高中数学绝招.docx

高中数学核心知识手册
一、集合与常用逻辑用语
xÎ A, xÏ A。
概念 一组对象的全体：
元素特点：互异性、无序性、确定性。
xÎ A É xeB Û A Í B 。
子集
Æ
Í A;
xÎ A É xÎ B,Î B,x0 Ï A Û A Ì B
A Í B,B Í C Þ A Í C
n 个元素集合子集数 2n 。
c (AU B) = (C A) I(C B）
真子集
关系
集
合
相等
交集
A Í B,B Í A Û A Í B
AI B = {x | xÎ A，且xÎB}
u
u
u
= {
Î ，或 Î }
A B x | x A
x B
c (AI B) = (C A) U(C B）
运算 开集
补集
U
u
u
u
c (C U A) = A
Cu A x | x U x A
=
{
Î 且 Î }
u
u
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
集合
自然数集
正整数集 整集数
有理数集 实数集
常见
数集
N
N+或N·
Z
Q
R
符号
概念
能够判断真假的语句。
原命题：若
p ，则 q
原命题与逆命题，否命题与逆否命题互
逆；原命题与否命题，逆命题与逆否命
题互否；原命题与逆否命题，否命题与
逆命题互为逆否。互为逆否的命题等价。
逆命题：若 ，则
q
p
命题
四种命题
否命题：若 - p ，则 -q
常
用
逻
辑
用
语
题：若 q ，则 p
-
-
充分条件
必要条
是
q 的充分条件
若命题 p 对应集合 A ，命题 q 对应集合
充要
条件
p 的必要条件
B
，
则
p Þ q
等价于
A Í B, p Û q
等
p,q 互为充要条件
充要条
价于 A B
=
q, p,q 有一为真即为真， p,q 圴假时才为假。
p Ù q, p,q 均为真时才为真， p,q 有一为假即为假。
逻辑 或命题
连接 且命题
类比集合的并
类比集合的交
类比集合的补
-
p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题。
词
非命题
全称量词
存在量词
" ，含全称量词的命词叫全称命题，其否定为特称命题。
$，含存在量词的命词叫特称命题，其否定为全称命题。
量词
二、复数
规定i2 = -1：实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍
成立。
虚数单位
复数
复
数
概念
形如
a +bi(a,bÎR) 的数叫做复数， a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部，
b ¹ 0 时叫做虚数， a = 0,b ¹ 0 的时叫纯虚数。

a +bi = c + di(a,b,c,d ÎR) Û a = c,b = d
复数相等
共轭复数 实部相等，虚部互为相反数，即 z = a + bi ，则 z = a -bi
(a +bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i,(a,b,c,d ÎR)
加减法
乘法
(a +bi)(c + di) = (ac -bd) + (bc +bd) + (bc + ad)i,(a,b,c,d ÎR)
运算
ac +bd bc - da
(a +bi) ¸(c + di) =
+
i(c + di ¹ 0,a,b,c,d ÎR)
除法
c
2
+ d
复数z = a +bi¬¾
uuur uuur
2
c
2
+ d
2
——
¾¾
一对
厅®复平面内的点Z (a,b)
几何
意义
¬
¾
——
¾
一对¾
厅®向量OZ向量OZ的模叫做复数的模，z = a
2
+ b
2
a +bi
c + di
大多数复数问题，主要是把复数化成标准的 z = a + bi 类型来处理，若是分数形成 z =
，则首先要进行
分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独立的字母，按照实数的
四则运算律直接进行运算，并随时把i-2 换成 -1。
三、算法、推理与证明
顺序结构
条件结构
循环结构
依次执行
程序框图，是一种用程序框、
流程线及文字说明来表示算
法的图形。
逻辑
结构
«
根据条件是否成立有同的流向
按照一定条件反应执行某些步骤
算
法
基本
语句
输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。
理
由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。
由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推理。
一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性倒是为真的推理。
由已知导向结论的证明方法
合情推理
演绎
推理
推
理
与
证
明
直接证
数学
证明
析法
由结论反推已知的证明方法
间接证明
主要是反证法、反设结论、导出矛盾的证明方法
数学归纳法是以自然数的归纳公理估秋它的理论基础的。因此，数学归纳法的适用范围仅限
数学
归纳
法
于自然数有关的命题，分两步：首先证明当 n 取第一个值 n （例如 n =1）时结论正确；然
0
0
后假设当 n = k(k Î N _ k ³ n0) 时结论正确，证明当 n = k +1时结论也正确。
四、平面向量
平 重
面 要
向 概
量 念
向量
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。
r
r
0
0
长度为 0，方向任意的向量。【 与任一非零向共线】
向
量
平行向 方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

量
向量夹
角
r
r
r r
起点放在一点的两向量所成的角，范围是 0,p ， a,b 的夹角记为＜a,b＞。
[
]
r
＜
r
r
r
r
a,b＞=q，b cosq 叫做b 在 a 方向上的投影。【注意：投影是数量】。
投影
u
r uur ur uur ur uur
r
e ,e 共线，存在唯一的实数对 (l,m) ，使 a = le + me 。若e ,e 为 x, y 轴上的单位正交
1
2
1
2
1
2
基本定
理
r
重
要
法
则
定
理
向量， (l,m) 就是向量 a 的坐标。
一般表示
坐标表示
共线条 r r r
r
r
r
(x , y ) = l(x , y ) Û x , y = x , y
a,b(b ¹ 0共线 Û 存在唯一实数l) ， a = lb
1
1
2
2
1
2
2
1
件
r
r
r r
垂直条
件
x y + x y = 0
a ^ b Û a·b=0
1
1
2
2
r
r
r r
a +b = (x + x , y + y )
法则
算律
法则
分解
a +b
的平行四边形法则、三角形法则
1
2
1
2
加法运
算
r r r r r r
r
r r
a +b = b + a,(a +b)+ c = (b + c)
与加法运算有同样的坐标表示。
r
r
r r
a -b
的三角形法则。
a -b = (x - x , y - y )
1
2
1
2
减法运
算
MN = ON -OM .
MN = (x - x , y - y )
N
M
N
M
r
r
l
向量， l＞0与a 方向相同。
r
各
种
运
算
la = (lx,l y)。
概念
r
r
相反， la = l a 。
数乘运
算
r
r
r
r
(lm)a,(l + m)a = la + ma,
算律
概念
与数乘运算有同样的坐标表示。
r
r
r
l
(a +b) = la +lb
r
r
r r r r
r r
a·b = a ·b cos＜a,b＞
a·b = x y + y y 。
1
1
1
2
r
数量积
运算
a = x2 + y2
r
r r r r r r
主要
性质
2
a·a= a · a·b a ·b 。
£
x x + y y £ x
1
2
1
+ y1
2
· x2
2
+ y2
2
2
1
2
u
rr urr r r r r r r r
a·b = b·a·（a +b）·c = a·c +b·c
与上面的数量积、数乘等具有同样的坐标
表示方法。
算律
r
r
r
r
r r
(la)·b = a·(lb) = l(a·b)。
uuur
uuur
线段定比分点的向量
表达式
在△ABC 中，若点 D 是边 BC 上的点，且 BD = lDC(l ¹ -1) ，则向量

u
uur uuur
u
uur AB+lAC
AD=
，当 l=1时，变为中线向量。
1+l
平 面 内 三 点 A、B、C 共 线 的 充 要 条 件 是 ： 存 在 实 数 l，m，使
三点共线定理
uuur
uuur
uuur
OC = lOA+ mOB ，其中 l+m=1，O为平面内任意一点。
uuur uuur uuur
r
（
1）G 是△ABC 的重心 Û GA+ GB + GC = 0（其中 a,b,c是△ABC 三边），
1
且 S△GAB = S
= S△GAC = S
，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距
△ABC
3
△
GAC
u
uur 1 uuur uuur uuur
离之比为 2:1。O 为△ABC 所在平面内任一点，OG = (OA+OB +OC)，G
3
为重心。
2）若
（
O
为
△ABC
uuur uuur uuur
所
在
平
面
内
一
点
，
则
uuur uuur uuur
2
2
2
OA OB OC
=
=
Û
OA OB OC
=
=
Û
u
uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(OA+OB)-AB = (OB +OC) - BC = (OC +OA) -CA Û O 为△ABC 的 外
心。
u
uur uuur uuur uuur uuur uuur
（
3）若 H 为△ABC 所在平面内的一点，则 HA·HB = HB·HC = HC·HA Û H
是△ABC 的重心。
（4）若
点
I
为
△ABC
所
在
平
面
内
一
点
，
则
向量与三角形的
四心
r
uuur
uuur uuur
uuuur uuur
CA CB
ö uur æ
ö
æ
ö
AC ÷
ç BC BA ÷
u
uur = IB· uuur - uuur = IC × ç uuur - uuuur ÷= 0Û
÷
ç
÷
ç
÷
AC
BC BA
è CA CB ø
ø
è
ø
uur
uur
r
+
b·IB +c·IC = 0 Û 是△ABC 的内心。
（
u
5）△ABC
uur uuur uuur uuur uuur 1uuur
OH = OA+OB +OC,OG = GH
的
外
心
O
，
垂
心
H
，
重
心
G
，
则
2
uuur uuur
uuur
r
（
6）O 为△ABC 内一点，若 mOA+ nOB + pOC = 0
S△OAB·S△OBC ·S△OAC = p·m·n(m +n + p)
（7）角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角
两边对应成比例。逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段
与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条
角平分线。
【变式】

æ
ö
AB AC
+ ç
若存在常数 l ，满足 MG MA l
+
÷
(l ¹ 0)
，则点 G 可能通过
=
ç
AB AC ÷
è
ø
△
ABC 的内心。
若点 D 是△ABC 的底边 BC 上的中点，满足GD·GB=GD·GC ，则点G 可能通
过△ABC 的外心。
æ
ö
AB
AC
若存在常数是 l ，满足 MG MA l
=
+ ç
+
÷
(l ¹ 0)
，则
ç
AB ·sin B AC ·sinC ÷
è
ø
点G 可能通过△ABC 的填重心。
æ
ö
AB
AC
若存在常数l ，满足 MG MA l
=
+ ç
+
÷
(l ¹ 0)
，则
ç
AB ·cos B AC ·cosC ÷
è
ø
点G 可能通过△ABC 的垂心。
五、函数、基本初等函数 I 的图像与性质
本质：定义域内任何一个自变量对应唯的函数值。两函数相等只要定义域或对应法则相
概念
同即可。
解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集。
表示方法
）
对定义域内一个区间 I, x , x ÎI, x , x
2
1
2
1
函数 Û f (x )＜f (x )
1
2
是减函数 Û f (x )＜f (x )
1
2
函数
概念
及其
表示
( )
（
2） f x
是
增
（
减
）
函
数
偶函数在定义域关
于坐标点对称的区
间上具有相反的单
调性、奇偶数在定
义域关于坐标原点
圣水称的区间上具
有相同的单调性。
( )- ( )
f x1
f x2
Û
"x ¹ x ,
ñ0(á0)Û
1
2
x1 - x2
性质
单调性
"x1
Þ
¹
( - )é ( )- ( )ùñ (á )
x , x x ë f x f x û 0 0
2
1
2
1
2
( )³ (£ )的恒成立。
f x
0
0
(
)- ( )
f x2
x1 - x2
f x1
（
3）"
x ¹ x ,
ña (áa )
1
2
Þ
f x
( )³ (£ )恒成立。
a
a

对定义域内任意 x ， f (x)是偶函数
Û
Û
f x
( )= (- ) ( )是奇函数
x , f x
f
奇偶性
周期性
(- )³ - ( )，偶函数图象关于 y 轴对称，奇函
f x
f
x
数图象关于坐标原点对称。
对定义域内任意
x ，存在非零常数T, f (x +T )= f (x)
（
（
1）若 f (x + a)= f (x +b)，则 f (x)是周期函数，b - a 是它的一个周期
1
2）对于非零常数 T ，函数 y = f (x) 满足 f (x +T ) =
，则函数
(
)
f x
1
( )的一个周期为 2T .（3）若 f (x +T )= -
f x
。则函数 y = f (x)
y
=
(
)
f x
的一个周期为 2T 。
两个函数的图象对称性
（
1） y = f (x)与 y = - f (x)关于 x 轴对称。
换种说法： y = f (x)与 y = g (x)若满足 f (x) = -g (x)，即它们关于 y = 0
对称。
=
=
( )与 y = (-x)关于 y 轴对称。
f x
y
=
( )与 y = f (-x)若满足 f (x) = g (-x)，即它们关于 x = 0
f x
( )与 y = f (2a - x)关于直线 x = a 对称。
f x
y
（3）
换种说法： y = f (x)与 y = g (x)若满足 f (x) = g (2a - x)，即它们关于
x = a 对称。
( )与 y = 2a - f (x)关于直线 y = a 对称。
f x
y
=
（4）
换种说法： y = f (x)与 y = g (x)若满足 f (x)+ g (2a - x)= 2b ，即它们关
于点 y = a 对称。
( ) 与 y = 2b - f (2a - x)
f x
(a.b)
y
=
换 种 说 法 ：
（
y
5 ）
关 于 点
对 称 。
( ) y = g(x)
f x
f (x)+ g(2a - x)= 2b
(a.b)
=
与
若满足
，即他们关于点
对
称

a +b
=
( - )与 y = (x -b)关于直线 x =
f a x
对称。
y
（6）
2
单个函数的对称性
（
1）函数 y = f (x)满足 f (a + x)= f (b - x)时，函数 y = f (x)的图象关
a +b
于直线 x =
对称。
2
（
2）函数 y = f (x)满足 f (a + x)+ f (b - x)= c 时，函数 y = f (x)的图象
æ
è
a +b c ö
g ÷ 对称。
2 2 ø
关于点ç
b - a
（
3）函数 y = f (a + x)的图象与 y = f (b - x)的图象关于直线 x =
对
2
称。
对称性与周期性的关系
（
1）函数 y = f (x)满足
(
+ )= ( - ) ( + )= ( - ) ¹
f a x
= ( )
f b x (a b) ，则函数 y f x 是周
f a x , f b x
期函数，则 2b - 2a 是一个周期。
（
2）函数 y = f (x)
满足
f a + x)+ f (a - x)= c和f (b + x )+ f (b - x )=c (a ¹ b )
时，函数
æ
c ö æ c ö
周期函数。（函数 y = f (x)图象有两个对称中心çag ÷、çbg ÷
2 ø è 2 ø
è
函数 y = f (x)是周期函数，且对称中心距离两倍，是函数的一个周期），
函数 y = f (x)是以 2b - 2a 为周期的函数。
（
3）函数 y = f (x)有一个对称中心(a,c)和一个对称轴 x = b(a ¹ b)时，该
函数也是周期函数，且一个周期是 4(b - a)。
4）若定义 R 上的函数 f (x)的图象关于直线 x = a 和点(b,0)(a ¹ b)对称，
则 f (x)是周期函数， 4(b - a)是它的一个周期。
5 ）若函数 f (x)对定义域内的任意 x 满足： f (x + a)= f (x - a)，则 2a
为函数 f (x)的周期。（若 f (x)满足 f (x + a)= f (x - a)则 f (x)的图象以
（
（

x = a 为图象的对称轴，应注意二者的区别）。
（
6）已知函数 y = f (x) 对任意实数 x ，都有 f (a + x)+ f (x)= b ，则
( )是以 2a 为周期的函数
f x
y
=
m
n
( ñ
a
Î
且 ñ )；
n
a
m
0,m,n N
+,
n
1
1.正数的正分数指数幂：
a
=
m
1
2.正数的负分数指幂：
a
n
=
( ñ
a
0,m,n N
Î
+,
且 ñ )；
n
1
n
a
m
3.0 的正分数指数幂等于 0:0 的负分数指数幂没有意义。
4.幂的运算性质：
a
m
a
n
= am+n ,(am )n = ambn ，其中 añ0,bñ0,m,nÎ R .
5.对数的概念
a
b
= N (añ0,a ¹ 1) ， 那 么 数 b 叫 作 以 a 作 为 底 N 的 对 数 ， 记 作
如 果
b = logd N ，其中 a 叫作对数的底数， N 叫作真数。
.对数的性质与运算法则
6
基本
初等
函数
1
（1）对数的运算法则
指对幂的
añ0且 a ¹1， M ñ0, Nñ0 ，那么
运算规则 如果
M
N
①
log (MN ) = log M +log N ；②log
= log M -log N ；
a
a
a
a
a
a
n
M
a
= nloga M (nÎR)；④ loga M
性质
n
=
loga M
m
=
N ；② loga aN = N
3）对数的重要公式
loga N
loga B
①
换底公式： loga N =
1
②
loga b =
，推广 log b, log c, log d =log d
a
b
c
a
loga a
指数函数
0
áaá1
y = a2
函 数 图 象 过 定 点
（
0.1）
(
-¥,+¥)
单调递减， x 0时y 1, x 0时0áyá1
á
á
ñ

añ1
(
-¥,+¥)
单调递增， x 0时0áyá1, x 0时y 1
á
ñ
ñ
六、函数与方程、函数模型及其应用
方程 f (x)
的实数根。方程 f (x) = 0 的实数根 Û 函数 y(x) = 0的图象与 x 轴有交
概念
函数
零点
点
对
Û
有零点。
(
) ( )á
= ( ) (
)
上连续断，若 f a f b 0，则 y f x 在 a,b 内存在零点。
存在定理
方法
对于在区 [a,b]上连续断且 f (a) f (b)á0 的函数 y = f (x)。通过断把函数 f (x)的
零点所在的区间一分为二，使区间两个端点逐步逼近零点。进而得到零点近似值的方法
叫做二分法。
[
a,b ，验证 f a f b 0 ，确定精确度Î。
]
( )g ( )á
第一步
第二步
确定区间
二分
法
[
]
求区间
a,b 的中点 c 。
计算 f (c)：（1）若 f (c) = 0 ，则 c 就是函数的零点；
步骤
(
)g ( )á
=
Î(
)
（2）若
f a f c 0，则令b c （此时零点 x
a,c ）；
第三步
0
（
3）若 f (c)g f (b)á0 ，则令 a = c （此时零点 x0 Î(c,b)）；

（
4）判断是否达到精确度Î，即若 a -b áÎ，则得到零点近似值 a （或
b ）；否则重复（2）~（4）。
概念
把实际间表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。
阅读审题
数学建模
解答模型
解释模型
分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。
弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。
利用数学方法得出函数建模的数学结果。
函数
建模
解题步骤
将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。
七、导数及其应用
(
+V - ( ))
f x0
x
f x
f (x)
在点
x = x
处的导数
f (x ) lim
=
。
概念
概念
函数
0
0
Vx
与几
¢( )
( )
(
( ))
f x0 为 曲 线 y = f x 在 点 x , f x
0
处 的 切 线 率 。 切 线 方 程 是
0
何意
几何
意义
义
y - f x = f x x - x0 ，求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已
( )
¢( )(
)
0
0
知点在切线上求解。
C¢ = 0 （C 为常数）；（(xn )1 nxn-1 (neN )；
=
×
æ 1 ö
è
1
ç
÷ = -
x ø
；
x
2
(sin x)1 cos x, cos x)1 = -sin x ；
=
(
基本公
式
1
(
)
×
ln x =
。
x
( )
1
( )1
, az
e
z
=
e
z
=
a
z
lnaáañ0，且a 1) ；
¹
1
1
(linx)1
=
(log x)1
=
log e (a 0，且a 1)
ñ
¹
导
数
及
其
应
用
a
a
x
运算
é
f
f
f
1
1
(x)± g
1
(x ):
ë
( ) ( )
+
( ) ( )
1
é
( )
ù
1
=
1
( )
=
x g x f x g
g
g
x ,ëcf x û cf
x
运算
法则
é
(
(
1
( ) ( )
x g x -g1 x f x
( ) ( )
é
ù
1
( )
f
f
1
g
x
(g (x)¹ 0),ê
=
ú =
ê
)
2
( )
( )
2
( )
g x û
g x
ë g x û g x
ë
1
( ( ) ( ))
g x g
( ( ))
ù
y
=
é
=
f
1
1
x
。
复合函数求导法则
(x)ñ0的区别为单调递增区间； f
求函数的单调区间步骤：
(x)á0的区间为单调递增区间。
f
1
1
（
1）求 f (x)的定义域
研究
函数
性质
判断单
调性
( )
x
（2）求出
f
1
3）令 (x) = 0 ，求出其全部根，把全部的根在 x 轴上标出，穿针引线。
f
1
（
（
4）在定义域内，令 (x)ñ0，解出 x 的取值范围，得函数单调递增区间；令 f (x)á0，
f
1
1

解出 x 的取值范围，得函数单调递减区间。
（1）对于函数在某个区间上单调递增或单调递减的问题，转化为导函数在此区间上
已知单 恒为非负或非正的问题，进而转化为导函数在该区间上的最值问题。
调性求 （2）对于可导函数在某个区间单调的问题，转化为导函数在此区间有穿过 x 轴的实根，
参数取 结合导函数的图像求解。
值范围 （3）对于函数在某个区间上存在单调递增或递减区间的问题，转化为导函数在此区
间上大于零或小于零有解的问题。
(x0 ) = 0，且f (x)在x 附近左负（正）右正（负）的 x 为极小（大）值点。
1
f
1
极值
0
0
[
]
a,b 上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点和区间内的极大值
的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值的最小者。
用导数法求给定区间上的函数的最值问题步骤：
1）求函数 f (x)的导数 ( )
x ；
f
1
（
（
（
（
最值
2）求 f (x)在给定区间上的单调性和极值；
3）求 f (x)在给定区间上的端点值。
4）将 f (x)的各极值与 f (x)的端点值进行比较，确定 f (x)的最大值与最小值。
探讨 f (x) = 0 根的个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，从限制函数
图像交
点与零
点
( )
f x 的
找到问题的充要条件；如果是研究两个函数交点的个数，则可以用两个
数，再转化为方程 f x = 0 的根的问题求解；若零点问题可以转
( )
函
，则也可借助数形结合解决问题。
=
0 是否有根。
（
1）
f
1
(x) = 0 有多根，并且含有参数时，要讨论各个根之间的大小关系
含参调
区间
（
（
2）
3）若要讨论 f (x)在区间[m,n]内的单调性，且 ( )
f
x = 0 的根含有参数，要讨论
1
根与区间的关系。
方法一：分离参数法解含参等式恒成立问题
用分离参数法解含参等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，
可以根据等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量的等式，
只要要就变量等式的最值就可以解决问题，步骤如下：
含参等
式恒成
(
)³ ( )(
( )) " Î
f a g x 或f x 对 x D 恒成立
立问题 （1）分离参数转化为
（
2）转化为 f (a)³ g (x) (或f (a )£ f (x ) )对"xÎD 恒成立
min min

（
3）求出 g (x)在区间 D 上的最大值（或最小值）。
方法二：导数法
有些含参等式恒成立问题，在分离参数时需要讨论，或者即使分离出参数或者变量，
但因参数的最值却难以求出，这时常单刀直入地利用导数法，借助导数，分析函数的
单调性，通过单调性的分析确立函数值的变化情况，找到参数满足的等式。
f x 在区间 a,b 上是连续的，用分点 a x áx á…áx áx á…x b 将区间 a,b 等
(
)
[
]
=
=
[
]
0
1
1-1
1
n
分 成 n 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 [x , x ] 上 任 取 一 点
1-1
2
概念
n
b - a
å
(
=
)
ò
b
a
( ) =
i 1, 2…，n , f x dx lim
f
x
®
¥
n
i=1
如 果 f (x) 是 [a,b] 上 的 连 续 函 数 ， 并 且 有
F
(x) = f (x) ， 则
1
基本
定理
定
积
分
b
ò ( )
( )
( )
f x dx F b F a
=
-
a
（
理
ò
b
( ) = ò
a
b
( ) (
)
kf x dx k f x dx k为常数 ；
科）
b
b
b
b
ò
= ò
f (x )d
± ò
a
g (x )dx
é
±
ù
性质
z
a
a
b
b
b
ò
(
)
= ò
( )
f x dx
+ ò
a
( )
f x dx
f x dx
a
a
区间[a,b] 连续的曲线 y = f (x)，和直线 x = ax = b(a ¹ b), y = 0 所围成的曲线边
简单
应用
梯
f (x)dx
八、三角函数的图象与性
1
、
概念
（
1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另
一个位置所形成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角。
（
2 ） 所 有 与 角 a 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 a 在 内 ， 构 成 的 角 的 集 合 是
{b b = + Î }。
a 2k ,k Z
p
S
=
|
任意角的概
念与弧度制 （3）象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那
么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角：如果角的终点
在坐标轴上，那么这个角属于任何一个象限。
2
、弧度制
（
（
1）定义：在以单位为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为 1 弧度的角。
2
）
角
度
制
和
弧
度
制
的
互
化
：

3
60 = 2p (
rad ,180
= p (rad
)
)
p
æ180 ö
= ç
1=
rad 0.01745 rad lrad
»
(
)g
÷»
è p ø
57.30 » 57.18
1
180
1
（
3）扇形的弧长公示： I = a gr ，扇形的面积公示： S = lr = a r2 。
2
2
三
角
函
数
的
图
象
与
性
质
y
任意角 a 的终边与单位圆交点于点 P x, y 时， sin a = y,cosa = x, tan a =
(
)
，
x
y
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值
对
基
本
问
题
r
x
于第一、二象限为正
yñ0,rñ0 ，对于第三、四象限为负 yá0,rá0 ；②余弦值
(
)
(
)
定义
r
y
对于第一、四象限为正 xñ0,rñ0 ，对于第二、三象限为负 xá0,rñ0 ；③正切值
(
)
(
)
x
(
)
(
)
对于第一、三象限为正 x, y同号 ，对于第二、四象限为负 x, y异号
sin a
sin2 a +cos2 a =1
= tan a
同角三角函
数关系
cosa
(sin a ±cosa)2 = ±
1 2 sin acosa 1 sin 2a
= ±
360o ± a,180o ± a,-a,90o ± a, 270o a ，“奇变偶变，符号看象限”。
误导公式
奇
周期
单调区间
偶
性
对称中心
对称轴
增 ê- + 2kp,p + 2kp ú
é
ë
p
ù
û
x = kp
三
2
2
奇
函
数
y = sin x
角
函
数
的
性
质
与
图
象
2kp
p
,1]
( p )
k ,0
+
(xÎ R)
2
é
ë
p
3p
ù
û
减 ê- + 2kp, + 2kp ú
2
2
增[-p + 2kp,2kp ]
æ
è
p
ö
ø
y = cos x
偶
函
数
2kp
çk
p +
,0÷ x = kp
[
1,1
- ]
2
(xÎ R)
减[2kp,2kp +p ]
y = tan x
奇
偶
数
æ
è
p ö
2 ø
2kp
æ p
è 2
p
ö
ø
æ kp
è 2
ö
ø
x ¹ kp +
-
+ kp, + kp ÷
,0÷
ç
÷
R
增
ç
ç
无
2
图
像
y = f x 图象平移 k 得 y = f x + k 图象， kñ0向上， ká0向下
( )
( )
平移交换
上下平移

交
换
y = f x 图象平移 Æ 得 y = f x +Æ 图象，Æñ0 向上，Æá0 向
( )
(
)
左右平移
下
æ
1 ö
( ) 图象各点把横坐标变原原来 w 倍得 y = f ç x÷ 的图
è w ø
y
=
f x
x 轴方向
伸缩变换
象。
y 轴方向 y = f (x)
y = Af (x)
图象各点纵坐标变为原来的 倍得 的图象。
A
函数 y = f (x)与函数 y = - f (-x)的图象关于坐标原点对称；
( ) 图 象 关 于 点 (a,b) 对 称 图 象 的 解 析 式 是
f x
y
=
中心对称
y = 2b f 2a - x)。
- (
函数 y = f (x)与函数 y = f (-x)的图象关于 y 轴对称；
函数 y = f (x)与函数 y = - f (x)的图象关于 x 轴对称；
( )
x = a
对 称 图 象