级高等代数试卷A参考答案及评分标准.doc

重庆大学《高等代数（2）》课程试题（A卷）参考答案
~第 2 学期 考试时间: -7-11

1. 解: 显然所给集合对于定义加法和数乘运算封闭。
对于加法运算, 易证:
（1） ; ………………………….（1分）
（2） ; ...（2分）
（3）; ………………….………………………….（3分）
（4）; ………………….……………………….（4分）
对于数乘运算,
（5）; …….…………..………….（5分）
（6） ; ………….（6分）
（7）
.…………..………..…….（8分）
（8）
……..…….（10分）
故组成实数域上一个线性空间。

2. 解: 取中间基, , , 。
则, , 其中
, , 从而,
, ..…………………..….（5分）
其中
, , 这就是由基到基过渡矩阵。..……………………………………………….….（7分）
,
于是在下坐标为。……………………….….（10分）
3. 解: 二次型矩阵为, ………………………….（1分）
由经过正交变换后标准型为, 特征值为.（3分）
故, 即

所以, 于是。…………………………….…….……….（6分）
对应于特征值特征向量分别为:
, ………………………….……………..……….（8分）
所以,其中。………………………….…….……….（10分）
4. 证实: 下证AA-1
设AA, 因A, 故,使A, …………..（2分）
因A,所以A。………………………………………………………..（4分）
于是AA, 所以(A),A, 即AA-1。（6分）
又因为A+A,所以(A+A)
从而A+A,故AA.……………………………………..…..（10分）

5. 证实: 因为A, B都是正定矩阵, 所以存在可逆矩阵C使得
, 。其中。（4分）
于是
。……………………………………..…..…..（6分）
又因为正定, 故。………………………………..…..（8分）
于是。……………………………....…..…..（10分）

6. 证实: A相同于一个若当形矩阵, 即存在可逆阵T, 使得
, 其中。…………....…..…..（2分）
首先证实。
因为, 于是, 从而。..…..…..（5分）
再证。
因为, 于是, 从而有某个, 于是若当块阶数为n。………………………………………………………….………..…..（8分）
总而言之, A相同于若当块。………………….………..…..（9分）
同理, B也相同于若当块。
于是A与B相同。……………………………………………………….………..…..（10分）

7. 证实:
（1） 必需性。
设A是反对称线性变换, 且A在标准正交基下矩阵为A。则有A。于是
（A, ）＝, （, A）＝。
又因为A是反对称线性变换, 所以＝－, 从而A是反对称矩阵。..（4分）
充足性。
设A在标准正交基下矩阵为反对称矩阵A, 其中。则有
（A, ）＝＝－＝－, A）。
, 设, 于是
（A, ）＝（AA）
＝（A ＝ A
＝－（AA）
＝－（, A）。
所以A是反对称线性变换。…………….……………….…..…..（8分）
（2） 。因为W是A不变子空间, 故A。
于是, 由A是反对称线性变换, 得
（A, ）＝－（, A）＝0。
所以也是A不变子空间。…………….……………..…..（15分）

8. 解: 对A特征矩阵进行初等变换, 得
。…………….………..…..（4分）
（1） 由上式, 得A得最小多项式为; …………….………..（8分）
（2） 由上式, 得A初等因子为。…………….……..（10分）
故A若当标准形为
; ………………………….………..………..（12分）
（3） 由（2）知, A特征值为。………..（14分）
对于特征值, 对应线性无关特征向量为
。
对于特征值, 对应特征向量为。
令, 则有。…….（18分）
（4） 将正交化得

。
再将单位化, 得
。
再将单位化得。
令, 则有。..（25分）