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初中“数学概念”教学探究
合兴中学 王立伟
【内容摘要】：概念是最基本的思维形式。数学中的命题，都是由概念构成的，数学中的推理和证明，也是由命题构成的。可见，数学概念是数学学科知识体系的基础，是数学学习能力根基之一。因此，数学概念的教学，是整个数学教学的一个重要环节。正确、有效的把握数学概念，是掌握数学知识的前提，换而言之，数学概念的有效教学无疑是提高教学效能，实现教学目标的关键。初中阶段，数学概念非常繁多，怎样组织有效的课堂教学，才能才使学生更好的掌握概念呢？本人在多年初中数学的教学实践中，总结出了数学概念教学的一些途径和常用方法，收到了比较好的教学效果。笔者在此不嫌粗陋，就此话题略谈一二，以期有抛砖引玉之效!
【关键词】：数学 数学概念教学 教学策略 方法
【正 文】
一、数学概念教学的一般要求
数学概念教学首先应明确要求，由于学生对数学概念的形成与掌握，在多数情况下是在原有认识的基础上进行的，也是在数学概念本身的逻辑联系中进行的。因此，对数学概念的教学，特别是对一些重要的数学概念教学，必须从掌握概念的体系的总要求出发，经历一个不断学习，不断深化和不断应用的过程。我认为应该达到以下要求：
1、使学生了解概念的由来和发展
在中学数学教学中，应该使学生了解，任何一个数学概念都有其客观背景，都是某类具体的数学对象的本质属性经过抽象概括的结果。任何被定义的数学对象都是客观存在的。同时，还应该结合具体的概念学习，使学生认识到数学概念的不断发展性，对有些数学概念的认识随着知识的扩充与深化而不断发展与精化。例如，绝对值的概念，幂的概念，数的概念等都是这样。
2、使学生掌握概念的内涵，外延及其表达形式
一般的概念教学要使学生明确其内涵，外延，掌握概念的定义，名称，符号等。事实上，许多学生在实际操练中出现的错误，都是因为概念的模糊不清而产生的。例如，。只会死记硬背算术根的定义不明确它的本质属性，往往就会出现片面甚至错误的变形。
3、使学生了解有关概念间的逻辑关系，会对概念正确地进行分类，从而形成一定的概念体系
在学好概念的基础上，教学中好要注意各个有关概念间的联系，正确的分类，建立体系才能使概念系统化，从而加深理解，牢固掌握，为灵活运用，提高能力奠定基础。例如，初中几何教学中有关“四边形”的概念体系，初中代数有关“数”的概念体系，“方程”和“不等式”的概念体系等。
4、使学生能够正确的运用概念
运用概念是学习概念的主要目的，在运用的过程中，又可以加深对概念的理解，从而有利于更牢固的掌握概念。因此，在数学概念教学中，要结合具体的概念，引导学生运用概念去确定某对象的属性，判断某对象是否属于这一概念的外延集，以及解决各种数学问题。并能逐步达到正确，灵活运用的水平。
二、数学概念的教学途径和常用方法
心理学研究表明，掌握知识的一般途径是感知，理解，巩固和应用。学习和掌握数学概念同样应经历以下几个心里发展阶段：感知，表象，形成概念（引入概念）阶段；理解，掌握概念（明确概念）阶段；巩固，应用概念（运用概念）阶段。因此数学概念教学的一般途径也应该大体分三个阶段进行：
（一）、概念的引入
引入新概念的过程，是揭示概念发生形成的过程。而各种数学概念的发生形成途径又各不相同：有的是现实模型的直接反应，有的是在相对具体的概念的基础上经过逐级抽象得出等。因此引入数学概念就是要揭示概念发生的实际背景和基础，了解概念的必要性和合理性并初步揭示它的内涵和外延，给概念下定义等。在这一过程中，教师的主要任务是设法帮助学生完成由感性到理性的认识过度。因此，在教学中必须重视概念引入的教学设计，为学生提供丰富的直观背景素材，提出有趣生动，发人深省的问题使学生经历概念的发生和形成过程。当然，并不是所有的数学概念的引入，都经历以上全部过程，而是依据概念的形成途径不同各有侧重，对于一些简单的数学概念，引入过程可以由已知概念十分简略地进行。例如，学过了有理数和无理数概念以后，实数概念就可以十分简单地引入：“有理数与无理数统称实数”，学习了“方程”的概念后，就可以给出“方程的解”和“解方程”的定义，不必多费周折，等等。但是对于一些比较抽象而又十分重要的数学概念，就必须十分重视引入过程。一般来说，可以有一下几种常见的引入概念的方法。
1、以感性材料为基础引入新概念
用来引入数学概念的感性材料是十分丰富的，可以是学生在日常生活中所接触的事物，也可以是教材中的实际问题以及图形、图表、影像等。例如，在平面几何“平行线”概念教学时可以先给出一些学生所熟悉的实例，如铁路上两条笔直的铁轨；黑板上、下两边缘；教室里同一面墙上的两条墙角线；等等。给学生以平行线的形象；然后引导学生分析这些食物中的一对直线在位置方面的共同属性：在同一平面内、可以两边无限延长，但总是不相交；再用几何语言将属性表达为：在同一平面内不相交的两条直线；最后，正式引进“平行线”的概念给出定义，并画出图形。
这样引入概念的方法，不仅由于丰富的感性材料而有利于学生接受新概念，承认概念的存在性，而且在观察、分析、抽象概念的本质属性的过程中，亦可发展学生的观察、分析、比较、归纳和抽象能力。在某种意义上讲，这样比机械地死记硬背一些概念要有用得多。
2、以已有知识为基础引入新概念
学生已有的知识，也是引入新概念的直观背景材料，尽管这些知识本身也是抽象的，但学生已熟悉认可，因而也是相对直观、具体的了。具体可以尝试以下几种做法：
（1）、通过与已有概念的类比引入新概念
例如，类比分数概念引入分式概念；在一元一次方程的基础上引入一元一次不等式，一元二次方程等。
（2）、通过对已有概念的限制或概括引入新概念
例如，在初中代数中，通过对等式的概念限制，在其内涵中增加“含有未知数”这一本质属性，就可以引进“方程”这一新概念的定义；在几何中通过对“全等三角形”概念的概括，在其内涵“三个内角相等”且“三条边对应相等”中减少“三边对应相等”这一属性，就可以引入外延较大的新概念“相似三角形”了。
（3）、通过运算间的关系引入新概念
数学中有些与运算相关的概念，常和另一些与运算相关的概念之间存在互逆或互为相反的关系。对于这类概念，可以通过讲清楚两类概念间的关系来引入概念。例如，有理数的减法和除法的概念，可以再分贝复习小学算术中学过的加法与减法、乘法和除法的关系的基础上，直接引入：“有理数的减法是加法的逆运算”、“有理数除法是乘法的逆运算”、“开方是乘方的逆运算”。
（4）、通过揭示事物发生的过程引入新概念。
在数学中有些概念是用发生式定义的，因此可以采用揭示事物发生的过程的方法引入这类概念。在教学中，一般可以通过演示活动的直观教具或演示画图说明的方法，揭示事物发生过程。例如，几何中平角、周角、圆及圆周等概念都可以这样引入，这种方法生动、直观、具有运动变化的观点，同时，引入的过程又自然地、无可辩驳地阐明了这一概念的客观存在性。
总之，概念的引入要从实际着手，认真准备，精心设计，针对不同概念采取不同方法。只有这样才能有效地进行概念教学，降低学生学习的难度，提高教学的质量。
（二）、概念的理解和记忆
好的概念引入，为概念的理解和记忆打下了良好的基础。概念的教学应使学生对概念的本质属性有清楚地认识和正确的表述，切忌教条，形式的讲解定义，满足于学生的死记硬背。例如。一元二次方程求根公式
当时，
对于≥0这个条件必须引起充分的重视。≥0是公式成立的前提条件，是公式的一个重要的组成部分。例如，在解关于x的方程（a-1）x2–2ax+a-2=0时，运用公式直接求得x,实际上它仅仅是其中的一种情况，即当≥0时的根。当a≠1,<0时无解,不能用公式求解。当a=1时，这是对应的方程为-2x-1=0,是关于x的方程，它的解为x=1/2。
对于概念的记忆我想理解记忆和机械记忆相结合会有好的效果，机械记忆就是依靠机械重复而进行的识记，不能简单的看成死记硬背，在学习中还是很必要的，因为一些材料是无意义的，只能机械记忆。例如在讲“函数”的概念刚开始时，由于不理解或初中生受阅读，理解能力的限制，就要先进行机械记忆，在此基础上进行理解。理解记忆全面，迅速，精确，牢固。例如在讲解“平行四边形”的概念，可以利用语文的知识进行分析。平行四边形是两组对边分别平行的四边形。“平行四边形”是主语，“是”是谓语，“四边形”是宾语。抓住关键词四边形及限制条件两组对边分别平行，这样就很容易记忆了。还有一些数学概念可以用数学符号来表达，使其简单明了，易记易用。如x2=a，x叫a的平方根，同分母分式加减法等。总之 ，要扬机械记忆之长，避意义记忆之短，才能使记忆取得最好的效果。
（三）、概念的巩固和应用
概念的学习是为了更好的运用概念解决实际问题，反之实际问题的解决又能极大的丰富和巩固学生对概念的理解掌握。为了使学生牢固掌握数学概念，并能灵活，正确运用概念，在教学中应采取多种形式并通过多种途径引导学生充分发挥概念在运算，推理和证明中的作用，教学可以通过以下几方面进行
1、及时巩固所学的新概念
对于新授课，给出了概念之后，要及时采取多种形式，提高学生对概念的认识。教师在进行概念教学时要充分利用变式。在有些情况下，同时呈现若干正例更有助于学生理解掌握概念，如果不注意概念的变式，只是反复操练，学生学习概念比较厌烦反而起不到应有的效果。因此通过变式，可以使学生了解哪些是事物的本质属性，哪些是事物的非本质属性，让学生在变式中思维，更好的掌握概念。例如介绍了正比例函数概念以后，可以通过以下几题 加强对其的认识。
（1） y=-5x 、 y= x 、y=－x+3 、 那些是正比例函数？
（2） 已知：函数是正比例函数，求m的值
(3)若y=(k-2)x+kx是正比例函数，则k的值是多少？
2、及时复习，整理所学过的概念
初中生随着学习的不断深入，所学概念越来越多，越杂，教师应根据概念之间的逻辑关系，建立各种概念的体系，并了解体系中个概念横向，纵向的联系。例如中学数的概念体系可大体是
正整数
整数 零
负整数
有理数
正分数

分数
实数
负分数

正无理数
无理数
负无理数
还有三角形，四边形等，这样整理和完善体系，使学生在头脑中对其有清楚的脉络，有利于概念的掌握。
3、密切联系实际，灵活运用所学的概念
数学概念是人脑对现实事物的一种反映，学习数学概念的目的，就是用于实践。因此要让学生通过实际操作去掌握概念、升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。
例如，解决“三条公路两两相交，要建一个加油站使其到三条公路的距离相等”这个实际的数学问题，就可以使学生对“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质有深刻的认识，等等。
总之，初中数学概念教学方法多种多样，在数学概念教学过程中要根据教材和学生的认知水平，思维发展状况和具体的教学目标，采取灵活的教学策略及有效的教学措施。务必让学生清晰地理解概念、掌握概念，进而学会使用概念、活用概念，切勿让学生死记概念、硬背概念。因为数学学科的严谨推理性，决定了搞好数学概念教学是传授知识的首要条件。如果学生概念不清，必将表现出思路闭塞，逻辑紊乱，对法则、定理的理解更无从谈起。因此，对数学概念的教学，必将是我们一线数学教师长期探索的一个课题。
参考文献：
1、《中学数学教学参考》
2、《中学数学教育》（初中版）
3、《心理学概论》 【德国】 艾宾浩斯