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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,关键点梳理,1.椭圆概念,在平面内到两定点,F,1,、,F,2,距离和等于常数（大,于|,F,1,F,2,|）点轨迹叫,.这两定点叫做椭圆,，两焦点间距离叫做,.,集合,P,=,M,|,MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,，|,F,1,F,2,|=2,c,其中,a,0,c,0，且,a,，,c,为常数：,（1）若,，则集合,P,为椭圆；,（2）若,，则集合,P,为线段；,（3）若,，则集合,P,为空集.,9.5 椭圆,基础知识 自主学习,椭圆,焦点,焦距,a,c,a,=,c,a,c,1/59,2.椭圆标准方程和几何性质,标准方程,图形,2/59,性质,范围,-a,x,a,-,b,y,b,-,b,x,b,-,a,y,a,对称性,对称轴：坐标轴 对称中心：原点,顶点,A,1,(-,a,0),A,2,(,a,0),B,1,(0,-,b,),B,2,(0,b,),A,1,(0,-,a,),A,2,(0,a,),B,1,(-,b,0),B,2,(,b,0),轴,长轴A1A2长为2a;短轴B1B2长为2b,焦距,|,F,1,F,2,|=2,c,离心率,a,b,c关系,c,2,=,a,2,-,b,2,3/59,基础自测,1.已知椭圆长轴长是短轴长2倍，则椭圆离,心率等于 (),A.B.C.D.,解析,设长轴长、短轴长分别为2,a,、2,b,则2,a,=4,b,D,4/59,2.设,P,是椭圆 上点.若,F,1,，,F,2,是椭圆,两个焦点，则|,PF,1,|+|,PF,2,|等于 （）,A.4 B.5 C.8 D.10,解析,由椭圆定义知|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,a,=10.,D,5/59,3.已知椭圆,x,2,sin -,y,2,cos =1(0,2 ),焦点在,y,轴上，则 取值范围是 （）,A.B.,C.D.,解析,椭圆方程化为,椭圆焦点在,y,轴上，,又0,2 ，,.,D,6/59,4.已知椭圆,C,短轴长为6，离心率为 ，则椭圆,C,焦点,F,到长轴一个端点距离为 （）,A.9 B.1,C.1或9 D.以上都不对,解析,由题意得 ,a,=5，,c,=4.,a,+,c,=9，,a,-,c,=1.,C,7/59,5.椭圆两个焦点为,F,1,、,F,2,，短轴一个端点为,A,，,且,F,1,AF,2,是顶角为120等腰三角形，则此,椭圆离心率为,.,解析,由已知得,AF,1,F,2,=30，故cos 30=，,从而,e,=.,8/59,题型一 椭圆定义,【,例1,】一动圆与已知圆,O,1,：（,x,+3),2,+,y,2,=1外切,与,圆,O,2,：（,x,-3）,2,+,y,2,=81内切，试求动圆圆心轨,迹方程.,两圆相切时,圆心之间距离与两圆,半径相关,据此能够找到动圆圆心满足条件.,思维启迪,题型分类 深度剖析,9/59,解,两定圆圆心和半径分别为,O,1,(-3，0),r,1,=1；,O,2,(3,0)，,r,2,=9.设动圆圆心为,M,(,x,，,y,),半径为,R,，,则由题设条件可得|,MO,1,|=1+,R,，|,MO,2,|=9-,R,.,|,MO,1,|+|,MO,2,|=10.,由椭圆定义知：,M,在以,O,1,、,O,2,为焦点椭圆上,且,a,=5，,c,=3.,b,2,=,a,2,-,c,2,=25-9=16，,故动圆圆心轨迹方程为,10/59,探究提升,平面内一动点与两个定点,F,1,、,F,2,距,离之和等于常数2,a,，当2,a,|,F,1,F,2,|时,动点轨迹,是椭圆；当2,a,=|,F,1,F,2,|时,动点轨迹是线段,F,1,F,2,；,当2,a,|,F,1,F,2,|时，轨迹不存在.,已知圆（,x,+2）,2,+,y,2,=36圆心为,M,，,设,A,为圆上任一点，,N,（2，0），线段,AN,垂直,平分线交,MA,于点,P,，则动点,P,轨迹是 （）,A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线,知能迁移1,11/59,解析,点,P,在线段,AN,垂直平分线上，,故|,PA,|=|,PN,|，又,AM,是圆半径，,|,PM,|+|,PN,|=|,PM,|+|,PA,|=|,AM,|=6,|,MN,|，,由椭圆定义知，,P,轨迹是椭圆.,答案,B,12/59,题型二 椭圆标准方程,【,例2,】已知点,P,在以坐标轴为对称轴椭圆上，且,P,到两焦点距离分别为5、3，过,P,且与长轴垂直,直线恰过椭圆一个焦点，求椭圆方程.,思维启迪,设椭圆方程为,依据题意求a,b,得方程,.,13/59,解,方法一,设所求椭圆方程为,由已知条件得 解得,a,=4,c,=2,b,2,=12.,故所求方程为,14/59,方法二,设所求椭圆方程为,两个焦点分别为,F,1,，,F,2,.,由题意知2,a,=|,PF,1,|+|,PF,2,|=8,a,=4.,在方程 中，令,x,=,c,得|,y,|=,在方程 中，令,y,=,c,得|,x,|=,依题意有 =3，,b,2,=12.,椭圆方程为,15/59,探究提升,利用待定系数法求椭圆标准方程，即设,法建立关于,a,、,b,方程组，先定型、再定量，若位,置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，,椭圆方程可设为,mx,2,+,ny,2,=1(,m,0,n,0,m,n,)，,由题目所给条件求出,m,、,n,即可.,16/59,知能迁移2,（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴,且,长轴是短轴3倍，而且过点,P,（3，0）,求椭圆,方程；,（2）已知椭圆中心在原点，以坐标轴为对称,轴，且经过两点,P,1,(，1)、,P,2,(-，-)，,求椭圆方程.,解,（1）若焦点在,x,轴上，设方程为,(,a,b,0).,椭圆过,P,（3，0），,又2,a,=32,b,b,=1,方程为,17/59,若焦点在,y,轴上，设方程为,椭圆过点,P,（3，0），=1,又2,a,=32,b,a,=9,方程为,所求椭圆方程为,b,=3.,18/59,（2）设椭圆方程为,mx,2,+,ny,2,=1(,m,0,n,0且,m,n,).,椭圆经过,P,1,、,P,2,点，,P,1,、,P,2,点坐标适合椭圆,方程，,则,、两式联立，解得,所求椭圆方程为,19/59,题型三 椭圆几何性质,【,例3,】已知,F,1,、,F,2,是椭圆两个焦点，,P,为椭圆上,一点，,F,1,PF,2,=60.,（1）求椭圆离心率范围；,（2）求证:,F,1,PF,2,面积只与椭圆短轴长相关.,（1）在,PF,1,F,2,中，使用余弦定理和,|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,a,，,可求,|,PF,1,|,PF,2,|,与,a,，,c,关,系，然后利用基本不等式找出不等关系，从而求,出,e,范围；,（2）利用,|,PF,1,|,PF,2,|sin 60可证.,思维启迪,20/59,（1）,解,设椭圆方程为,|,PF,1,|=,m,|,PF,2,|=,n,.,在,PF,1,F,2,中，由余弦定理可知，,4,c,2,=,m,2,+,n,2,-2,mn,cos 60.,m,+,n,=2,a,，,m,2,+,n,2,=（,m,+,n,）,2,-2,mn,=4,a,2,-2,mn,，,4,c,2,=4,a,2,-3,mn,即3,mn,=4,a,2,-4,c,2,.,又,mn,（当且仅当,m,=,n,时取等号）,4,a,2,-4,c,2,3,a,2,，即,e,.,又0,e,1,e,取值范围是,21/59,（2）,证实,由（1）知,mn,=,mn,sin 60=,即,PF,1,F,2,面积只与短轴长相关.,22/59,探究提升,（1）椭圆上一点与两焦点组成三角形，称为椭圆焦点三角形，与焦点三角形相关,计算或证实常利用正弦定理、余弦定理、|,PF,1,|+|,PF,2,|=2,a,，得到,a,、,c,关系.,（2）对,F,1,PF,2,处理方法,定义式平方,余弦定理,面积公式,23/59,知能迁移3,已知椭圆,长、,短轴端点分别为,A,、,B,从椭圆上一点,M,（在,x,轴,上方）向,x,轴作垂线，恰好经过椭圆左焦点,F,1,，,.,（1）求椭圆离心率,e,；,（2）设,Q,是椭圆上任意一点，,F,1,、,F,2,分别是左、右,焦点，求,F,1,QF,2,取值范围.,解,（1）,F,1,（-,c,，0），则,x,M,=-,c,，,y,M,=，,k,OM,=-.,k,AB,=-，,-=-，,b,=,c,，故,e,=,24/59,（2）设|,F,1,Q,|=,r,1,，|,F,2,Q,|=,r,2,，,F,1,QF,2,=，,r,1,+,r,2,=2,a,，|,F,1,F,2,|=2,c,，,cos =,当且仅当,r,1,=,r,2,时，cos =0,25/59,题型四 直线与椭圆位置关系,【,例4,】（12分）椭圆,C,：两,个焦点为,F,1,，,F,2,，点,P,在椭圆,C,上，且,PF,1,F,1,F,2,，,|,PF,1,|=，|,PF,2,|=.,（1）求椭圆,C,方程；,（2）若直线,l,过圆,x,2,+,y,2,+4,x,-2,y,=0圆心,M,，交椭圆,C,于,A,，,B,两点，且,A,，,B,关于点,M,对称，求直线,l,方程.,26/59,（1）可依据椭圆定义来求椭圆方程；,（2）方法一：设斜率为,k,，表示出直线方程,然后,与椭圆方程联立，利用根与系数关系及中点坐,标公式求解；,方法二：设出,A,、,B,两点坐标,代入椭圆方程,作,差变形,利用中点坐标公式及斜率求解（即点差,法）.,思维启迪,27/59,解,（1）因为点,P,在椭圆,C,上，,所以2,a,=|,PF,1,|+|,PF,2,|=6，,a,=3.2分,在,R,t,PF,1,F,2,中，,故椭圆半焦距,c,=，4分,从而,b,2,=,a,2,-,c,2,=4，,所以椭圆,C,方程为 6分,28/59,（2）,方法一,设点,A,B,坐标分别为(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,).,已知圆方程为（,x,+2）,2,+(,y,-1),2,=5,所以圆心,M,坐标为（-2，1），从而可设直线,l,方程为：,y,=,k,(,x,+2)+1,8分,代入椭圆,C,方程得：,(4+9,k,2,),x,2,+(36,k,2,+18,k,),x,+36,k,2,+36,k,-27=0.,因为,A,，,B,关于点,M,对称，,所以 10分,所以直线,l,方程为,y,=(,x,+2)+1,即8,x,-9,y,+25=0.,（经检验，所求直线方程符合题意）12分,29/59,方法二,已知圆方程为（,x,+2）,2,+(,y,-1),2,=5,所以圆心,M,坐标为（-2，1），8分,设,A,，,B,坐标分别为（,x,1,y,1,）,(,x,2,y,2,).,由题意,x,1,x,2,由-得：,因为,A,，,B,关于点,M,对称，,所以,x,1,+,x,2,=-4,y,1,+,y,2,=2,30/59,代入得,即直线,l,斜率为 ，10分,所以直线,l,方程为,y,-1=(,x,+2),即8,x,-9,y,+25=0.,（经检验，所求直线方程符合题意）.12分,31/59,探究提升,（1）直线方程与椭圆方程联立,消元后,得到一元二次方程，然后经过判别式来判断直,线和椭圆相交、相切或相离.,（2）消元后得到一元二次方程根是直线和椭,圆交点横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和,与两根之积形式，这是深入解题基础.,（3）若已知圆锥曲线弦中点坐标,可设出弦,端点坐标,代入方程，用点差法求弦斜率.注,意求出方程后，通常要检验.,32/59,知能迁移4,若,F,1,、,F,2,分别是椭圆,（,a,b,0）左、右焦点，,P,是该椭圆上一个,动点，且|,PF,1,|+|,PF,2,|=4，|,F,1,F,2,|=2 .,（1）求出这个椭圆方程；,（2）是否存在过定点,N,（0，2）直线,l,与椭圆,交于不一样两点,A,、,B,，使,（其中,O,为坐,标原点）？若存在，求出直线,l,斜率,k,；若不存,在，说明理由.,33/59,解,（1）依题意，得2,a,=4，2,c,=2 ,所以,a,=2,c,=,b,=,椭圆方程为,（2）显然当直线斜率不存在，即,x,=0时，不满,足条件.,设,l,方程为,y,=,kx,+2,由,A,、,B,是直线,l,与椭圆两个不一样交点，,设,A,（,x,1,，,y,1,），,B,（,x,2,，,y,2,），,由 消去,y,并整理，得,34/59,（1+4,k,2,）,x,2,+16,kx,+12=0.,=(16,k,),2,-4(1+4,k,2,)12=16(4,k,2,-3),0,解得,k,2,.,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=,=0，,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=,x,1,x,2,+(,kx,1,+2)(,kx,2,+2),=,x,1,x,2,+,k,2,x,1,x,2,+2,k,（,x,1,+,x,2,）+4,=（1+,k,2,）,x,1,x,2,+2,k,（,x,1,+,x,2,）+4,35/59,k,2,=4.,由可知,k,=2,所以，存在斜率,k,=2直线,l,符合题意.,36/59,方法与技巧,1.椭圆上任意一点,M,到焦点,F,全部距离中，长轴,端点到焦点距离分别为最大距离和最小距离，,且最大距离为,a,+,c,最小距离为,a,-,c,.,2.过焦点弦全部弦长中，垂直于长轴弦是最,短弦，而且它长为 .把这个弦叫椭圆,通径.,3.求椭圆离心率,e,时,只要求出,a,b,c,一个齐次,方程，再结合,b,2,=,a,2,-,c,2,就可求得,e,(0,e,1).,思想方法 感悟提升,37/59,4.从一焦点发出光线，经过椭圆（面）反射，,反射光线必经过椭圆另一焦点.,5.过椭圆外一点求椭圆切线,普通用判别式=0,求斜率，也可设切点后求导数（斜率）.,6.求椭圆方程时，惯用待定系数法，但首先要判断,是否为标准方程，判断依据是：（1）中心是否,在原点，（2）对称轴是否为坐标轴.,38/59,失误与防范,1.求椭圆方程时，在建立坐标系时，应该尽可能,以椭圆对称轴为坐标轴方便求得方程为最简,方程椭圆标准方程.,2.求两曲线交点坐标，只要把两曲线方程联,立求方程组解,依据解能够判断位置关系，若,方程组有解可求出交点坐标.,3.注意椭圆上点坐标范围，尤其是把椭圆上某,一点坐标视为某一函数问题求解时，求函数单,调区间、最值时有主要意义.,4.判断椭圆标准方程标准为：长轴、短轴所在,直线为坐标轴，中心为坐标原点.,39/59,5.判断两种标准方程方法为比较标准形式中,x,2,与,y,2,分母大小，若,x,2,分母比,y,2,分母大，则焦点,在,x,轴上，若,x,2,分母比,y,2,分母小，则焦点在,y,轴上.,6.注意椭圆范围，在设椭圆,上点坐标为,P,（,x,，,y,）时，则|,x,|,a,，这往往,在求与点,P,相关最值问题中尤其有用，也是容,易被忽略而造成求最值错误原因.,40/59,一、选择题,1.,（上海春招，14）,已知椭圆,=1，长轴在,y,轴上，若焦距为4，则,m,等于（）,A.4 B.5 C.7 D.8,解析,椭圆焦点在,y,轴上，,a,2,=,m,-2，,b,2,=10-,m,.,又,c,=2，,m,-2-（10-,m,）=2,2,=4.,m,=8.,定时检测,D,41/59,2.已知点,M,（，0）,椭圆 =1与直线,y,=,k,(,x,+)交于点,A,、,B,则,ABM,周长为,（）,A.4 B.8 C.12 D.16,解析,直线,y,=,k,(,x,+)过定点,N,(-,0),而,M,、,N,恰为椭圆 两个焦点，由椭圆定义知,ABM,周长为4,a,=42=8.,B,42/59,3.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点三角形面积,最大值为1，则椭圆长轴最小值为 （）,A.1B.C.2D.2,解析,设椭圆 ，则使三角,形面积最大时，三角形在椭圆上顶点为椭圆短,轴端点，,S,=2,c,b,=,bc,=1,a,2,2.,a,.长轴长2,a,2 ，故选D.,D,43/59,4.,（浙江文，6）,已知椭圆,(,a,b,0)左焦点为,F,，右顶点为,A,，点,B,在,椭圆上，且,BF,x,轴，直线,AB,交,y,轴于点,P,.若,=2,，则椭圆离心率是 （）,A.B.C.D.,44/59,解析,如图，因为,BF,x,轴，,故,x,B,=-,c,y,B,=,设,P,（0,t,）,=2 ，,（-,a,t,）=2,a,=2,c,e,=,答案,D,45/59,5.已知,F,1,，,F,2,是椭圆两个焦点，过,F,1,且与椭圆长,轴垂直直线交椭圆于,A,、,B,两点，若,ABF,2,是,等腰直角三角形，则这个椭圆离心率是（）,A.B.C.D.,解析,ABF,2,是等腰直角三角形，|,AF,1,|=|,F,1,F,2,|，将,x,=-,c,代入椭圆方程,从而 即,a,2,-,c,2,=2,ac,整理得,e,2,+2,e,-1=0,解得,e,=-1 ,由,e,(0,1),得,e,=-1.,C,46/59,6.,(江西理,6),过椭圆,左焦点,F,1,作,x,轴垂线交椭圆于点,P,，,F,2,为右焦,点，若,F,1,PF,2,=60,则椭圆离心率为（）,A.B.C.D.,解析,由题意知点,P,坐标为,F,1,PF,2,=60,即2,ac,=,b,2,=(,a,2,-,c,2,).,e,2,+2,e,-=0,e,=或,e,=-(舍去).,B,47/59,二、填空题,7.,（广东理，11）,已知椭圆,G,中心在坐标,原点，长轴在,x,轴上，离心率为 ，且,G,上一点,到,G,两个焦点距离之和为12,则椭圆,G,方程,为,.,解析,设椭圆长半轴为,a,，由2,a,=12知,a,=6,又,e,=,故,c,=3 ，,b,2,=,a,2,-,c,2,=36-27=9.,椭圆标准方程为,48/59,8.设椭圆 （,m,0,n,0）右焦点与抛,物线,y,2,=8,x,焦点相同，离心率为 ，则此椭圆,标准方程为,.,解析,抛物线,y,2,=8,x,焦点是（2,0）,椭圆,半焦距,c,=2,即,m,2,-,n,2,=4,又,e,=,m,=4,n,2,=12.,从而椭圆方程为,49/59,9.,B,1,、,B,2,是椭圆短轴两端点，,O,为椭圆中心，过,左焦点,F,1,作长轴垂线交椭圆于,P,若|,F,1,B,2,|是,|,OF,1,|和|,B,1,B,2,|等比中项，则 值是,.,解析,由已知2,bc,=,a,2,=,b,2,+,c,2,b,=,c,=,设,P,（,x,0,，,y,0,），则,x,0,=-,c,，|,y,0,|=|,PF,1,|.,50/59,三、解答题,10.依据以下条件求椭圆标准方程：,（1）已知,P,点在以坐标轴为对称轴椭圆上，点,P,到两焦点距离分别为 ，过,P,作长,轴垂线恰好过椭圆一个焦点；,（2）经过两点,A,（0，2）和,B,解,（1）设椭圆标准方程是 或,51/59,则由题意知2,a,=|,PF,1,|+|,PF,2,|=2 ，,a,=.,在方程 中令,x,=,c,得|,y,|=,在方程 中令,y,=,c,得|,x,|=,依题意并结合图形知 =.,b,2,=.,即椭圆标准方程为,52/59,（2）设经过两点,A,（0，2），,B,椭圆标,准方程为,mx,2,+,ny,2,=1，代入,A,、,B,得,所求椭圆方程为,x,2,+=1.,53/59,11.,（辽宁文，21）,在平面直角坐标系,xOy,中，点,P,到两点（0，-）、（0，）距,离之和等于4，设点,P,轨迹为,C,.,（1）写出,C,方程；,（2）设直线,y,=,kx,+1与,C,交于,A,、,B,两点，,k,为何值时,?此时|值是多少?,解,(1)设,P,（,x,，,y,），由椭圆定义可知，点,P,轨迹,C,是以(0,-)、(0,)为焦点，长半,轴长为2椭圆，它短半轴长,b,=,故曲线,C,方程为,x,2,+=1.,54/59,(2)设,A,（,x,1,y,1,)、,B,（,x,2,y,2,），其坐标满足,消去,y,并整理得（,k,2,+4）,x,2,+2,kx,-3=0，,故,x,1,+,x,2,=-,x,1,x,2,=-.,若 ，则,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0.,而,y,1,y,2,=,k,2,x,1,x,2,+,k,(,x,1,+,x,2,)+1,于是,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=,化简得-4,k,2,+1=0,所以,k,=.,55/59,当,k,=时，,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-,|=,=,而(,x,1,-,x,2,),2,=(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,56/59,12.已知椭圆,C,：=1(,a,b,0)离心率,为 ,且经过点,P,（1）求椭圆,C,标准方程；,（2）设,F,是椭圆,C,左焦点,判断以,PF,为直径,圆与以椭圆长轴为直径圆位置关系，并说,明理由.,57/59,解,（1）椭圆 =1（,a,b,0）离心,率为 ，且经过点,P,椭圆,C,标准方程为,58/59,（2）,a,2,=4，,b,2,=3，,c,=,椭圆,C,左焦点坐标为（-1，0）.,以椭圆,C,长轴为直径圆方程为,x,2,+,y,2,=4,圆心,坐标是（0，0），半径为2.,以,PF,为直径圆方程为,x,2,+圆心,坐标是 半径为 .,因为两圆心之间距离为,故以,PF,为直径圆与以椭圆长轴为直径圆内切.,返回,59/59,
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