新抛物线的顶点坐标为，
新抛物线在轴上方的部分与线段所围成的区域内（包括边界）整点的个数为6．

【点评】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．【分析】（1）把和代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质，对称轴方程即可求得结论．
【解答】解：（1）抛物线过点和．
，
解得，
，的值分别为5，．
（2）抛物线中，，
当时有最大值．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握对称轴方程是解题的关键，难度适中．
17．【分析】（1）根据题意设出的表达式，再把代入，求出的值，即可得出的表达式；
（2）利用表中数据得到直线与抛物线的交点为和，或时，，从而得出不等式的解集．
【解答】解：（1）根据题意设的表达式为：
，
把代入得，
；

（2）当时，；当时，；
直线与抛物线的交点为和，
而或时，，
不等式的解集是或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
18．【分析】（1）将点代入解析式即可求得；
（2）把代入得到关于的方程，解方程即可求得；
（3）根据抛物线与线段恰有一个公共点，分两种情况讨论，即可得结论．
【解答】解：（1）将点代入，得
．
．
（2）令，得．
．
（3），
抛物线开口向下，
抛物线与线段恰有一个公共点，
，
点、所在的直线为，
由（1）得，
则抛物线可化为：，
分两种情况讨论：
①当抛物线与直线只有一个公共点时，
且抛物线的顶点在点、之间，
则
或，
方程的根的判别式：△，
即，
解得，，
当时，（不符合题意），
当时，，
则成立．
②当抛物线经过点时，
即当，时，，
解得；
时，抛物线与线段恰有一个公共点，
综上：的取值为：或时，抛物线与线段恰有一个公共点．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数和一次函数图象上的点的坐标特征，解决本题的关键是理解抛物线与线段恰有一个公共点的含义．
19．【分析】（1）根据抛物线与轴的相交时，即可求点，的坐标；
（2）①已知点，，可得直线解析式，点在直线上，且点的横坐标为4．即可求点的纵坐标（用含的式子表示）；
②根据抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围．
【解答】解：（1）令，即，
解得，，
，．
答：点、的坐标为：，；
（2）①设直线解析式为，
将点，代入解得：
，，
直线解析式为，
当时，，
所以点的纵坐标为．
②当点在上方或与点重合时，抛物线与线段恰有一个公共点，
，
当时，抛物线开口向下，抛物线只能与点相交，

当时，抛物线开口向上，只能与点相交，
当时，，，
所以抛物线与点不相交．
综上：的取值范围是：
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解决本题的关键是综合二次函数与一次函数的性质．
20．【分析】（1）设与的函数关系式代入两个点的坐标即可求解；
（2）根据题意列出二次函数求出顶点坐标即可求解．
【解答】解：（1）设与的函数关系式为，
将、代入，得

解得
故函数关系式为．
答：该商品每天的销售量与销售单价的函数关系式为．
（2）由题意，得

，
故当时，随的增大而增大，
又，
当时，取得最大值，最大值为1250元．
答：销售单价定为55元，才能使销售该商品每天获得的利润（元最大，最大利润是1250元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是利用二次函数的性质解决实际问题．
21．【分析】（1）根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与轴的交点，即可求得的值；
（2）根据二次函数的对称性即可求得；
（3）根据待定系数法求得即可．
【解答】解：（1）根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，；
（2）根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
即和3是关于的方程的两个根；
（3）若，则抛物线经过点，，，
代入得，
解得，
此二次函数的解析式为．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键．
22．【分析】（1）将抛物线写出顶点式，即可得到对称轴、顶点坐标，通过列表、描点、连线的步骤画出函数的图象；
（2）根据图象，位于轴下方时对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1），
对称轴是直线，顶点是．
当时，即，．解得，，因此抛物线与轴的交点为，
当时，，因此与轴的交点，列表得：

描点、连线得到的图象，如图所示：
（2）由图象可知，当时，就是图象位于轴下方的所对应的自变量的取值范围，
即：当时，．

【点评】考查二次函数的图象和性质，列表、描点、连线是画函数图象的基本方法，也可利用对称性，画二次函数的图象．
23．【分析】（1）根据抛物线与直线交于，两点，点在轴上，可求得点的坐标，进而求出的值，即可求得结论；
（2）①根据（1）求得的二次函数解析式画出图象，根据图象即可得结论；
②根据任意的实数，抛物线与直线总有一个公共点，不妨记为点．分两种情况画图象，根据图象即可得结论．
【解答】解：（1）抛物线与直线交于，两点，点在轴上，
点的坐标为．
．
．
抛物线的表达式为．
，两点关于直线对称，
点的坐标为．
如图
（2）①的图象，如图1所示．
上的横整点分别是，，．
②
解得，，
、两点的坐标分别为：、
对于任意的实数，抛物线与直线总有一个公共点．
当时，若上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为，，如图2．

．

当时，若上恰有两个横整点，则横整点的横坐标为0，1，如图3．

．

综上，恰有两个横整点，的取值范围是或．
【点评】本题考查了二次函、数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是根据函数准确画出图象，根据图象完成解答．
24．【分析】（1），则抛物线的对称轴是直线；
（2）①直线与轴，轴分别交于点、，点的坐标为，点的坐标为，即可求解；②分、两种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1），
抛物线的对称轴是直线；
（2）①直线与轴，轴分别交于点、，
点的坐标为，点的坐标为．
抛物线与轴的交点与点关于轴对称，
点的坐标为．
将点向右平移2个单位长度，得到点，
点的坐标为．

②抛物线顶点为．
（ⅰ）当时，如图1．
令，得，
即点总在抛物线上的点的下方．
，
点总在抛物线顶点的上方，
结合函数图象，可知当时，抛物线与线段恰有一个公共点．

（ⅱ）当时，如图2．
当抛物线过点时，
，解得．
结合函数图象，可得．
综上所述，的取值范围是：或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等、面积的计算等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
25．【分析】由点、的坐标求出函数表达式，令，即可求解．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示．

则点的坐标为，顶点为．
设抛物线的表达式为，
点在抛物线上，
，
解得．
抛物线的表达式为
令，则，
解得或（不合实际，舍去）．
即．
答：小丁此次投掷的成绩是8米．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，通过建立坐标系，确定相应点的坐标即可求解．
26．【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以求得该函数与轴、轴的交点，将题目中的函数解析式化为顶点式即可直接写出该函数的顶点坐标；
（2）根据（1）中求得的各点的坐标，可以画出该函数的图象．
【解答】解：（1）二次函数，
当时，，；当时，；该函数的顶点坐标是，
二次函数的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，
点的坐标为，点，点；
（2）如右图所示．

【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
27．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）根据、3时的函数值即可写出的取值范围．
【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；

（2）如图所示：

（3），
当时，有最大值4，
当时，，
当时，，
又对称轴为，
当时，的取值范围是．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
28．【分析】（1）根据对称轴方程求得抛物线的对称轴，根据题意求得、的坐标，代入解析式即可求得的值；
（2）先确定抛物线与轴相交时的的取值，然后分两种情况讨论即可求得．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线．
点、关于直线对称，
抛物线与轴交于点、，
将代入中，
得即；

（2）抛物线与轴有两个交点，
△即，
解得：或，
①若，开口向上，
当时，则有解得，
所以，可得；
②若，开口向下，
当时，则有
解得
所以可得，
综上所述的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
29．【分析】（1）观察图象，找到纵坐标相同的两点，从而确定对称轴即可；
（2）根据对称轴公式求得值即可；
（3）根据对称性确定的值即可；
（4）结合表格确定抛物线的图象即可．
【解答】解：（1）观察表格发现图象经过，，
对称轴．
（2）二次函数的图象经过点，
．
（3）根据对称性得：
（4）如图：

【点评】考查了二次函数的性质，解题的关键是读懂表格并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
30．【分析】（1）根据抛物线与轴交于点即可直接写出点的坐标；
（2）点、关于对称轴对称，即可求点的坐标；
（3）根据点，．若抛物线与线段恰有两个公共点，结合函数图象，即可求的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线与轴交于点，
的坐标为；
（2）；
．
（3）当抛物线过点时，，
．
此时，抛物线与线段有两个公共点．
当抛物线过点时，，
此时，抛物线与线段有两个公共点．．
抛物线与线段恰有两个公共点，
．
△
或，
当抛物线开口向下时，
．
综上所述，当或时，抛物线与线段恰有两个公共点．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是结合图象解答．
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