非线性回归模型的线性化.pptx

在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们通过一些例子来讨论这个问题。通过一些例子来讨论这个问题。2024/4/6 周六12线性模型的含义线性模型的含义 线性模型的基本形式是线性模型的基本形式是:线性模型的线性包含两重含义：线性模型的线性包含两重含义：（1）变量的线性）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或或 之类的函数形式出现在模型中。之类的函数形式出现在模型中。（2）参数的线性）参数的线性 因变量因变量Y是各参数是各参数i i的线性函数。的线性函数。这种模型称为这种模型称为标准的线性回归模型标准的线性回归模型非线性回归模型的分类：非线性回归模型的分类：1 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 之间之间不存在线性关系，但与未知参数不存在线性关系，但与未知参数 之间之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为称为非标准线性回归模型非标准线性回归模型。其一般形式为：其一般形式为：其中其中 是关于是关于 的的p个已知的非线个已知的非线性函数，性函数，是（是（p+1）个未知参数）个未知参数 32 虽然被解释变量虽然被解释变量Y与解释变量与解释变量 和未和未知参数知参数 之间不存在线性关系，但是可之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线线性化的非线性回归模型性回归模型如柯布道格拉斯生产函数模型：如柯布道格拉斯生产函数模型：3 如果被解释变量如果被解释变量Y与解释变量与解释变量 和未和未知参数知参数 之间都不存在线性关系，而且之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归也不能通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性不可线性化的非线性回归模型化的非线性回归模型44.2线性化方法线性化方法1、非标准线性回归模型的线性化方法、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：非标准线性回归模型的一般形式为：2024/4/6 周六51、非标准线性回归模型的线性化方法、非标准线性回归模型的线性化方法非标准线性回归模型的线性化方法是非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。变量替换法。非标准线性回归模型的一般形式为：非标准线性回归模型的一般形式为：u令令则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型64.2线性化方法线性化方法下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型回归模型（1）多项式函数模型）多项式函数模型多项式函数模型的一般形式为：多项式函数模型的一般形式为：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型 7例：例：yt=b0+b1 xt+b2 xt2+b3 xt3+ut 令令x 1t=xt，x 2t=xt2，x 3t=xt3，上式变为，上式变为 yt=b0+b1 x 1t+b2 x 2t+b3 x 3t+ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。品产量曲线与左图相似。(b10,b20,b30)(b10,b30,b20)(b10,b2 0)(0)（4）、S-型曲线模型型曲线模型S-性曲线模型的一般形式为：性曲线模型的一般形式为：首先对上式做倒数变换得：首先对上式做倒数变换得：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型则可将原模型化为标准的线性回归模型142 可线性化的非线性回归模型的线性化方法可线性化的非线性回归模型的线性化方法下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型回归模型（1）指数函数模型）指数函数模型指数函数模型的一般形式为指数函数模型的一般形式为对上式两边取对数得到对上式两边取对数得到令令则可将原模型化为标准的线性回归模型；则可将原模型化为标准的线性回归模型；2024/4/6 周六16（1）指数函数模型）指数函数模型（2）幂函数模型（）幂函数模型（全对数模型）全对数模型）幂函数模型的一般形式为：幂函数模型的一般形式为：对上式两边取对数得到：对上式两边取对数得到：令令则可将原模型化为标准的线性回归模型：则可将原模型化为标准的线性回归模型：2024/4/6 周六17对于柯布对于柯布-道格拉斯（道格拉斯（C-D）生产函数模型）生产函数模型其中，其中，Y表示产出量，表示产出量，K表示资金投入量，表示资金投入量，L表示劳表示劳动投入量，动投入量，u是随机误差项，是随机误差项，A、和和 为未知为未知参数。试利用天津市参数。试利用天津市1980年年1996年的有关统年的有关统计资料，估计天津市全社会的计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。生产函数模型。18例例.：天津市天津市GDP函数函数(教材第教材第95页页)首先建立天津市的首先建立天津市的C-D生产函数模型生产函数模型 i=1，2，17两边取对数得到：两边取对数得到：令令则可将则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型19例例.例例4.2：天津市：天津市GDP函数函数 =-10.46+1.02 X1t+1.47 X2t (-8.1)(34.7)(6.2)R2=0.9986,DW=1.7,N=17因为因为1.02+1.47=2.49，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。，所以此生产函数属于规模报酬递增函数。3、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要、不可线性化的非线性回归模型估计方法（不要求掌握）求掌握）