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快速傅里叶变换的原理及其应用
摘要:
快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。　傅里叶变换的理论与方法在“数理方程”、“线性系统分析”、“信号处理、仿真”等很多学科领域都有着广泛应用,由于计算机只能处理有限长度的离散的序列,所以真正在计算机上运算的是一种离散傅里叶变换.　虽然傅里叶运算在各方面计算中有着重要的作用，但是它的计算过于复杂，大量的计算对于系统的运算负担过于庞大，使得一些对于耗电量少，运算速度慢的系统对其敬而远之，然而，快速傅里叶变换的产生，使得傅里叶变换大为简化，在不牺牲耗电量的条件下提高了系统的运算速度，增强了系统的综合能力，提高了运算速度，因此快速傅里叶变换在生产和生活中都有着非常重要的作用，对于学习掌握都有着非常大的意义。

关键词：快速傅氏变换；图像处理；matlab

前言： 
傅里叶变换在信号处理中具有十分重要的作用，但是基于离散时间的傅里叶变换具有很大的时间复杂度，根据傅里叶变换理论，对一个有限长度且长度为N的离散信号，做傅里叶变换的时间复杂度为，当N很大时，其实现的时间是相当惊人的（比如当N为时，其完成时间为
(为计算机的时钟周期） ），故其实现难度是相当大的，同时也严重制约了DFT在信号分析中的应用，故需要提出一种快速的且有效的算法来实现。  正是鉴于DFT极其复杂的时间复杂度，1965年..JWCooley和..JWTukey巧妙地利用 NW因子的周期性和对称性，提出了一个DFT的快速算法，即快速傅里叶变换（FFT），从 而使得DFT在信号处理中才得到真正的广泛应用。
傅立叶变化的原理；
（1）原理
正交级数的展开是其理论基础！将一个在时域收敛的函数展开成一系列不同频率谐波的叠加，从而达到解决周期函数问题的目的。在此基础上进行推广，从而可以对一个非周期函数进行时频变换。
从分析的角度看，他是用简单的函数去逼近（或代替）复杂函数，从几何的角度看，它是以一族正交函数为基向量，将函数空间进行正交分解，相应的系数即为坐标。从变幻的角度的看，他建立了周期函数与序列之间的对应关系；而从物理意义上看，他将信号分解为一些列的简谐波的复合，从而建立了频谱理论。
当然Fourier积分建立在傅氏积分基础上，一个函数除了要满足狄氏条件外，一般来说还要在积分域上绝对可积，才有古典意义下的傅氏变换。引入衰减因子e^(-st)，从而有了Laplace变换。
（2）计算方法
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。

这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为

即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
实例应用：
例一
平稳信号：
x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120*t)
利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：
clc
clear all
fs=100;N=128; %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/fs; %时间序列
x=2*sin(2*pi*20*t)+4*sin(2*pi*60*t)+8*cos(2*pi*90*t)+10*sin(2*pi*120*t); %信号
y=fft(x,N); %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y); %求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N; %频率序列
subplot(2,2,1),plot(t,x);
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');title('滤波前时域图');
subplot(2,2,2);
plot(f,mag);
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('滤波前频域图');
N1=11;
wc=0.5;
hd=fir1(N1,wc);
z=filter(hd,1,x);
subplot(2,2,3);
plot(t,z);
xlabel('时间/s');
ylabel('振幅');title('滤波后时域图');
subplot(2,2,4);
plot(f,abs(fft(z)));
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('滤波后频域图');

在matlab中运行后，实验结果如图：

例二：
（一）对原图像进行傅立叶变换，实验结果如图1：

图1
分析：图像显示了原图像及其傅立叶频谱。观察傅立叶谱中心对称，在此图像进行傅立叶变换的计算之前被乘以，以此增强了灰度级细节。
（二）输出彩色图像greens.jpg的傅立叶频谱，实验结果如图2：

图2
分析：图像显示了原图像和其彩色图像傅立叶频谱。可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）
（三）对彩色图像football.jpg进行二维DCT变换，实验结果如图3:

图3
分析：二维DCT变换后的频谱图亮点在左上角。
利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下：
%傅立叶变换Matlab图像的DFT
clc;
figure(1);
load imdemos saturn2;
imshow(saturn2);
title('原图像');
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
figure(2);
S=fftshift(fft2(saturn2));
imshow(log(abs(S)),[]);
title('原图像傅立叶频谱');
%彩色图像的傅立叶频谱
figure(1);
A=imread('greens.jpg');
B=rgb2gray(A);
imshow(B);
title('原图像');
S=fftshift(fft2(B));
figure(2);
imshow(log(abs(S)),[]);
title('彩色图像的傅立叶频谱');
%二维DCT变换
RGB=imread('football.jpg');
figure(1);
imshow(RGB);
title('彩色图像');
GRAY=rgb2gray(RGB);
figure(2);
imshow(GRAY);
title('灰色图像');
DCT=dct2(GRAY);
figure(3);
imshow(log(abs(DCT)),[]);
title('二维DCT变换');
例三：
利用Matlab语言编写的数字图像处理的例程如下:
clc
clear all
x=imread('C:\Users\kj\Desktop\1.jpg');
X=rgb2gray(x);
subplot(3,2,1);
imshow(X);
title('原图');
y=fft2(X);
Y=log(1+abs(y));
subplot(3,2,2);
imshow(Y,[]);
title('傅里叶变化图');
[m,n]=size(y);
for i=1:m
for j=1:n
if i>m/2-140 && i<m/2+140 && j>n/2-250 && j<n/2+250
y1(i,j)=y(i,j);
else
y1(i,j)=0;
end
end
end
subplot(3,2,3);
imshow(log(1+abs(y1)),[]);
title('对傅里叶变化后处理图');
z1=real(ifft2(y1));
Z1=uint8(z1);
subplot(3,2,4);
imshow(Z1);
title('对频率图处理之后的反变化图');
for i=1:m
for j=1:n
if i>m/2-140 && i<m/2+140 && j>n/2-250 && j<n/2+250
y2(i,j)=0;
else
y2(i,j)=y(i,j);
end
end
end
subplot(3,2,5);
imshow(log(1+abs(y2)),[]);
title('对傅里叶变化后处理图');
z2=real(ifft2(y2));
Z2=uint8(z2);
subplot(3,2,6);
imshow(Z2);
title('对频率图处理之后的反变化图');
在matlab中运行后，实验结果如图：
原图

例四：
Matlab源程序如下： 
clc 
clear all 
img=imread('Dolphin.jpg');
 subplot(2,2,1),imshow(img);
 title('原图'); 
f=rgb2gray(img); 
F=fft2(f); 
subplot(2,2,2),imshow(F);
title('傅里叶变换');
 %二维傅里叶变换 
FS=fftshift(F);%频率图 %频谱  S=log(1+abs(FS)); 
subplot(2,2,3);imshow(S,[])
 title('直接变换频谱图'); 
%二维傅里叶逆变换 
fr=real(ifft2(ifftshift(FS)));
%频域的图反变 
ret=im2uint8(mat2gray(fr));
%取其灰度图 
subplot(2,2,4),imshow(ret); 
title('逆傅里叶变换'); 
I=imread('logo.tif'); 
figure(2); 
imshow(I); 
DCT=dct2(I); 
figure(3); 
imshow(log(abs(DCT)),[ ]);

在matlab中运行后，实验结果如图：

总结：
因各个科学技术领域广泛的使用了FFT技术，它大大推动了信号处理技术的进步，现已成为数字信号处理强有力的工具，本论文将比较全面的叙述快速傅里叶变换算法原理、特点，并完成了基于MATLAB的实现。
参考文献：
【1】曾光奇 工程测试技术 华中科技大学出版社