2023届高考数学特训营-第3节--第二课时-简单的三角恒等变换.doc

第二课时　简单的三角恒等变换

A级(基础应用练)
1．(2022•云南省红河州模拟)已知cos(α－)＝，则cos(2α＋)＝(　　)
A. B．－
C. D．－
答案：A
解析：令θ＝α－，则α＝θ＋，cos θ＝，
所以cos(2α＋)＝cos[2(θ＋)＋]＝cos(2θ＋π)＝－cos 2θ＝－(2cos2θ－1)＝.
2．计算：等于(　　)
A. B．
C. D．－
答案：A
解析：＝＝＝.
3．(2022•陕西省西安市模拟)设α是第一象限角，满足sin(α－)－cos(α＋)＝，则tan α＝(　　)
A．1 B．2
C. D．
答案：C
解析：sin(α－)－cos(α＋)＝sin α－cos α－cos α＋sin α＝(sin α－cos α)＝，
∴sin α－cos α＝，联立，
∵α是第一象限角，
∴sin α>0，cos α>0，即sin α＝，cos α＝，
∴tan α＝＝＝.
4．(2022•山西太原模拟)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　)
A．8 B．4
C．2 D．1
答案：C
解析：因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.
所以＝＝＝＝＝2.
5．(2022•江西吉安模拟)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是(　　)
A. B．
C.或 D．或
答案：A
解析：∵α∈[，π]，∴2α∈[，2π]，
∵sin 2α＝>0，∴2α∈[，π]，
∴α∈[，]，且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈[π，]，
∴β－α∈[，]，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝(－)×(－)－×＝，
又∵α＋β∈[，2π]，∴α＋β＝.
6．(2022•淄博模拟)已知tan(＋θ)＝3，则sin 2θ－2cos2θ＝________．
答案：－
解析：∵tan(θ＋)＝3，
∴tan θ＝tan[(θ＋)－]＝＝＝，
∴sin 2θ－2cos2θ＝＝＝＝－.
7．(2022•北京模拟)＝________．
答案：－4
解析：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝－4 .
8．(2022•山东烟台模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos(2α＋)的值是________．
答案：－
解析：由任意角的三角函数的定义得sin α＝b，cos α＝a.
又a＋b＝，∴sin α＋cos α＝，
两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
∴cos(2α＋)＝－sin 2α＝－.
B级(综合创新练)
9．(多选题)(2022•江西南昌模拟)已知函数f (x)＝sin(－2x)－2sin(x－)cos(x＋)，则下列关于函数f (x)的描述正确的是(　　)
A．f (x)在区间[0，]上单调递增
B．f (x)图象的一个对称中心是(，0)
C．f (x)图象的一条对称轴是x＝－
D．将f (x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
答案：AC
解析：f (x)＝sin(－2x)－2sin(x－)cos(x＋)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，[0，]⊆[－，]，故A正确；
f ()＝sin ＝1≠0，故B不正确；
f (－)＝－sin ＝－1，故C正确；
将f (x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确．
10．(多选题)(2022•江苏省南京市模拟)已知函数f (x)＝sin 2x＋2sin4＋2cos4－，则下列说法正确的是(　　)
A．函数f (x)的最小正周期为2π
B．x＝－是函数f (x)图象的一条对称轴
C．(－，0)为函数f (x)图象的一个对称中心
D．函数f (x)在区间[－，]上的最大值为1
答案：CD
解析：f (x)＝sin 2x＋2sin4＋2cos4－＝sin 2x＋2•[()2＋()2]－＝sin 2x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，
对于A选项，函数f (x)的最小正周期为T＝＝π，A选项错误；
对于B，C选项，f (－)＝sin 0＝0，故B错误，C正确；
对于D选项，因为x∈[－，]，所以2x＋∈[－，]，
所以sin(2x＋)∈[－，1]，故函数f (x)在区间[－，]上的最大值为1，故D正确．
故选CD.
11．(2022•天津市模拟)已知sin(θ－)cos(θ－)＝，则sin 4θ＝________．
答案：
解析：法一：由sin(θ－)cos(θ－)＝得sin(2θ－)＝，故sin(－2θ)＝－，
则sin 4θ＝cos(－4θ)＝1－2sin2(－2θ)＝1－2×(－)2＝.
法二：由sin(θ－)cos(θ－)＝得sin(2θ－)＝，则(sin 2θ－cos 2θ)＝，
所以sin 2θ－cos 2θ＝，两边平方得1－2cos 2θsin 2θ＝，即1－sin 4θ＝，所以sin 4θ＝.
12.(2022•苏州模拟)如图，图中实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且三个圆半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1，2，3)，则cos cos －sin sin ＝________．

答案：－
解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，
则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，
从而α1＋α2＋α3＝4π，
所以cos cos －sin sin
＝cos ＝cos ＝－.
13．(2022•安徽省合肥质检)已知函数f (x)＝cos 2x＋sin(2x－)．
(1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)若α∈(0，)，f (α)＝，求cos 2α.
解：(1)∵f (x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin(2x＋)，
∴函数f (x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由f (α)＝，可得sin(2α＋)＝，
∵α∈(0，)，∴2α＋∈(，)．
又∵0<sin(2α＋)＝<，
∴2α＋∈(，π)，
∴cos(2α＋)＝－.
∴cos 2α＝cos[(2α＋)－]＝cos(2α＋)cos ＋sin(2α＋)•sin ＝.
14．(2022•山东省日照市模拟)已知函数f (x)＝(a＋2cos2)•cos(x＋θ)为奇函数，且f ()＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若α∈(，π)，f (＋)＋cos(α＋)cos 2α＝0，求cos α－sin α的值．
解：(1)因为f (x)＝(a＋2cos2)cos(x＋θ)是奇函数，
所以(a＋2cos2)cos(x＋θ)＝－(a＋2cos2)cos(－x＋θ)，
化简、整理得cos xcos θ＝0，则有cos θ＝0，
由θ∈(0，π)，得θ＝，
所以f (x)＝－sin x•(a＋2cos2)．
由f ()＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)知f (x)＝－sin 2x，f (＋)＋cos(α＋)cos 2α＝0⇒sin(α＋)＝cos(α＋)cos 2α.
因为cos 2α＝sin(2α＋)＝sin[2(α＋)]＝2sin(α＋)cos(α＋)，
所以sin(α＋)＝cos2(α＋)sin(α＋)．
又α∈(，π)，所以sin(α＋)＝0或cos2(α＋)＝.由sin(α＋)＝0⇒α＝，
所以cos α－sin α＝cos －sin ＝－.由cos2(α＋)＝，<α＋<，
得cos(α＋)＝－⇒(cos α－sin α)＝－⇒cos α－sin α＝－.
综上所述，cos α－sin α＝－或cos α－sin α＝－.