多面体多面体与球专题与球专题(教师版).doc

球专题练习
一、高考题回放
1．【2011全国课标卷，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD的体积为_____________．
2．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 ．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
3．【2013全国课标卷I，理6】如图，有一个水平放置的
透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测
得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3
4．【2012全国课标卷，理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、巩固练习
1．【2013辽宁卷，理】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
3．【2014陕西卷，理5】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
4．已知四面体 的外接球的球心在上，且 平面， ，若四面体 的体积为 ，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
5．【2011重庆卷，理9】高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
6．正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，
则这个球的表面积是 ．

7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则这个三棱锥的外接球的体积为 ．
8．正四面体的外接球的半径为2，
过棱作该球的截面，则截面面积的最小值为 ．
9．已知三棱锥中， ，平面，其中，，，，，，四点均在球的表面上，则球的表面积为 ．
10．球是四面体的外接球，若，，则球的表面积为 ．
11．已知三棱柱，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为 ．
12．已知三棱柱的各顶点都在球面上，侧棱与底面垂直，， ，，则这个球的表面积为 ．
13．在半径为5的球面上有不同的四点，，，，若，则平面被球所截得图形的面积为 ．

多面体与球专题
一、高考题回放
1．【2011全国课标卷，理15】已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=，则棱锥O-ABCD的体积为_____________．
【答案】
【解析】矩形的对角线，于是矩形的外接圆的半径为，棱锥的高，所以，．
2．【2009全国课标卷，理15】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，
，则此球的表面积等于 ．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
【答案】
【解析】在中，，可得，由正弦定理，可得外接圆半径，设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为．
3．【2013全国课标卷I，理6】如图，有一个水平放置的
透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，
再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测
得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．cm3 B．cm3
C．cm3 D．cm3
【答案】A
【解析】设球的半径为，则由题知球被正方体上面截得的小圆的半径为4，
球心到截面圆的距离为，则，解得，∴球的体积为．
4．【2012全国课标卷，理11】已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】的外接圆的半径，点到面的距离，
为球的直径点到面的距离为，
此棱锥的体积为，
另：排除．
5．【2014全国大纲卷，理8】正四棱锥的顶点都在同一球面上．
若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝．设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．
6．【2015全国新课标II卷，理9】已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，
三棱锥的体积最大，设球的半径为，
此时，
球的表面积．
7．【2010全国课标卷，理12】已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，设点P到CD的距离为，则有，当直径通过AB与CD的中点时，，故．
二、巩固练习
1．【2013辽宁卷，理】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
图1­2
【解析】因为三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1经过球的球心，球的直径是其对角线的长，
因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，
所以球的半径为：．
2．【2014湖南卷，理7】一块石材表示的几何体的三视图
如图1­2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得
到的最大球的半径等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B　
【解析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则．
3．【2014陕西卷，理5】已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）
A． B．4π C．2π D．
【答案】D　
【解析】根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，
故，即得，所以该球的体积．
4．已知四面体 的外接球的球心在上，且 平面， ，若四面体 的体积为 ，则该球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示，由于四面体 的外接球
的球心在 上，则 为其外接球的一条直径，
因此 ，设球 的半径为，
在中， ，
 ，由于 为球上一点，则，且 平面，
所以，
所以球的表面积为．
5．【2011重庆卷，理9】高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意可知ABCD所在的圆是小圆，对角线长为 ，
四棱锥的高为，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球
面上，球心到小圆圆心的距离为，顶点S在球心距的垂
直平分的平面上（如图），而顶点S到球心O的距离为1，所以底
面ABCD的中心与顶点S之间的距离为：1．
6．正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，
则这个球的表面积是 ．
【答案】
【解析】如图所示：设正四面体的棱长等于a，球的半径等于r，
作AH垂直于平面BCD，H为垂足．
则，
故，可得．
在中，由勾股定理可得．
故球的表面积为：．

正视图
侧视图
俯视图
7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则这个三棱锥的外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】由三视图知几何体是有一个侧面
与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高
是的等腰直角三角形，与底面垂直的
侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为
2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方
体的外接球相同，其直径为，
半径为，∴三棱锥的外接球体积为．
8．正四面体的外接球的半径为2，过棱作该球的截面，则截面面积的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为正四面体的外接球，设正四面体的边长为，外接球的半径为，则，于是，过棱作该球的截面，当截面以为直径时面积最小，所以．
9．已知三棱锥中， ，平面，其中，，，，，，四点均在球的表面上，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】∵，平面，∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，∴球的直径是，
∴球的表面积是．
10．球是四面体的外接球，若，，则球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在四面体中，，四面体可以看成是分别以与，与，与为相对两个面对角线的长方体中四面体，该四面体的外接球就是该长方体的外接球，设外接球的半径为，
于是，∴球的表面积是．
11．已知三棱柱，底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为，则该三棱柱的体积为 ．
【答案】
【解析】根据球的体积计算公式，该球的半径是，正的外接圆的半径．设三棱柱的高为，根据题意，得，
故这个三棱柱的高是，其体积是．
12．已知三棱柱的各顶点都在球面上，侧棱与底面垂直，， ，，则这个球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在中，由余弦定理得，
设的外接圆的半径为，于是，
设外接球的半径为，则，于是球的表面积为．
13．在半径为5的球面上有不同的四点，，，，若，则平面被球所截得图形的面积为 ．
【答案】
【解析】过点A向面BCD作垂线，垂足为M，则M是外心，而外接球球心位于上，如图所示，设所在截面圆半径为r，，，
∴在中，，
∴，
在中，，
∴截面圆的面积为．
14．底面是同一个边长为的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为，设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是 ．
【答案】
【解析】

如图，底面为正三角形，为的中点，则，，，于是和即为二面角，，设直径平面，则点在上，且为的外心，也即重心，
所以，，，，，

．

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