资源描述
标准差（Standard Deviation） , 也称均方差（mean square error）, 是各数据偏离平均数距离平均数, 它是离均差平方和平均后方根, 用S（σ）表示。标准差是方差算术平方根。标准差能反应一个数据集离散程度。平均数相同, 标准差未必相同。
标准差也被称为标准偏差, 或者试验标准差, 公式以下两式:
或
即:
如是总体, 标准差公式根号内除以n
如是样本, 标准差公式根号内除以（n-1)
因为我们大量接触是样本, 所以普遍使用根号内除以（n-1)
公式意义
全部数减去其平均值平方和, 所得结果除以该组数之个数（或个数减一), 再把所得值开根号, 所得之数就是这组数据标准差。
标准差越高,表示试验数据越离散,也就是说越不正确; 反之,标准差越低,代表试验数据越正确
简单来说, 标准差是一组数据平均值分散程度一个度量。一个较大标准差, 代表大部分数值和其平均值之间差异较大; 一个较小标准差, 代表这些数值较靠近平均值。
比如, 两组数集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 , 但第二个集合含有较小标准差。
标准差能够看成不确定性一个测量。比如在物理科学中, 做反复性测量时, 测量数值集合标准差代表这些测量正确度。当要决定测量值是否符合估计值, 测量值标准差占有决定性关键角色: 假如测量平均值与估计值相差太远（同时与标准差数值做比较）, 则认为测量值与估计值相互矛盾。这很轻易了解, 因为假如测量值都落在一定数值范围之外, 能够合理推论估计值是否正确。
标准差应用于投资上, 可作为量度回报稳定性指标。标准差数值越大, 代表回报远离过去平均数值, 回报较不稳定故风险越高。相反, 标准差数值越细, 代表回报较为稳定, 风险亦较小。
比如, A、 B两组各有6位学生参与同一次语文测验, A组分数为95、 85、 75、 65、 55、 45, B组分数为73、 72、 71、 69、 68、 67。这两组平均数都是70, 但A组标准差为17.07分, B组标准差为2.37分（此数据时在R统计软件中运行取得）, 说明A组学生之间差距要比B组学生之间差距大得多。
求证下列公式:
由题意可知, 求证下列式子即可:
假设xi=+ai, 现有xi-=ai,
即求证下列式子即可:
因为:
所以:
所以:
所以:
设X是一个变量, 若E{[X-E(X)]^2}存在, 则称E{[X-E(X)]^2}为X方差, 记为D(X)或DX。 即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差, 而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据离散程度统计量。
方差刻画了变量取值对于其数学期望离散程度。 若X取值比较集中, 则方差D(X)较小; 若X取值比较分散, 则方差D(X)较大。 所以, D（X）是刻画X取值分散程度一个量, 它是衡量X取值分散程度一个尺度。
方差计算
由定义知, 方差是变量 X 函数 g(X)=[X-E(X)]^2 数学期望。即:
由方差定义能够得到以下常见计算公式: D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 证实: D(X)=E[X-E(X)]^2 =E{X^2-2XE(X)+[E(X)]^2} =E(X^2)-2[E(X)]^2+[E(X)]^2 =E(X^2)-[E(X)]^2 方差其实就是标准差平方。
方差多个关键性质
（1）设c是常数, 则D(c)=0。 （2）设X是变量, c是常数, 则有D(cX)=(c^2)D(X)。 （3）设 X 与 Y 是两个变量, 则 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 尤其, 当X, Y是两个相互独立变量, 上式中右边第三项为0（常见协方差）, 则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质能够推广到有限多个相互独立变量之和情况. （4）D(X)=0充足必需条件是X以概率为1取常数值c, 即P{X=c}=1, 其中E(X)=c。
常见变量期望和方差
设变量X。 X服从(0—1)分布, 则E(X)=p D(X)=p(1-p) X服从泊松分布, 即X~ π(λ),则 E(X)= λ, D(X)= λ X服从均匀分布, 即X~U(a, b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12 X服从指数分布, 即X~e(λ), E(X)= λ^(-1), D(X)= λ^(-2) X服从二项分布, 即X~B(n,p), 则E(x)=np, D(X)=np(1-p) X 服从正态分布, 即X~N(μ,σ^2), 则E(x)=μ, D(X)=σ^2 X 服从标准正态分布, 即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1
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