博士数学论坛上有这样一道题.docx

博士数学论坛上有这样一道题：函数在区间可导，且。证明：
，使得：。
我们直接证明：考虑函数，其中
则在上连续，在上取值具有介值性（因为有原函数,利用导函数的达布性质）要证有零点存在，看是否存在，使即可
（1）若存在，使，设则且时，。当时，其中，故；当时，则可找到收敛数列使得且，故，（若则上式也成立）故可找到某个使成立。总之，若存在，使使。
（2）同理可得：若存在，使使。
由（1）、（2）可知当时，结论成立。
下证当时结论也成立，不妨设存在，使（否则恒为常数）由（1）知使。又其中，若则结论已证；若则可知，若则结论成立。若则我们已求得在上的一个零点了。
同理可证当时结论也成立。