数学百大经典例题——-正态分布(新课标).doc

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借助于标准正态分布表求值

例 设服从，求下列各式的值：
（1） （2） （3）
分析：因为用从标准正态分布，所以可以借助于标准正态分布表，查出其值．但由于表中只列出的情形，故需要转化成小于非负值的概率，公式：和有其用武之地．
解：（1）
（2）
（3）

说明：要制表提供查阅是为了方便得出结果，但标准正态分布表如此简练的目的，并没有给查阅造成不便．相反其简捷的效果更突出了核心内容．左边的几个公式都应在理解的基础上记住它，并学会灵活应用．
求服从一般正态分布的概率

例 设服从试求：
（1） （2）
（3） （4）
分析：首先，应将一般正态分布转化成标准正态分布，利用结论：若，则由知：其后再转化为非负标准正态分布情况的表达式，通过查表获得结果．
解：（1）
（2）
（3）
（4）

说明：这里，一般正态分布，总体小于的概率值与和是一样的表述，即：
服从正态分布的材料强度的概率

例 已知：从某批材料中任取一件时，取得的这件材料强度服从
（1）计算取得的这件材料的强度不低于180的概率．
（2）如果所用的材料要求以99％的概率保证强度不低于150，问这批材料是否符合这个要求．
分析：这是一个实问题，只要通过数学建模，就可以知道其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”的问题；本题的第二问是一个逆向式问法，只要把握实质反向求值即可．
解：（1）

（2）可以先求出：这批材料中任取一件时强度都不低于150的概率为多少，拿这个结果与99％进行比较大小，从而得出结论．

即从这批材料中任取一件时，强度保证不低于150的概率为99.73％＞99％，所以这批材料符合所提要求．
说明：“不低于”的含义即在表达式中为“大于或等于”．转化“小于”后，仍须再转化为非负值的标准正态分布表达式，从而才可查表．
公共汽车门的高度

例 若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1％以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：㎝），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？
分析：实际应用问题，分析可知：求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率值小于1％，即：，从中解出的范围．
解：设该地公共汽车门的高度应设计高为cm，则根据题意可知：，由于，
所以，
也即：
通过查表可知：
解得：
即该地公共汽车门至少应设计为189cm高．
说明：逆向思维和逆向查表，体现解决问题的灵活性．关键是理解题意和找出正确的数学表达式．
学生成绩的正态分布

例 某班有48名同学，一次考试后数学成绩服从正态分布．平均分为80，标准差为10，问从理论上讲在80分至90分之间有多少人？
分析：要求80分至90分之间的人数，只要算出分数落在这个范围内的概率，然后乘以总人数即可，而计算这个概率，需要查标准正态分布表，所以应首先把这个正态总体化成标准正态总体．
解：设x表示这个班的数学成绩，则x服从
设则z服从标准正态分布．
查标准正态分布表，得：

所以，
∴．
说明：这类问题最容易犯的错误是没有转化成标准正态分布就直接求解，一般地，我们在解决正态总体的有关问题时均要首先转化成标准正态总体．