函数极限表格模板.doc

与极限相关部分概念
(一)、 函数极限分析定义
(二)、 保序性
(三)、 夹逼性
(四)、 函数极限两个充要条件
(五)、 Heine 定理
(六)、 Cauchy收敛原理
(七)、 复合函数极限
(一)(a)、 (有限)分析定义:
自变量改变过程
语言

(一)(b)、 (有限)分析定义:
自变量改变过程
(有限)否定陈说

(一)(c)、 分析定义:
自变量改变过程

极限为

极限为

极限为

,

,

,

,

,

(一)(d)、 分析定义:
自变量改变过程

(二) (a) 保序性: 已知, 则
自变量改变过程
条件

保序性结论

,

,

,

,

,

(二) (b) 保序性:若.
自变量改变过程
条件
结论

若,
则

若,
则

若,
则

若,
则

若,
则

若,
则
注: 当条件中增强为,也不能导出

(三) 夹逼性: 已知(有限, )
自变量改变
过程
条件
结论

若
则

若
则

若
则

若
则

若
则

若
则
注: 不可为
(四) 函数极限两个充要条件
自变量改变过程
能够是有限数, 或

(五) (a) Heine 定理: 以下可取有限,
自变量改变过程
函数极限形式

数列极限形式

(五) (b) Heine 定理:

自变量改变过程
函数极限形式

数列极限形式
1

存在有限

收敛.
2

存在有限

收敛.
3

存在有限

收敛.
4

存在有限

收敛.
5

存在有限

收敛.
6

存在有限

收敛.

(五)(c) (有限)数列描述形式

自变量改变过程

等价数列形式
1

2

3

4

5

6

(五)(d) 数列描述形式

自变量改变过程

1

2

3

4

5

6

(六)(a) 存在Cauchy收敛原理

自变量

存在

Cauchy收敛原理描述形式
1

存在

2

存在

3

存在

4

存在

5

存在

6

存在

(六)(b) 存在Cauchy收敛原理否定形式

自变量

不存在

Cauchy收敛原理否定形式
1

不存在

2

不存在

3

不存在

4

不存在

5

不存在

6

存在

(六)(c) 存在Cauchy收敛原理否定形式

自变量

不存在

Cauchy收敛原理否定形式数列形式
1

不存在

2

不存在

3

不存在

4

不存在

5

不存在

6

不存在

(七)(a) 复合函数求极限法则: 结论1

自变量
条件
结论
1

(有限),在
连续

2

(有限),在
连续

3

(有限), 在
连续

4

(有限), 在
连续

5

(有限), 在
连续

6

(有限), 在
连续

以3为例加以证实: 因为在连续, 故
(1)
又因为(有限), 对于如上
(2)
由(1)与(2)得:
即证毕.
(七)(b) 复合函数求极限法则: 结论2

自变量
条件
结论
1

(),
(有限,)

2

(),
(有限,)

3

(),
(有限,)

4

(),
(有限,)

5

(),
(有限,)

6

(),
(有限,)

以3()中有限为例加以证实:
因为(有限),故
(1)
又因为对(1)中
(2)
由(1)与(2)有:
所以证毕.
(七)(c) 复合函数求极限法则: 结论3

自变量
条件
结论
1

(有限), 当初,
, (有限,)

2

(有限), 当初,
, (有限,)

3

(有限), 当初,
, (有限,)

以1(即)中为例证实:
因为
(1)
又因为(有限), 对于如上

结合当初,, 上式即: (2)
于是由(1)与(2)得:
所以证毕.
(七)(d) 复合函数求极限法则: 结论4

自变量
条件
结论
1

(有限), ,
(有限,)

2

(有限), , (有限,)

3

(有限), ,
(有限,)

以1(即)中为例证实:
因为
(1)
又因为(有限),对于如上
结合, 上式即: (2)
由(1)(2)可得:
所以证毕.