椭圆及其标准方程课时作业.doc

课时作业10　椭圆及其标准方程
时间: 45分钟　　分值: 100分

一、 选择题(每小题6分, 共36分)
1．椭圆4x2＋9y2＝1焦点坐标是(　　)
A．(±, 0)　B．(0, ±)
C．(±, 0) D．(±, 0)
解析: 椭圆4x2＋9y2＝1标准形式为＋＝1,
∴a2＝, b2＝.故c2＝－＝.
答案: C
2．已知椭圆＋＝1一个焦点为(2,0), 则椭圆方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C．x2＋＝1 D.＋＝1
解析: 由题知a2－2＝4, ∴a2＝6.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
答案: D
3．在椭圆＋y2＝1中, 有一沿直线运动粒子从一个焦点F2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F1, 再次被椭圆反射后又回到F2, 则该粒子在整个运动过程中经过距离为(　　)
A．4 B．4
C．3 D．5.5
解析: 把粒子运动轨迹表示出来, 可知整个距离为4a, 即
4.
答案: B
4．已知椭圆＋＝1, 长轴在y轴上, 若焦距为4, 则m等于(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析: 由题意知, 焦距为4, 则有m－2－(10－m)＝()2.解得: m＝8.
答案: D
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(m<n<0)焦点坐标是(　　)
A．(0, ±) B．(±, 0)
C．(0, ±) D．(±, 0)
解析: 化为标准方程是＋＝1,
∵m<n<0, ∴0<－n<－m.
∴焦点在y轴上, 且c＝＝.
答案: C
6．设P是椭圆＋＝1上一点, P到两焦点F1、 F2距离之差为2, 则△PF1F2是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析: 由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2, ∴|PF1|＝5, |PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4, ∴△PF1F2为直角三角形．
答案: B
二、 填空题(每小题8分, 共24分)
7．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上椭圆, 则k取值范围是________．
解析: 将原方程整理, 得＋＝1.依据题意得解得0<k<1.
答案: 0<k<1
8．已知F1, F2为椭圆＋＝1两个焦点, 过F1直线交椭圆于A、 B两点, 若|F2A|＋|F2B|＝12, 则|AB|＝________.
解析: 由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10,
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10,
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12,
∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
答案: 8
9．(·江西高考)若椭圆＋＝1焦点在x轴上, 过点(1, )作圆x2＋y2＝1切线, 切点分别为A, B, 直线AB恰好经过椭圆右焦点和上顶点, 则椭圆方程是________．
解析: ∵x＝1是圆x2＋y2＝1一条切线．∴椭圆右焦点为(1,0), 即c＝1.设P(1, ), 则kOP＝, ∵OP⊥AB, ∴kAB＝－2, 则直线AB方程为y＝－2(x－1), 它与y轴交点为(0,2)．∴b＝2, a2＝b2＋c2＝5, 故椭圆方程为＋＝1.
答案: ＋＝1
三、 解答题(共40分)
10．(10分)求适合下列条件椭圆标准方程:
(1)两个焦点坐标分别是(0,5), (0, －5), 椭圆上一点P到两焦点距离之和为26;
(2)中心在原点, 焦点在坐标轴上, 且经过A(, －2)和B(－2, 1)两点椭圆标准方程．
解: (1)∵焦点在y轴上, ∴设其标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2a＝26,2c＝10, ∴a＝13, c＝5.∴b2＝a2－c2＝144.
∴所求椭圆方程为＋＝1.
(2)方法一: ①当焦点在x轴上时, 设椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0),
依题意, 有解得
∴所求椭圆方程为＋＝1.
②当焦点在y轴上时, 设椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意, 有, 解得
∵a<b, 不合题意, 舍去．
∴所求椭圆方程为＋＝1.
方法二: 设所求椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A>0, B>0且A≠B),
依题意, 得解得
∴所求椭圆方程为x2＋y2＝1.∴其标准方程为＋＝1.

图1
11．(15分)如图1, 已知圆A: (x＋3)2＋y2＝100, 圆A内一定点B(3,0), 动圆P过B点且与圆A内切, 设动圆P半径为r, 求圆心P轨迹方程．
解: 由题可知|PB|＝r,
∵圆P与圆A内切, 圆A半径为10,
∴两圆圆心距|PA|＝10－r,
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P轨迹是以A、 B两点为焦点椭圆．
∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5, c＝3.
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16,
即点P轨迹方程为＋＝1.

12．(15分)设P(x, y)是椭圆＋＝1上点且P纵坐标y≠0, 点A(－5,0)、 B(5,0), 试判定kPA·kPB是否为定值？若是定值, 求出该定值; 若不是定值, 请说明理由．
解: ∵点P在椭圆＋＝1上,
∴y2＝16×(1－)＝16×.①
∵点P纵坐标y≠0,
∴x≠±5.
∴kPA＝, kPB＝.
∴kPA·kPB＝·＝.②
把①代入②, 得kPA·kPB＝＝－.
∴kPA·kPB为定值, 这个定值是－.