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论文：小学数学“问题解决”教学初探
一九八二年英国的科克柯罗福特报告（Cockcroft Report）给教师提出了五条建议，其中第一条就提出“应该在教学形式中增加讨论、研究、问题解决和探索等形式，而不应仅仅是讲解、复习、练习、作业，有必要研究在小学的‘问题解决’教学，尽管对此问题还有很多疑虑。”事实上十多年过去了，这方面的疑虑还存在很多，至少在中国便是如此。本文正是试图在这一方面作出一些有意义的探索，并力图阐明这样一个观点，即小学数学教育应充分重视“问题解决”的教学。
一、什么是“问题解决”教学？目前就教育界还存在着许多不同的介定。我们更倾向于这样一种观点，即“问题解决”教学是指：“在教师的适当指导下，学生以已有的认知结构为基础对问题进行探索，并获得问题的最终解决，从而掌握一定的思想方法。”当然，“问题解决”教学中所指的“问题”并不等同于传统数学教育中的那种“单纯练习式的问题”，而是一些“非单纯练习式的问题”，这些问题对学生来讲应该是不熟悉的、全新的。也就是说在学生原有的认知结构中不存在现成的解题模式，它必须依靠学生自己相对独立的探索、发现才能得以解决。我们强调小学数学教育中的“问题解决”教学，既是我们社会文化发展的需要，也是数学教育本身发展的需要。
（一）时代文化的客观要求
随着工业社会向信息社会的飞速迈进，社会对未来人才的培养也提出了与工业社会不同的要求。这就如同美国国家科学理事会（NRC）在1990年发表的关于数学教育的未来报告《人人都得算数》中所指出的：“21世纪的劳动力将是较少体力型而较多智力型的；较少机械的而更多电子的；较少稳定的而更多变化的……信息社会已经创造了一个在其中巧干要比单纯苦干重要得多的世界经济。这一经济需要的是智力上适合的劳动者：即善于吸收新思想，能适应各种变化……并善于解决各种复杂问题的劳动力。”如果从数学教育的角度来看，那么上述的变化当然也就包括了在数学教育方面普遍的高标准，而这主要是指我们应当努力提高学生应用数学知识解决问题的能力，并通过数学学习发展学生的理性思维和创造性才能，使学生养成“数学地思维”的习惯。
当然，我们也不能忽视计算机技术的迅速发展对传统的数学教育观念的冲击。一方面，计算机技术的迅速发展，使得人们能够彻底摆脱片面强调数学知识与计算技能的传统教育思想的束缚，从而真正集中于学生解决问题能力的培养。另一方面，借助计算机，人们可以克服传统计算方法的局限，从而使得社会生活中的实际问题真正成为学生数学学习的组成部分。关于这两点，荷兰数学家弗赖登塔尔曾有过一段精辟的论述。他说：“如果我们今天的数学只是将一些东西灌给儿童，而10年或20年后计算机会比人做得更好，那岂非自找麻烦？坦率地说，我们无法知道今天教给儿童的题材是否就是他们未来所需要的，但是我们可以教给儿童更为宝贵的东西，不是特定的知识、技能，而是如何运用这些知识和技能去解决一些实际问题。”
（二）数学观发展的内在要求
由数学哲学的发展历史可以知道，在很长时期内，人们往往把数学等同于数学知识的汇集。他们天真地认为，只要由少数几条公理，就可以单纯凭借逻辑法则而演绎出全部的数学真理。这种静态的数学观，甚至在现代教育的代表人物如前苏联实验教学论的开创者赞可夫和美国新数学运动的倡导者布鲁纳身上，仍然可以看到其深刻的影响。然而随着其后一些基础学派研究的纷纷失败，数学家们开始对数学的本质进行了重新的思索。正如美国著名数学家伦伯格后来所指出的：“两千年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的不可怀疑的真理的集合，这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战。他们认为数学是可错的、变化的，并和其它知识一样都是人类创造性的产物……”因而我们就不应该把数学看成是一种静止的对象，而应看到这一学科同样随着人类文明的进步而不断发展和演变着。举个例子，我们一直认为“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。”而随着历史的发展，其中的“数量”和“空间”都已被赋予了更广义的内涵：“数量”已不仅是实数，而且是向量、张量，甚至是有代数结构的抽象集合中的元；空间也不只是三维空间，还有四维、无穷维以及具有某种结构的抽象空间。总之一句话，数学并非是一成不变的，它也在发展，也在变化。显然这种动态的数学观具有重要的教育涵义：数学教育的目标应当包含培养学习者创造自己的数学知识的能力。从这种角度来观察，那么数学的学习绝不应是一个被动的吸收过程（传统的数学学习观就是这样），而应是构造主义数学学习观所认为的，以已有知识和经验为基础的主动构建构过程。事实上，数学对象并非现实世界中的客观存在，如果我们不能首先在思想中实际地“建构”出相应的对象，使借助语言“外化”了的数学对象重新“内化”为思维的内在成分，就不可能获得真正的数学知识。
因而如果我们认同构造主义的这一数学学习观的话，一个必然的结论就是：我们必须充分肯定学习过程的创造（再创造）性质以及学生的创造性才能。在数学教学中我们应当牢固树立“以学生为本”的思想，也即让学生来“承担责任”，主动地去探索、猜测、修正等。因而最好的学习方法就是在活动中学习。就数学学习而言，应该让学生亲自来“做”数学。如此看来，我们的数学教育，特别是小学数学教育就应该竭力为学生创设一定的数学活动情境，让学生在教师创设的数学活动中进行探索、猜测、修正，从而主动地进行自我构建。
综上所述，今天的小学数学教育的确应该在课堂上为学生创设必要的问题情境，让学生在解决问题的活动中积极主动地进行自我构建，并努力提高自己解决问题的能力。也就是说，我们应该在小学数学教育中大力加强“问题解决”的教学，把“问题解决”教学作为小学数学教育的中心环节来抓。
其实有关“问题解决”教学的必要性，早已为国内许多专家所认同，但为什么至今有关“问题解决”的教学还实施得如此缓慢？关键可能在于教育者还存在着这样一种顾虑，即在小学阶段实施“问题解决”教学是否具有可行性。说得具体些，目前就应用题的教学已是一个老大难的问题，若实施“问题解决”的教学，小学生是否有能力解决所谓的“非单纯练习式的问题”，事实上这一担忧是多余的。
首先，学生在学习情境尤其在问题情境中具有强烈的解题心向。有一种看法认为，学生更倾向于解决一些熟悉而又简单的问题。这种看法是错误的，也是不符合小学生的心理特征的。处在小学阶段的学生，他们对一切新鲜事物都充满好奇心，并具有强烈的求知欲望，倘若这些满怀求知欲望的儿童来到学校，在课堂上听到的都是一些老掉牙的问题，那他们就会产生烦躁的感觉，学习的积极性、主动性就会逐渐低落。所以赞可夫在他的实验教学论中就一再强调：“在教学过程中应设置一定的困难、障碍，这可以提高学生对学习的智力情绪”，而我们的“问题解决”教学中的问题显然具备了这方面的条件，它缺乏现成的解题模式，对学生来讲是全新的，学生对于这类问题就会“由于缺乏坚实的论据而产生怀疑，能够近使自己不顾前进道路上的任何困难，而把思维活动进行到底。”随即形成了一种强烈的解题心向和决心，这恰恰为小学生随后问题解决提供了动力保证。
其次，实践也证明，小学阶段的学生是有能力解决这一类问题的。
以下是北京市小学特级教师姚尚志的一次课堂实录。通过这堂课我们就可以清楚地看出小学生解决这类问题的能力。
师：（出示土豆）上堂课我们一起学习了物体体积的计算，那么现在谁来计算一下它的体积？
生：（议论）
师：显然我们不能通过测量直接求出它的体积。但是只要大家开动脑筋，改变一下思考问题的角度，就一定能找到问题解决方法。
生（甲）：如果你让我把土豆带回家，我把它蒸一下，它就发软了。然后我就可以拍一拍，挤一挤，使它变成长方体，这样就可以计算了。
师：这个想法很有趣，通过不变体积，只变形状，把不能直接测量的物体转变成能够直接测量的物体，这是可以的。
生（乙）：您给我一个天平，我先来称一称这个土豆的重量，然后再称一下一立方厘米的土豆重多少，我想这个土豆的重量是这一小块重量的多少倍，这个土豆就有多少立方厘米。
师：你是根据一种物质，它的体积与重量成正比例来解决问题的。我想以后学习比和比例时，你会更出色。
生（丙）：如果您给我一个规则容器，譬如圆柱体形状的，我先量一下它的底面直径，算出它的底面积，然后再往里倒水，量出水的深度，并求出水的体积，把土豆放进水中，再量一下水的深度，又能算出一个体积，两次体积的差就是土豆的体积。
师：……
在这堂课中，面对一个没有现在解题模式的问题，在教师的适当启发和指引下，学生表现出了可贵的创造性才能和对这类问题较强的解题能力。应该说这并不是偶然的，因为无数的教学理论和雄辩的事实已充分证明：小学生的智力潜能是很大的。就目前而言，智力才刚刚开发出10%左右，更多的聪明才智还积压在大脑这个不断生长仓库里。如果教育工作者都无视这一事实，过低估计小学生的智力水平，认为处在小学阶段的学生没有能力解决这类“非单纯练习式的问题”，这显然是有失偏颇的。
事实上，皮亚杰的发生认识论也为我们提供了有关小学生能否成功地解决这类问题的理论依据。在皮亚杰看来，认识的过程本身就是建构的过程，即主体与客体在相互作用过程中，通过“同化”与“顺应”的平衡达到认知的发展，而在其中“顺应”则是认知图式发生变革的关键所在。当主体已有的认知图式不能同化客体时，主体就会自觉地对它进行调整或创立新图式以适应新环境，从而同化客体。这事实上与学生的解题过程有着本质的相似。当学生面对一个新的“非单纯练习式的问题”时，显然，他已有的解题图式并不能直接同化这一问题。根据皮亚杰的观点，这时的主体将自觉地对自身已有的解题图式进行调整或改造，从而促使其对新问题的同休。具体地就，也就是面对这类问题时，学生能主动地对已有的解题策略和解题模式等进行分析、综合、转化、调整，从而形成对新问题的领悟，促进新问题的解决。毫无疑问，我们也应充分认识到学生对这类问题的解决能力。
综上可知，无论理论还是实践均已充分证明，小学阶段的学生是有能力解决这类问题的，因而，只要我们更新原来的教育观念，充分认识到小学生巨大的智力潜能，同时处理好教师在教学过程中的主导作用，那么在小学阶段实施“问题解决”教学不仅是必要的，也是可行的。
二、成功的“问题解决”教学要受到许多方面因素的影响，诸如教师、学生、数学材料（问题）、教学方法等等。而在其中，可以说最重要的因素应数问题情境的设置了。因为适宜的问题情境能唤起学生强烈的求知欲，启发学生去进行积极的思考、探索，这才是关键，从而是否具有良好的问题情境在某种意义上就决定了“问题解决”教学的成败。那么什么样的问题才是“问题解决”教学所需要的呢？一般来说，这类问题必须具备以下几点要求：
第一，问题的思考性
正如匈牙利数学家波利亚所说的：“关于教学目标，我有一种老式的想法，即首先和主要的，是必须教会那些年青人去思考……”因而我们的问题首先就必须具有思考性，即这类问题应当要求解题人具有某种程度上的独立见解，判断力以及能动性和创造精神。具体地说，也就是不能成为那种鼻子底下就有现成法则的问题。因为这类问题只要机械地应用某个法则就可以做出来，而所说的法则又是刚刚讲过的或者讨论过的。可以说如果一堂课上只出现这类问题的话，那么它所培养的，只是学生思维的惰性。而事实上目前小学数学教材中练习部分的许多问题恰恰都属于这一类型，它们几乎无一例外地在问题结构以及解题思路上与例题有着惊人的相似，学生始终处在一个被动的吸收过程中，所有的思路都有现成规定的模式，更不谈他们会作出什么独立见解或能动的创造精神了。当然，这里所谓的思考性也应有个度，即必须与学生的实际水平相适合，问题的难易程度应处在学生的最近发展区域上，而并不是遥不可及的。
第二，问题的现实性。
所谓问题现实性，就是指问题的内容要与学生的实际生活有着直接的关联。因为一方面这可以使学生感到学习数学是一种有意义的活动——它可以用来解决实际生活中的许多问题，从而帮助学生认识数学的价值；另一方面，这也可以使学生在解决问题的过程中能够调动相关的生活经验，真正使数学的学习成为一个以已有知识和经验为基础的主动建构过程。国外在这方面就做得比较好，例如西德的《数的世界》课本里的计算问题有：到商店购买物品；到外地旅行计算路程，到邮局寄邮包计算邮费，计算汽车消耗的汽油，计算银行存款利息等。美国的联系实际的问题是一组一组出的，如一组题是废水处理，一组题是节约用水……让学生了解数学在这方面有哪些实际应用。又如日本讲求平均数，不是从应用题的角度而是从统计的角度讲，这就符合实际情况了。当然讲究数学问题的现实性，并不等于说我们应该让学生在课堂上来解决实际的问题。事实上未经处理的实际问题由于涉及过多的专家知识，往往对学生来讲有很大的困难，因而我们要慎重对待。
第三，方法的启示性
这类问题应具有一定的启示意义，也即应有利于学生掌握有关的数学知识，尤其是思想方法。具体地说，问题的解决不仅要给学生积累起相应的解题策略和经验，从而能有效地迁移到相关问题的解决中去，更重要的是这类问题的解决还应给予学生以一定的数学思想方法，或者说是方法方面的启示，而它们则能有效地体现在任何问题的解决中，并对问题的解决作出有益的指导。
我们可以看下面的这个问题：
求五边形的面积：可以说这个问题在某种程度上就具有一定的启示意义。因为它的解决除了能给学生积累起相应的求五边形面积的解题策略：即通过分割把求五边形的问题转化成求三角形和四边形面积的问题，更可贵的是它的解决事实上还给学生渗透了一定的“化归思想”——即将待解决的问题或未解决的问题，通过转化，或再转化，归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个已为人们所熟知的，具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决，象这类的数学思想方法才是数学教育的真谛，而我们的“问题”必须具备这样一个要求。
第四，问题的探索性
对问题的这一要求主要是涉及到这样一个事实，即当前我国能够进入大学深造的人数不过占同龄人数的2%，有98%以上的人在接受普通教育后，就走上了工作岗位，他们中的多数人，将终身告别数学，数学知识将会被忘掉，那么，数学教育留给他们的是什么呢？如果在他们身上体现不出数学给予的恩惠、力量与才智，就就是数学教育的失败与悲哀！社会要求数学做的，首先就是要使数学在这部分人身上起到应有的积极作用，使数学的思辩精神、探索才智在他们身上也能够长期、有效地发挥作用，因而我们的问题首先就必须具备探索性，即解题者不仅可以通过问题的解决获得相应的解题策略，还可以从中引发出许多新的问题，作出新的探索，事实上正如爱因斯坦所说：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力……”，从而我们的数学教育不仅要教会学生解决问题，更要帮助他们掌握提出问题的艺术，并不断探索下去。
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