论复变函数在工程中的应用.doc

复变函数与积分变换

学 院: 电气工程学院
专业班级: 电气工程及其自动化1303班
学 号:
学生姓名: 王丁
指导老师: 丁蕾
辅 导 员: 鲁力鹏

12月
论复变函数在工程中应用
1、 利用复变函数研究平面向量场相关问题。以静电场为例。我们知道, 场内没有其她带电物体平面静电场即使无源场也是无场。我们能够利用复变函数中解析函数结构场E复势。因为E为无源场, 所以divE=+=0。从而我们知道在B内−𝑑𝑥+𝐸𝑥𝑑𝑦是某二元函数u(x,y)全微分, 即:
du x,y=−𝑑𝑥+𝐸𝑥𝑑𝑦
因为等值线u(x,y)=𝑐1上任一点处电场强度E方向与等值线在该点处切线方向相同, 等值线就是向量线, 也就是场E电力线。所以称u(x,y)为该场力函数。又因为场E为无旋场, 所以−=0。从而我们知道在B内−𝐸𝑥𝑑𝑥−𝐸𝑦𝑑𝑦也是某二元函数v(x,y)全微分, 即:
dv x,y=−𝐸𝑥𝑑𝑥−𝐸𝑦𝑑𝑦
所以v(x,y)是场E势函数, 等值线v(x,y)=𝑐2就是等势线。 总而言之, 不难看出假如E是单连域B内无源无旋场, 那么u与v也满足C-R方程, 而且它们含有连续偏导数, 所以, 函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B内一个解析函数, 成为静电场E复势。利用静电场复势能够统一研究力函数和势函数, 讨论电力线和等势线分布, 描绘出静电场图像。 以上便是复变函数在静电场中最初步研究部分浅显应用。显而易见, 复变函数部分基础性质（如解析函数、 C-R条件等）在其中发挥着举足轻重作用。
2、 相量法分析线性电路正弦稳态响应。相量法（phaser method）, 分析正弦稳态电路便捷方法。它用称为相量复数代表正弦量, 将描述正弦稳态电路微分（积分）方程变换成复数代数方程, 从而简化了电路分析和计算。

相量可在复平面上用一个矢量来表示。它在任何时刻在虚轴上投影即为正弦量在该时刻瞬时值。引入相量后, 两个同频率正弦量加、 减运算能够转化为两个对应相量加、 减运算。相量加、 减运算既可经过复数运算进行, 也可在相量图上按矢量加、 减法则进行。正弦量与它相量是一一对应, 所以求出了相量就不难写出原来需要求正弦量。利用相量可将电路元件在时域中电压电流关系转换成电压相量与电流相量关系。将正弦交流电路中每个电路均用对应相量电路模型替换, 便得到一个与原电路相对应相量电路模型, 这种模型对正弦交流电路计算很有用处。正弦交流电路中一个不含独立电源且与外电路无耦合一端口网络, 其端上电压相量与电流相量比值定义为该网络入端复数阻抗, 简称阻抗。它倒数定义为该网络入端复数导纳, 简称导纳, 分别用符号Z和Y表示。复数阻抗实部称为等效电阻, 虚部称为电抗, 模称为阻抗模, 幅角称为阻抗角,它们分别用符号R、 X、 |Z|、 φ表示。复数导纳实部称为等效电导, 虚部称为电纳, 模称为导纳模, 幅角称为导纳角, 它们分别用符号G、 B、 |Y|、 φ表示, 于是 
Z =R+jX=|Z|e Y =G+jB=|Y|e
显然, 阻抗模等于端口电压振幅（有效值）与端口电流振幅（有效值）比值, 阻抗角等于端口电压超前端口电流角度; 导纳模等于端口电流振幅(有效值)与端口电压振幅（有效值）比值, 导纳角等于端口电流超前端口电压角度。电阻元件、 电感元件和电容元件都是最简单一端口网络。显然, 复数阻抗（复数导纳）引入能使原非同类元件归并为都以复数阻抗（复数导纳）来表征同类元件, 复数阻抗（复数导纳）在交流电路中地位与直流电路中电阻（电导）相当。
3、 谐波分析法中复变。在自然科学和工程技术中为了把较复杂运算转化为较简单运算, 大家常采取变换方法来达成目。比如在初等数学中, 数量乘积和商能够经过对数变换化为较简单加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、 积分）转化为代数运算, 正是积分变换这一特征, 使得它在微分方程、 偏微分方程求解中成为关键方法之一。积分变换理论方法不仅在数学很多分支中得到广泛应用, 而且在很多科学技术领域中, 比如物理学、 力学、 现代光学、 无线电技术以及信号处理等方面, 作为一个研究工具发挥着十分关键作用。
式

表明周期信号能够分解为一系列固定频率简谐波之和, 这些简谐波(角)频率分别为一个基频倍数。
Fourier变换是一个对连续时间函数积分变换,经过特定形式积分建立函数之间对应关系。 它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等), 又含有明确物理意义(从频谱角度来描述函数特征),所以在很多领域被广泛地应用。离散和快速Fourier变换在计算机时代更是尤其关键。
4、 Laplace变换在电路分析中应用。对于含有多个动态元件复杂电路,用直接求解微分方程方法比较困难。 比如对于一个n阶方程,直接求解时需要知道变量及其各阶导数在t = 0 +时刻值,而电路中给定初始状态是各电感电流和电容电压在t = 0 +时刻值,从这些值求初始条件工作量很大。 拉普拉斯变换和傅立叶变换都是积分变换,但它比傅立叶变换有更广泛适应性,是求解高阶复杂动态电路有效而关键方法之一。在傅立叶变换中,引入衰减因子 (σ为实常数) ,依据不一样信号特征,合适选择σ值, 使乘积信号f ( t) 当t→ ∞时信号幅度趋近于0,从而使f ( t)定义式积分收敛。
  =
其积分结果为s ( s =σ+ωj )函数,F ( s) = f ( t)  dt 即为双边拉普拉斯变换对或复傅立叶变换对。 引入拉普拉斯变换后,傅立叶变换中不能处理零初始状态下系统响应也可迎刃而解。 
以上是我利用复变函数与积分变换这个工具, 结合所学物理知识以及电路分析所作总结。