2018年PCB鹏程杯数学邀请赛6年级试卷答案.doc

第五届鹏程杯数学邀请赛小学高年级试卷评分标准（2018 年 3 月 24 日 10:0011:40）一、填空题（满分 60 分，每小题 6 分，将你的答案写在题后的横划线处）9 （2） 字谜 ab + cd + ef+ gh = 128, 其中不同的英文字母表示不同的非 0 数字. 则(a + c + e + g) (b + d + f + h)的值是.答案：280.解：如果有一个十位数字大于 4，至少是 5，则十位数字之和不小于 1+2+3+5=11，因此个位数字之和将不超过 18. 此时 4 个个位数最小和为 4+6+7+8=25 18 ，矛盾！因此十位数字不能大于 4，故 4 个不同的十位数字只能是 1,2,3,4. 进而可知个位数字只能是 5,6,8,9. 如：19 + 28 + 36 + 45 = 128 .所以(a + c + e + g) (b + d + f + h) = (1+ 2 + 3 + 4) (5 + 6 + 8 + 9) = 10 28 = 280.（3） x 台拖拉机，每天工作 x 小时， x 天耕地 x 亩，则 y 台拖拉机，每天工作 y 小时， y天耕地亩.y3答案： x2 .解：1 台拖拉机 1 天一个小时可耕地x= 1 ，故 y 台拖拉机，每天工作 y 小时，y1天耕地x2 y3y3=x2 亩.x x xx 2（4） 时钟在6 : 25这个时刻分针与时针的夹角是.答案： 42.5o解：在6 : 25这个时刻，分针距离6 : 30 的角度是侧，距6 : 30 的角度是360o12= 30o , 时针在6 : 30 的左5 25 o30o = = 12.5o .12 2 所以分针与时针的夹角是 30o +12.5o = 42.5o.时针在6 : 30 的左侧，距6 : 30 的角度是5 25 o30o = = 12.5o .12 2 所以分针与时针的夹角是 30o +12.5o = 42.5o.（5） 不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是.答案：17.解：合数有：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, ，因为 4 + 6 + 9 = 19, 所以 19 能写成 3 个不相等的合数之和. 大于 19 的奇数n 可以表示成n = 19 + 2k, k 是非零自然数, 进而n = 4 + 9 + (6 + 2k ) .注意6 + 2k 为大于 6 的偶数, 是合数, 所以不小于 19 的奇数都能写成 3 个不相等的合数之和.另外, 最小的 3 个不相等的合数之和4 + 6 + 8 = 18 17, 所以，不能写成 3 个不相等的合数之和的最大奇数是 17.（6） 如图所示，在边长为 12 厘米的正方形 ABCD 中，分别以 BC,CD 为直径在正方形内画两个半圆，这两个半圆的交点为O . 则图中阴影部分的面积是平方厘米.答：72.解：连接 BO, CO, DO ,易知O 是对角线 BD 的中点. OC 将小叶形分为两个小弓形，分别补在以OB,OD 为弦的两个小弓形处，组成直角三角形 ABD.因此阴影部分的面积=直角 ABD 的面积= 1 12 12 = 722（平方厘米）.（7） 老师派若干名学生去购买单价为 3 元或 5 元的贺年卡，规定每人至少买一张贺年卡，且每人购买两种贺年卡的总金额不超过 15 元. 如果要求至少有三名学生购买的两种贺年卡的数量完全相同，那么最少要派名学生去购买贺年卡.答案：25.解：设每人购买了 x 张 5 元的贺年卡， y 张 3 元的的贺年卡，则0 5x + 3y 15 = 3 5,所以， 0 x 3;0 y 5.x, y 不同时为 0. 当 x = 0时，y = 1,2,3,4，5，共5种方式； 当 x = 1时，y = 0,1，2,3,共4种方式； 当 x = 2时，y = 0，1,共2种方式； 当 x = 3时，y = 0，共1种方式.所以总共只有 12 种不同的购买方式，一定至少有一种方式发生三次，购买贺年卡的学生至少要有12 2 + 1= 25 人.（8） 王明参加了 10 场数学擂台赛，他输的场数、打平的场数都大于他赢的场数，则王明最多赢了场比赛.答案：2.解：设在 10 场擂台赛中王明赢了a 场，输了b 场，打平c 场.则a + b + c = 10 ，由题设可知，a b ， a c ，于是a + a + a 10 ，即a 3且c 3, 因为b, c 都是整数，即b 4且c 4, 则b + c 8, 与b + c = 7 矛盾，于是， a 最大值为 2. 事实上， a = 2, b = c = 4 是可以达到的.所以王明最多赢了 2 场比赛.（9） 如图所示，有 18 块大小相同的小正三角形拼成的四边形。其中某些相邻的小正三角形可拼成较大的正三角形若干个。那么，图中包含“”的大、小正三角形一共有 个.答案：6 个.（10） 有浓度为 30%的食盐溶液若干，加了一定数量的水后稀释成浓度为 24%的溶液.如果再加入同样多的水，浓度将变为.答： 20% .解：设原有溶液为 x ，第一次加水为 y ，根据溶质重量不变，列方程得(x + y) 24%= x 30% ，由此得到 y = x .4另设再加入同样多的水后，浓度变为 z% .依题意，列方程得解之，得 z = 20 .(x + x 2) z%4= x 30% ，故浓度变为20% .（11） 在长为 1,2,3,4，199,200 的这 200 条线段中，选取k ( 3) 条，使得这k 条线段中任意 3 条为边都可以构成三角形，则k 的最大值是.答案：101.解：选取长为 100,101，199,200 的这 101 条线段，其中任意 3 条都可构成三角形的三条边，而选取 99,100,101，199,200 这 102 条线段时，其中， 99,100,200 就不能构成一个三角形的三条边，所以k 的最大值是 101.二、解答题（满分 60 分,其中第 11-13 题各 10 分，第 14、15 题各 15 分）（12） （满分 10 分）已知23.25 1 9 (D - 1) - D + 1 D 1 1 = 1 ，求出算式中的D .3143解 根据数的运算法则 有23.25 1 9 (D - 1) - D + 1 D 1 1 = 1 ，314393 40 (D - 1) - D + 1 D = 4 ，4314393 40 (D - 1) - 93 D + 1 D = 4 ，43144330(D - 1) - 93 D + 1 D = 4 ，5 分44330D - 93 D + 1 D = 4 +30 ，4437D = 94 ，3D = 9410 分21（13） （满分 10 分）用橡皮泥做一个棱长为 4cm 的正方体.（1） 如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 1cm 的正方形通孔，求打孔后的橡皮泥块的表面积；（1）（2）（2） 如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个边长为 1cm 的正方形通孔，求两次打孔后的橡皮泥块的表面积；（3） 如果在第（1）题所述橡皮泥打孔后，又在正面中心位置处从前到后再打一个长为 x cm，寛为 1cm 的长方形通孔，能不能使所得到的橡皮泥块的表面1积为 130 cm2 ？如果能，请求出 x ；如果不能，请说明理由.解（1） S = 42 4 + (42 -12 ) 2 + (4 1) 4 = 110 （ cm2 ）.1或S = 42 4 - 2 1 + 4 4 = 110 （ cm2 ）2 分（2）S2 = S1- 41+ 41.5 2 = 110 - 4 + 12 = 118 ( cm2 )5分（3）能6 分须考虑的方案有两种（如图）.（1） 表面积S = S1 - 4x + (2 + 2x)1.5 2 = 116 + 2x = 130 ，得到 x = 7 4 ，不合题意，应舍去8 分（2） 表面积S = 96 - 2x + (2 + 2x) 4 - 4 + 41.5 2 = 112 + 6x = 130 ，得到 x = 3 n2 分 经过一次调整，最多的不超过2m 块，最少的不少于2n 块.因为持糖果块数最多（ 2m 块）的人要分一半给右边的那位小朋友m 块，接受到左边小朋友所给的糖果最多为m 块；持糖果最少（ 2n 块）的人要分一半给右边的那位小朋友n块，接收到左边小朋友所给的糖果至少 n 块；其他人糖果数介于中间 7 分 每经过一次调整，持糖果最少的人，其人数至少减少一人.这是因为，对于持2n 块糖果的小朋友来说，除非他的左边也是持2n 块，否则，他的糖果数就会增加，但是，不可能每个持 2n 块糖的小朋友，其左边都是持 2n 块糖的人，否则大家已经一样多了.这样，经过若干次调整后，持2n 块糖果的人就没有了（要特别注意：持糖果最多的人数未必减少，因为持2m 块糖果的人，即使左边小朋友给他（ m -1）块，最后老师再发给他一块，他还能回到 m 块） 12 分 因为上有“封顶”，而最少的糖果数不断增加，（每次至少增加一块），这样到最后，大家的糖果数就一样多了15 分