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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,偏微分方程教程第六章 椭圆型方程,第1页,1,1 调和函数,【,知识点提醒,】,Green公式，基本解，调和函数，调和函数基本性质。,【,重、难点提醒,】,利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数,基本性质。,【,教学目标,】,掌握调和函数定义和性质。,第2页,2,1.1.Green公式,散度定理：,设,是,维空间中以足够光滑曲面,所围成,有界连通区域,是曲面外单位法向.若函数,在闭区域,上连续,在,内有一阶连续偏,导数,则,(1.1),其中,表示曲面,外单位法向,与,轴方向余弦,是,上面积元素.,第3页,3,Green公式推导：,设函数,和,在,内有连续二阶,偏导数.在公式(1.1)中令,得到,(1.2),(1.2)可改写成为,(1.3),第4页,4,若将(1.3)中,和,相互对换,又得,(1.4),我们把(1.3)与(1.4)都称作,第一Green公式.,若将(1.3)与(1.4)相减,则得,(1.5),我们把(1.5)称为,第二Green公式.,1.2.调和函数与基本解,定义 6.1,对于函数,假如它在,维空间,有,界区域,内有直到二阶连续偏导数,且在,内满足Laplace方程：,第5页,5,(1.6),则称,在区域,内是,调和函数.,假如,则称,在区域,内是,下调和(上调和)函数.,假如,是无界区域,则除上面要求外,还应要求当点,趋于无穷远时,函数,一致趋于零.即对于任意小正数,存在正数,使当点,与坐标原点距离,时,总有,按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作,调和方程,.,调和方程基本解,我们仅考虑三维空间和二维空间情形.,第6页,6,首先我们考虑三维情形.,用,表示三维空间中点,改写,三维空间调和方程,为球坐标形式.设球坐标变换为,则(1.6)(取,)可化为,(1.7),由(1.7)能够看出,方程(1.6)球对称解是满足以,为自变量,常微分方程,第7页,7,其通解可写为,这里,是任意常数.所以函数,是一个球对称特解,从而推得,在任一不包含点,区域内是调和,它在点,处有奇性.,称函数,为三维Laplace方程(1.6),基本解,第8页,8,注,基本解在,时关于,或,都是调和,且无穷次可微.,函数,其次,考虑二维Laplace方程,在极坐标变换,下它可化为,(1.8),二维Laplace方程基本解,定理 6.1,设函数,在有界区域,内二阶连续可微,在,上连续且有连续一阶偏导数,则当点,时,有,第9页,9,(1.9),其中,是边界曲面,外单位法向,是曲面,上面积单元,是体积单元.,证,以,为中心,为半径作球,使,表示该球球面,于是在区域,上,函数,和,都满足第二Green公式条件,代入公式(1.5)得,(1.10),因为,在区域,内是调和函数,所以有,.,另外边界,上任一点外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心,方向,所以在,上有,第10页,10,从而得到在,上积分为,其中,和,分别是函数,和,在 球面,上平均值.于是(1.10),可写成,因为,及,在,上连续，所以,关于,一致有界,且当,时,有,第11页,11,于是由上式即得,定理证毕.,今后,我们将公式(1.9)称为三维空间中,基本积分公式.,定理 6.2,设函数,在有界区域,内二阶连续可微，在,上连续且有连续一阶偏导数，则当点,时有,(1.11),其中,表示,上线元素,是,上面积元素.,1.3.调和函数基本性质,性质 6.1,设,是有界区域,内调和函数,且在,上有连续一阶偏导数,则,第12页,12,(1.12),证,利用第二Green公式,在(1.5)中取,取,为所给调和,函数,由此性质可得出,Laplace方程第二边,就可得到(1.12).,值问题,有解必要条件是函数,满足,性质 6.2,设,是有界区域,内调和函数,且在闭区域,上有连续一阶偏导数,则在,内任一点,处有,第13页,13,(1.13),证,利用基本积分公式(1.9)即得.,类似地,对于二维空间情形,我们能够利用(1.11)得到,(1.14),其中,是平面上有界区域,边界.,性质 6.3(平均值定理),设,是区域,内调和函数,是,内,任一点以,为心,为半径作球,只要球,连同其边界,包含在,内,则有公式,(1.15),第14页,14,证,将公式(1.13)应用于球面,上,得到,这里,故由性质6.1知上式右端第一项积分值为零,在球面上外法线方向与半径方向一致,于是,又因为,所以有,我们把调和函数这一性质称为,平均值定理,公式(1.15),第15页,15,称为,平均值公式,即调和函数在球心处值等于它在球面上,平均值.,注1,对区域,内下调和(上调和)函数,我们有,(1.17),性质 6.4(强极值原理),假设不恒为常数函数,在有界区域,内调和且在,上连续,则它在,上最大,值和最小值只能在,边界,上到达.,证,用反证法.假设调和函数,在,上最大值不在,上到达,那么它必在,内某一点,到达,记,当然,也是,在,上最大值.,第16页,16,以,为心,为半径作球,使,完全包含于,内,记,球面为,能够证实,在,上有,实际上,若函数,在,上某一点值小于,则由连续性知,上必可找到此,在球面,点一个充分小邻域,在此邻域内有,于是在,上成立不等式,但由平均值公式(1.15),有,这就发生了矛盾.所以在球面,上,必须有,第17页,17,同理可证,在任一以,为心,为半径球面,上,也有,.所以,在整个球,上,有,下面证实对,内全部点,都有,.为此在,内任取一点,因为,是区域,所以可用完全位于,内折线,将点,和,连结起来,设,与边界,最短距离为,于是函数,在以,为心,为半径球,上,恒等于,若,与球,球面,相交于,点,显然,在以,为心,为半径球,上,有,照此作下去,可用有限个球,.,将折线,完全覆盖,而且,第18页,18,使,因为在每个球上都有,所以,由点,任意性,就可得到在整个区域,上,有,这和函数,在,上不恒等于常数假设相矛盾.所以,不能,在,内部取得它最大值.,对于最小值情形,由,最小值就是,最大值,而,也是调和函数,从而推得函数,也不能在,内部取得它最小值.,定理证毕.,推论 6.1(调和函数比较原理),设,和,都是有界区域,内调和函数,且在,边界,上连续,假如在,上有不等式,第19页,19,则在,内亦有,.而且只有在,上,时,在,内才会有等号成立可能.,对于二维调和函数,类似极值原理成立.,注2,(下(上)调和函数强最大(小)值原理),设不恒为常数,函数,是,内下(上)调和函数,则它在,上最大(小)值,边界,上到达.,只能在,证实留给读者自己完成.,第20页,20,
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