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高中数学知识汇总 1.集合与常见逻辑用语集合与常见逻辑用语集合概念一组对象全体. 。元素特点: 互异性、无序性、确定性。关系子集。 ; 个元素集合子集数。真子集相等运算交集并集补集常见逻辑用语命题概念能够判定真假语句。四种命题原命题: 若, 则原命题与逆命题, 否命题与逆否命题互逆; 原命题是否命题、逆命题与逆否命题互否; 原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。互为逆否命题等价。逆命题: 若, 则否命题: 若, 则逆否命题: 若, 则充要条件充足条件 , 是充足条件若命题对应集合, 命题对应集合, 则等价于, 等价于。必需条件 , 是必需条件充要条件 , 互为充要条件逻辑连接词或命题 , 有一为真即为真, 均为假时才为假。类比集合并且命题 , 均为真时才为真, 有一为假即为假。类比集合交非命题和为一真一假两个互为对立命题。类比集合补量词全称量词 , 含全称量词命题叫全称命题, 其否定为特称命题。存在量词 , 含存在量词命题叫特称命题, 其否定为全称命题。 2.复数复数概念虚数单位要求: ; 实数能够与它进行四则运算, 而且运算时原有加、乘运算律仍成立。。复数形如数叫做复数, 叫做复数实部, 叫做复数虚部。时叫虚数、时叫纯虚数。复数相等共轭复数实部相等, 虚部互为相反数。即, 则。运算加减法 , 。乘法 , 除法几何意义复数复平面内点向量向量模叫做复数模, 大多数复数问题, 关键是把复数化成标准类型来处理, 若是分数形式z=, 则首先要进行分母实数化（分母乘以自己共轭复数）, 在进行四则运算时, 能够把i看作成一个独立字母, 根据实数四则运算律直接进行运算, 并随时把i2换成-1 3.平面向量平面向量关键概念向量现有大小又有方向量, 表示向量有向线段长度叫做该向量模。向量长度为, 方向任意向量。【与任一非零向量共线】平行向量方向相同或者相反两个非零向量叫做平行向量, 也叫共线向量。向量夹角起点放在一点两向量所成角, 范围是。夹角记为。投影 , 叫做在方向上投影。【注意: 投影是数量】关键法则定理基础定理不共线, 存在唯一实数对, 使。若为轴上单位正交向量, 就是向量坐标。通常表示坐标表示（向量坐标上下文了解）共线条件（共线存在唯一实数, 垂直条件。。多种运算加法运算法则平行四边形法则、三角形法则。。算律 , 与加法运算有一样坐标表示。减法运算法则三角形法则。分解。。数乘运算概念为向量, 与方向相同, 与方向相反, 。。算律 , , 与数乘运算有一样坐标表示。数量积运算概念。关键性质 , 。 , 算律 , , 。与上面数量积、数乘等含有一样坐标表示方法。圆方程圆心半径标准方程 x 2+ y 2= r 2 （0, 0） r (x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = r 2 （a, b） r 通常方程 x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 4.算法、推理与证实算法逻辑结构次序结构依次实施程序框图, 是一个用程序框、步骤线及文字说明来表示算法图形。条件结构依据条件是否成立有不一样流向循环结构根据一定条件反复实施一些步骤基础语句输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。推理与证实推理合情推理归纳推理由部分含有某种特征推断整体含有某种特征推理。类比推理由一类对象含有特征推断与之相同对象某种特征推理。演绎推理依据通常性真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真推理．数学证实直接证实综正当由已知导向结论证实方法。分析法由结论反推已知证实方法。间接证实关键是反证法, 反设结论、导出矛盾证实方法。数学归纳法数学归纳法是以自然数归纳公理做为它理论基础, 所以, 数学归纳法适用范围仅限于与自然数相关命题。分两步: 首先证实当n取第一个值n0（比如n0=1）时结论正确; 然后假设当n=k时结论正确, 证实当n=k+1时结论也正确． 5.不等式、线性计划不等式性质（1）; 两个实数次序关系: （2）; （3）; （4）; 充要条件是。（5）; （6）一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应一元二次方程实数根（假如有实数根）, 再结合对应函数图象确定其大于零或者小于零区间, 在含有字母参数不等式中还要依据参数不一样取值确定方程根大小以及函数图象开口方向, 从而确定不等式解集．基础不等式（）（）; （）; ≤≤≤（）; 。二元一次不等式组二元一次不等式解集是平面直角坐标系中表示某一侧全部点组成平面区域。二元一次不等式组解集是指各个不等式解集所表示平面区域公共部分。 6.计数原理与二项式定理排列组合二项式定理基础原理分类加法计数原理完成一件事有类不一样方案, 在第类方案中有种不一样方法, 在第类方案中有种不一样方法, …, 在第类方案中有种不一样方法．那么完成这件事共有种不一样方法．分步乘法计数原理完成一件事情, 需要分成个步骤, 做第步有种不一样方法, 做第步有种不一样方法……做第步有种不一样方法.那么完成这件事共有种不一样方法. 排列定义从个不一样元素中取出个元素, 根据一定次序排成一列, 叫做从从个不一样元素中取出个元素一个排列, 全部不一样排列个数, 叫做从个不一样元素中取出个元素排列数, 用符号表示。排列数公式 , 要求．组合定义从个不一样元素中, 任意取出个元素并成一组叫做从个不一样元素中取出个元素组合, 全部不一样组合个数, 叫做从个不一样元素中取出个元素组合数, 用符号表示。组合数公式 , ．性质 (); ()．二项式定理定理（叫做二项式系数）通项公式（其中）系数和公式 ; ; 7.函数﹑基础初等函数I图像与性质基础初等函数Ⅰ 指数函数单调递减, 时, 时函数图象过定点单调递增, 时, 时对数函数在单调递减, 时, 时函数图象过定点在单调递增, 时, 时幂函数在在单调递增, 图象过坐标原点函数图象过定点在在单调递减 8. 函数与方程﹑函数模型及其应用函数零点概念方程实数根。方程有实数根函数图象与轴有交点函数有零点．存在定理图象在上连续不停, 若, 则在内存在零点。二分法方法对于在区间上连续不停且函数, 经过不停把函数零点所在区间一分为二, 使区间两个端点逐步迫近零点, 进而得到零点近似值方法叫做二分法．步骤第一步确定区间, 验证, 给定正确度。第二步求区间中点; 第三步计算: （1）若, 则就是函数零点; （2）若, 则令（此时零点）; （3）若, 则令（此时零点）．（4）判定是否达成正确度即若, 则得到零点近似值（或）; 不然反复（2）～（4）．函数建模概念把实际问表示数量改变规律用函数关系刻画出来方法叫作函数建模。解题步骤阅读审题分析出已知什么, 求什么, 从中提炼出对应数学问题。数学建模搞清题目中已知条件和数量关系, 建立函数关系式。解答模型利用数学方法得出函数模型数学结果。解释模型将数学问题结果转译成实际问题作出答案。 9. 导数及其应用导数及其应用概念与几何意义概念函数在点处导数。几何意义为曲线在点处切线斜率, 切线方程是。运算基础公式（为常数）; ; ; （, 且）; （, 且）． ; 。运算法则 ; , ; , ．复合函数求导法则。研究函数性质单调性各个区间为单调递增区间; 区间为单调递减区间。极值且在周围左负（正）右正（负）为极小（大）值点。最值上连续函数一定存在最大值和最小值, 最大值和区间端点值和区间内极大值中最大者, 最小值和区间端点和区间内极小值中最小者。定积分概念在区间上是连续, 用分点将区间等分成个小区间, 在每个小区间上任取一点（）, 。基础定理假如是上连续函数, 而且有, 则．性质（为常数）; ; ．简单应用区间上连续曲线, 和直线所围成曲边梯形面积。 10. 三角函数图像与性质三角函数图象与性质基础问题定义任意角终边与单位圆交于点时, ．同角三角函数关系。诱导公式 , , , “奇变偶不变, 符号看象限”．三角函数性质与图象值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴（）增减奇函数（）增减偶函数 () 增奇函数无图象变换平移变换上下平移图象平移得图象, 向上, 向下。左右平移图象平移得图象, 向左, 向右。伸缩变换轴方向图象各点把横坐标变为原来倍得图象。轴方向图象各点纵坐标变为原来倍得图象。对称变换中心对称图象相关点对称图象解析式是轴对称图象相关直线对称图象解析式是。 11. 三角恒等变换与解三角形变换公式正弦和差角公式倍角公式余弦正切三角恒等变换与解三角形正弦定理定理。射影定理: 变形（外接圆半径）。类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。余弦定理定理。变形等。类型两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。面积公式基础公式。导出公式（外接圆半径）; （内切圆半径）。实际应用基础思想把要求解量归入到可解三角形中。在实际问题中, 往往包含到多个三角形, 只要依据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中。常见术语仰角视线在水平线以上时, 在视线所在垂直平面内, 视线与水平线所成角。俯角视线在水平线以下时, 在视线所在垂直平面内, 视线与水平线所成角。方向角方向角通常是指以观察者位置为中心, 将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成角（通常是锐角, 如北偏西30°）。方位角某点指北方向线起, 依顺时针方向到目标方向线之间水平夹角。 12. 等差数列﹑等比数列数列、等差数列等比数列通常数列通项公式数列中项用一个公式表示, 前项和简单递推数列解法累加法型处理递推数列问题基础思想是“转化”, 即转化为两类基础数列----等差数列、等比数列求解。累乘法型转化法待定系数法。比较系数得出, 转化为等比数列。等差数列概念满足（常数）, 递增、递减、常数数列。通项公式。。前项和公式为等差数列。等比数列概念满足（常数）, 单调性由正负, 范围确定。通项公式 , 前项和公式公比不等于时, 成等比数列。 13. 数列求和及其数列简单应用数列求和及数列简单应用常见求和公式等差数列 , 尤其。等比数列 , 尤其。自然数平方和。自然数立方和。常见求和方法公式法如。常见裂项方法: ; ; ; 。分组法如, 。裂项法如。错位相减法如。倒序相加法如。数列模型等差数列基础特征是均匀增加或者降低。等比数列基础特征是指数增加, 常见是增产率问题、存款复利问题。一个简单递推数列基础特征是指数增加同时又均匀降低。如年收入增加率为, 每年年底要拿出（常数）作为下年度开销, 即数列满足。注: 表中均为正整数 14.空间几何体（其中为半径、为高、为母线等）表面积和体积表面积体积棱柱表面积即空间几何体暴露在外全部面面积之和。棱锥棱台圆柱圆锥圆台球 15.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）: 空间点、直线、平面位置关系基础公理公理1 。用途判定直线在平面内。公理2 不共线确定平面。确定平面。确定两平面交线。公理3 两直线平行。公理4 ∥, ∥∥ 位置关系线线共面和异面。共面为相交和平行。不一样在任何一个平面内两条直线称为异面直线。点线面 ; 。线面。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。面面 ∥, 。分别对应两平面无公共点、两平面有没有数个公共点。平行关系 …… 判定定理性质定理线面线线平行线面平行 ∥, , ∥ 线面平行线线平行面面线面平行面面平行面面平行线线平行垂直关系线面线线垂直线面垂直 ∥ 线线垂直线线平行面面线面垂直面面垂直面面垂直线面垂直空间角 …… 定义特殊情况范围线线角把两异面直线平移到相交时两相交直线所成角。两直线平行时角为所成角为时称两直线垂直线面角平面一条斜线与其在该平面内射影所成角。线面平行或线在平面内时线面角为线面垂直时线面角为二面角在二面角棱上一定向两个半平面内作垂直棱垂线, 这两条射线所成角。两个半平面重合时为两个半平面成为一个平面时为当二面角为时称两个平面垂直空间距离点面距从平面外一点作平面垂线, 该点与垂足之间距离。线面距和面面距转化为点面距。线面距直线与平面平行时, 直线上任一点到平面距离。面面距两个平面与平面平行时, 一个平面内任一点到另一个平面距离。 16. 空间向量与立体几何空间向量与立体几何空间向量关键概念共面向量一组向量在一个平面内或者经过平移能够在同一个平面内。空间基底空间任何三个不共面向量都可做空间一个基底。基础定理共线定理（共线存在唯一实数, 。共面定理与、（不共线）共面存在实数对, 使．基础定理不共面, 空间任意向量存在唯一, 使。立体几何中向量方法线面标志方向向量所在直线与已知直线平行或者重合非零向量叫做直线方向向量。法向量所在直线与已知平面垂直非零向量叫做平面法向量。位置关系线线平行方向向量共线。线面平行判定定理; 直线方向向量与平面法向量垂直; 使用共面向量定理。面面平行判定定理; 两个平面法向量平行。线线垂直两直线方向向量垂直。线面垂直判定定理; 直线方向向量与平面法向量平行。面面垂直判定定理; 两个平面法向量垂直。空间角线线角两直线方向向量为, 。线面角直线方向向量为, 平面法向量为, 。二面角两平面法向量分别为和, 则。空间距离点线距直线方向向量为, 直线上任一点为, 点到直线距离。两平行线距离转化为点线距。点面距平面法向量为, 平面内任一点为, 点到平面距离。线面距、面面距转化为点面距。 17.直线与圆方程直线与圆方程直线与方程概念倾斜角轴正向与直线向上方向所成角, 直线与轴平行或重合时倾斜角为斜率倾斜角为, 斜率（）, 在直线上。直线方程点斜式在轴截距为时。两点式在轴截距分别为时。通常式（）, 时斜率, 纵截距。位置关系平行当不重合两条直线和斜率存在时, ; 假如不重合直线和斜率都不存在, 那么它们都与轴垂直, 则//．垂直当两条直线和斜率存在时, ; 若两条直线中一条斜率不存在, 则另一条斜率为时, 它们垂直．交点两直线交点就是由两直线方程组组成方程组解为坐标点。距离公式点点距两点之间距离。点线距点到直线距离。线线距到距离．圆与方程圆定义平面内到定点距离等于定长点轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。标准方程圆心坐标, 半径, 方程。标准方程展开可得通常方程、通常方程配方可得标准方程。通常方程中圆心坐标为, 半径。通常方程 ( 其中) …… …… 相交相切相离直线与圆代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解几何法圆与圆代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解几何法或或【注: 标准依据上下文了解为圆心到直线距离与两圆圆心距】 18.圆锥曲线定义、方程与性质圆锥曲线定义、方程与性质定义标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆平面内与两个定点, 距离之和等于常数（大于）点轨迹叫做椭圆．【, 】轴轴坐标原点椭圆中双曲线中双曲线平面内与两个定点, 距离之差绝对值等于常数（小于）点轨迹叫做双曲线．【】抛物线平面内到一个定点和一条定直线（定点不在定直线）距离相等点轨迹是抛物线。【焦点到准线距离等于, , 焦参数】轴【离心率是曲线上点到焦点距离与到准线距离之比】轴注: 1.表中两种形式双曲线方程对应渐近线方程分别为, 。 2.表中四种形式抛物线方程对应准线方程分别是。 19. 圆锥曲线热点问题曲线方程与圆锥曲线热点问题曲线与方程概念曲线上点坐标都是方程解, 以解为坐标点都在曲线上, 则称曲线为方程曲线、方程为曲线方程。求法直接法把动点坐标直接代入已知几何条件方法。定义法已知曲线类型, 求出确定曲线系数得出曲线方程方法（待定系数法）。代入法动点随动点运动, 在曲线上, 以表示, 代入曲线方程得到动点轨迹方程方法。参数法把动点坐标用参数进行表示方法。此时, 消掉即得动点轨迹方程。交规法轨迹是由两动直线（或曲线）交点组成, 在两动直线（曲线）中消掉参数即得轨迹方程方法。热点问题定点含义含有可变参数曲线系所经过点中不随参数改变某个或某多个点。解法把曲线系方程根据参数集项, 使得方程对任意参数恒成立方程组解即为曲线系恒过定点。定值含义不随其它量改变而发生数值发生改变量。解法建立这个量相关其它量关系式, 最终结果是与其它改变量无关。范围含义一个量改变时改变范围。解法建立这个量相关其它量函数关系式或者不等式, 求解这个函数改变范围或者解不等式。最值含义一个量在改变时最大值和最小值。解法建立这个量函数关系式, 求解这个函数最值。 20.概率概率定义假如事件在次试验中发生了次, 当试验次数很大时, 我们能够将发生频率作为事件发生概率近似值, 即。事件关系基础关系 ①包含关系; ②相等关系; ③和事件; ④积事件. 类比集合关系。互斥事件事件和事件在任何一次试验中不会同时发生对立事件事件和事件, 在任何一次试验中有且只有一个发生。性质基础性质 , , 。互斥事件事件互斥, 则。对立事件事件与它对立事件概率满足. 古典概型特征基础事件发生等可能性和基础事件个数有限性计算公式 , 基础事件个数、事件所包含基础事件个数。几何概型特征基础事件个数无限性每个基础事件发生等可能性。计算公式 21.离散型变量及其分布离散型变量及其分布变量及其分布列概念伴随试验结果改变而改变量叫做变量, 全部取值能够一一列出叫做离散型变量。分布列离散型变量全部取值及取值概率列成表格。性质（1）; （2）。事件独立性条件概率概念: 事件发生条件下, 事件发生概率, 。性质: ．互斥, ．独立事件事件与事件满足, 事件与事件相互独立。次独立反复试验每次试验中事件发生概率为, 在次独立反复试验中, 事件恰好发生次概率为。经典分布超几何分布 , , 其中, 且, 且．＂二项分布分布列为: , 。数学期望、方差【时为两点分布】正态分布图象称为正态密度曲线, 变量满足, 则称分布为正态分布．正态密度曲线特点。数字特征数学期望方差和标准差方差: , 标准差: 22. 统计与统计案例统计与统计案例统计抽样简单抽样从总体中逐一抽取且不放回抽取样本方法。等概率抽样。分层抽样将总体分层, 根据百分比从各层中独立抽取样本方法。系统抽样将总体均匀分段, 每段抽取一个样本方法。样本估量总体频率分布在样本中某个（范围）数据在总体中占有百分比成为这个（范围）数据频率, 使用频率分布表、频率分布直方图表示样本数据频率分布。茎叶图也反应样本数据分布。统计基础思想是以样本分布估量总体分布。即以样本频率分布估量总体频率分布, 以样本特征数估量总体特征数。众数样本数据中出现次数最多数据。样本特征数中位数从小到大排序后, 中间数或者中间两数平均数。平均数平均数是。方差平均数为, 。标准差统计案例回归分析相关关系两个变量之间一个不确定性关系, 有正相关和负相关。最小二乘法最小时得到回归直线方程方法。独立性检验对于值域分别是和分类变量和, 列出其样本频数列联表, 经过计算卡方统计量判定两个分类变量是否相关方法。 23. 函数与方程思想,数学结合思想函数与方程思想、数形结合思想函数与方程思想函数思想函数思想实质是抛开所研究对象非数学特征, 用联络和改变见解提出数学对象, 抽象其数学特征, 建立各变量之间固有函数关系, 经过函数形式, 利用函数相关性质, 使问题得四处理．函数与方程思想在一定条件下是能够相互转化, 是相辅相成, 函数思想重在对问题进行动态研究, 方程思想则是在动中求静, 研究运动中等量关系．方程思想方程思想实质就是将所求量设成未知数, 用它表示问题中其她各量, 依据题中隐含等量关系, 列方程（组）, 经过解方程（组）或对方程（组）进行研究, 以求得问题处理．数形结合思想以形助数依据数与形之间对应关系, 经过把数转化为形, 经过对形研究处理数问题、或者取得处理数问题处理思绪处理数学问题思想。数形结合关键是研究“以形助数”, 这在解选择题、填空题中更显其优越, 要注意培养这种思想意识, 做到心中有图, 见数想图, 以开拓自己思维视野. 以数助形依据数与形之间对应关系, 经过把形转化为数, 经过数计算、式子变换等处理数学问题数学方法。 24. 分类与整合思想,化归与转化思想分类与整合、化归与转化分类与整合分类思想解答数学问题, 根据问题不一样发展方向分别进行处理思想方法。分类与整合思想关键问题是“分”, 解题过程是“合—分—合”。整合思想把一个问题中各个处理部分, 基础合并、提炼得出整体结论思想方法。化归与转化化归思想依据熟知数学结论和已知掌握数学题目解法, 把数学问题化生疏为熟练、化困难为轻易、化整体为局部、化复杂为简单处理问题思想方法。化归转化思想实质是“化不能为可能”, 使用化归转化思想需要有数学知识和解题经验积累。转化思想依据熟知数学结论和已知掌握数学题目解法, 把数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单处理问题思想方法。 25.坐标系与参数方程坐标系与参数方程坐标系伸缩变换设点是平面直角坐标系中任意一点, 在变换作用下, 点对应到, 称为平面直角坐标系中坐标伸缩变换, 简称伸缩变换．直角坐标与极坐标互化把直角坐标系原点作为极点, 轴正半轴作为极轴, 并在两坐标系中取相同长度单位, 设是平面内任意一点, 它直角坐标是, 极坐标是, 则且　曲线极坐标方程在极坐标系中, 假如平面曲线上任意一点极坐标最少有一个满足方程, 而且坐标适合点都在曲线上, 那么方程就叫做曲线极坐标方程．参数方程概念在平面直角坐标中, 假如曲线上任一点坐标, 都是某个变数函数反过来, 对于每个许可值, 由函数式所确定点都在曲线上, 那么方程叫做曲线参数方程, 联络变数变数是参变数, 简称参数．参数方程化为一般方程 ①代入法: 利用解方程技巧求出参数t, 然后代入消去参数; 化参数方程为一般方程为: 在消参过程中注意变量、取值范围一致性, 必需依据参数取值范围, 确定和值域得、取值范围． ②三角法: 利用三角恒等式消去参数; ③整体消元法: 依据参数方程本身结构特征, 从整体上消去．常见曲线一般方程与参数方程一般方程参数方程直线过点倾斜角为或者（为参数）圆（为参数）椭圆（为参数）双曲线（为参数）抛物线（为参数） 26. 不等式选讲不等式选讲绝对值不等式解法或。或。 ; 。依据绝对值意义结合数轴直观求解。零点分区去绝对值, 转化为三个不等式组求解。结构函数利用函数图象求解。三角不等式 ; 。关键不等式均值不等式。柯西不等式二维形式 , 等号当且仅当初成立。向量形式是两个向量, 则, 当且仅当是零向量或存在实数, 使时, 等号成立。通常形式等号当且仅当或时成立（为常数, ）。排序不等式设为两组实数, 是任意排列, 则, 当且仅当或时反序和等于次序和。证实方法比较法作差和作商比较综正当依据已知条件、不等式性质、基础不等式, 经过逻辑推理导出结论分析法执果索因证实方法反证法反设结论, 导出矛盾放缩法经过把不等式中部分值放大或缩小证实方法数学归纳法证实与正整数相关不等式。 27.二次函数图象、一元二次方程根、一元二次不等式解集间关系: 判别式二次函数图象一元二次方程根有两个相异实数根有两个相等实数根没有实数根一元二次不等式解集 28.三角函数图象与性质: 函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域 R R {x| x≠+kπ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间[-+2kπ,+2kπ] 减区间[+2kπ, +2kπ] 增区间[-π+2kπ, 2kπ] 减区间[2kπ,π+2kπ] ( k∈Z ) 增区间 (-+kπ,+kπ) ( k∈Z ) 对称轴 x = + kπ( k∈Z ) x = kπ ( k∈Z ) 无对称中心 ( kπ,0 ) ( k∈Z ) (+ kπ,0 )( k∈Z ) ( k,0 ) ( k∈Z )

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