精确二维固相体积分率方案.doc

正确二维固相体积分率方案

为了正确计算二维固相体积分数, 将颗粒与网格部分重合深入细分为四种情形。图3.1中给出了多种重合情形下颗粒与网格相对位置关系示意。
计算网格二维固相体积分数时, 部分重合四种情形还需要深入区分网格顶点与颗粒位置关系。本章模拟采取正方形网格进行空间离散, 这里令颗粒坐标为, 网格宽度和厚度分别为, 网格几何中心为, 网格四个顶点分别为, , 和, 由此可计算颗粒与四个顶点距离和。这些距离中, 当和分别为最小时, 单颗粒所占网格二维固相体积分数表示形式存在差异, 不失通常性, 这里只给出当<, <和<同时成立时, 多种重合情形下单颗粒所占网格二维固相体积分数表示式。

图3.1 颗粒与控制体五种重合情形

图3.2颗粒与网格重合时颗粒质心区域划分
图3.2给出了当<, <和<同时成立时, 多种重合情形下颗粒质心与网格左下顶点相对位置关系, 与部分重合四种情形相对应, 这里部分重合时颗粒与顶点位置关系也划分为四种情形。图3.2还显示了颗粒与网格发生重合时, 颗粒质心所处位置正确范围。以下将分类讨论多种重合情形下单个颗粒对网格二维固相体积分数贡献。

(x1,y1)
(X,Y)

     (a) Cas 1 (b) Cas 2
图3.3 颗粒与网格左下顶点最近重合情形（Cas 1与Cas 2）
图3.3给出了颗粒与网格左下顶点距离最近重合情形1和2。这两种情形下, 颗粒所占网格二维固相体积分数表示形式是唯一确定, 不存在变例。对于情形1, 颗粒质心与网格位置关系为: 且。则单个满足重合情形1颗粒所占目标网格二维固相体积分数为
(3.3)
对于情形2, 颗粒质心与网格位置关系为: , , 且。此情形下计算为
 (3.4)
图3.4给出了颗粒与网格左下顶点距离最近重合情形3。对于情形3, 颗粒质心与网格位置关系存在四种变例, 但均满足。尽管情形3存在四种变例, 但经过推导, 颗粒所占网格二维固相体积分数表示形式是统一。依据图3.4轻易得到
  (3.5)
  (3.6)
则颗粒所占目标网格二维固相体积分数为
   (3.7)

a
b
a
a
a
b
b
(x1,y1)
(X,Y)
b

(a) Variation 1
(b) Variation 2
(c) Variation 3
(d) Variation 4

图3.4颗粒与网格左下顶点最近重合情形（Cas 3）
图3.5给出了颗粒与网格左下顶点距离最近重合情形4。情形4存在两种变例, 而且颗粒所占网格二维固相体积分数表示形式也存在差异。对于情形4变例1, 颗粒质心与网格位置关系所满足条件为: , , 且。此变例下计算为
     (3.8)
对于情形4变例2, 颗粒质心与网格位置关系为: , , 且。此变例下计算为
(x1,y1)
     (3.9)

(x1,y1)
(X,Y)

(x1,y1)

(X,Y)
(a) Variation 1
(b) Variation 2

图3.5颗粒与网格左下顶点最近重合情形（Cas 4）

(x1,y1)
(X,Y)

(x1,y1)

(X,Y)
(a) Variation 1
(b) Variation 2

图3.6颗粒与网格左下顶点最近重合情形（Cas 5）
图3.6给出了颗粒与网格左下顶点距离最近重合情形5。情形5也存在两种变例, 而且颗粒所占网格二维固相体积分数表示形式也存在差异。对于情形5变例1, 颗粒质心与网格位置关系满足条件: , , 且。此变例下有
   (3.10)
对于情形5变例2, 颗粒质心与网格位置关系为: , , 且。此变例下有
   (3.11)
在上述多种情形及其变例中, 计算以<, <和<同时成立为前提。类似地, 不难导出当、 和分别为最小时多种表示式。将带入式(3.1)计算正确和, 由此给出了正确二维空隙率方案。