《以几何知识教学为载体-有效发展学生空间观念的教学思考与实践》.doc

以几何知识教学为载体，有效发展学生空间观念的教学思考与实践
——《圆柱和圆锥》单元教材分析
《圆柱和圆锥》是人教版教材六年级下册第三单元的教学内容，属于图形与几何领域。教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
一、教学内容分析
1.本单元内容的前后联系
一年级上册
初步认识长方体、正方体、圆柱和球等立体图形
一年级下册
初步认识长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形
五年级下册
再次认识长方体（包括正方体），探索其特征
六年级上册
再次认识圆，探索其性质
六年级下册
再次认识圆柱，认识圆锥，探索其性质
从这些内容可以看出，学生学习的内容呈现出“从立体到平面再到立体” 的线索。这也体现了学生认识的“从整体到局部再到整体”的学习路线。前后的两个立体是有区别的。开始学生时从直观上认识立体图形，后来则要利用已学的平面图形的特征等尝试把握立体图形的特征。此外，空间观念有一个重要的方面，就是三维和二维的转化，即从立体转换到平面，反过来由平面再转换到立体。
圆柱的认识
圆柱的表面积
圆柱的体积
圆锥的认识
圆锥的体积
例1、例2
例3、例4
例5—例7
例1
例2、例3
圆柱和圆锥

圆柱
圆锥
2.本单元具体的教学内容

本单元教学内容的编排，基本沿用了实验教材的结构，无论是结构还是具体内容，变动都不是很大。具体变动之处主要有以下几个方面。
（1）在圆柱的体积计算之后，教材新编了一道“解决实际问题”的例题（例7）。这是一个非常规问题，很具有挑战性。
教材给出了瓶子平置时水的高度和倒置时无水部分的高度，要求的是这个瓶子的容积。
教学重点：通过把不规则形状的体积转化成规则形状，发现转化过程中的“变”与“不变”，提高学生分析问题和解决问题的能力。

（2）在有些例题习题编写中做了适当的删减。例如，例5探索圆柱体积，教材增编了两处小精灵的提问，再将圆柱分割拼成近似的长方体后，增编“把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？”这一问题，继而在得出文字计算公示后，进一步提问“如果知道圆柱的底面半径r和高h,你能写出圆柱的体积公式吗？”显然，教材经过改动后，更有利于教师充分地发挥其指导作用，也更有利学生有的放矢地进行自主探究学习，为学生的“真探究”提供了良好的研究平台。

二、学生情况分析
1.学生基础分析
（1）知识基础
在学习本单元内容之前，学生已经掌握了长正方体的特征以及表面积和体积的计算方法，也能计算圆的周长、面积以及环形面积。
（2）方法基础
学生掌握了将未知知识转化为已学知识的方法，如将圆转化成学过的长方形或平行四边形等推导出圆面积的计算方法。因此，在本单元的教学中，无论是圆柱和圆锥的认识，还是体积公式的推导，学生都是具备一定的经验的，教师应引导学生自主探究。
2.学生的学习困难
虽然学生具有一定的学习基础，但本单元的学习对学生来说还是有一定难度的。
（1）易错易混的新知
对圆锥的高的认识是学生学习的一个难点。难点在于平面图形和已学过的长、正方体、圆柱体的高都能在图形的表面上看到，而圆锥的高是在图形的内部，因此学生会把高和母线混淆。再如探究圆锥体积的计算方法时，老师们都会组织学生通过实验发现圆锥体积是等底等高圆柱体积的，但在解决实际问题时学生还是总忘乘。
（2）能力方面
这单元计算量比较大，因此会导致计算错误增多。此外学生在解决实际问题时不能与新知识建立联系，表现在不清楚求的是求表面积还是体积，求表面积时分不清求完整的还是部分的等。
三、单元教学目标
1．使学生认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征。并认识圆柱的底面、侧面和高。认识圆锥的底面和高。
2．引导学生探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题，培养学生的几何直观能力。
3．通过观察、设计和制作圆柱、圆锥模型等活动，使学生了解平面图形与立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。
4.使学生理解除了研究几何图形的形状和特征，还要从数量的角度来研究几何图形，如图形的面积、体积等，体会数形结合的思想。
5.通过圆柱和圆锥体积公式的探索，使学生体会转化、推理、极限、变中有不变等数学思想。
6.培养学生乐于学习、勇于探究的数学情感，激发学生研究、解决数学问题的兴趣。
本单元的教学重点是认识圆柱和圆锥，掌握它们的基本特征，探索并掌握圆柱的侧面积、表面积的计算方法以及圆柱、圆锥体积的计算公式，会运用公式计算体积，解决有关的简单实际问题。
难点是认识圆锥的高，了解平面图形与立体图形之间的联系，发展学生的空间观念。
四、本单元各例题简要说明
（一）圆柱
例1．圆柱的组成及其特征。在引导学生观察圆柱形实物的基础之上，认识圆柱的底面、侧面和高。接着组织学生对圆柱的观察、触摸以及交流讨论，了解圆柱的特征。在探究圆柱的特征之后，教材还安排了一个有趣的活动：拿一张长方形硬纸，在某一边贴上一小棒，快速转动小棒，看转出来的是什么形状。在学生认识到以长方形的某一条边为轴旋转会形成圆柱的基础上，引导学生思考按照这样的方法旋转，原来的长方形的长、宽与旋转而成的圆柱的底面和高有什么关系？从而感受平面图形与立体图形的转换。
例2．认识圆柱侧面展开图。引导学生动手实践，自主探究，发现圆柱侧面是一个长方形。之后，在一系列问题等的引领下，进一步激发学生探究的欲望，学生通过操作、验证、比较等，进一步发现圆柱侧面展开后的长方形的长、宽与圆柱的底面周长、高之间的关系，实现平面与曲面之间的转换。
例3．圆柱的表面积及其计算方法。教材借助学生对圆柱各部分组成的认识，引导学生自主探求圆柱的表面又哪些部分组成。从而得出圆柱表面积的计算方法。这种方法几何直观意义明确，便于学生理解，是计算表面积的基本方法，应人人掌握。教师还可以引导学生通过化曲为直得出另一种方法：圆柱表面积=底面周长×（高＋半径）。
针对计算过程中可能出现的困难，教材重点提示了圆柱的侧面积的计算，即实际就是求图中长方形的面积，以帮助学生将圆柱的底面半径（或直径）及圆柱的高，和圆柱侧面图形的长、宽建立联系，自行推导总结圆柱的侧面积=底面周长×高。
例4．圆柱表面积计算的应用。现实生活中有关圆柱表面积计算的情形复杂多变，需要根据具体的情况，确定求哪些面的面积之和。本例中的关键是将圆柱形厨师帽抽象为一个只有一个底的圆柱。这道题的计算结果，在取近似值时采用的是“进一法”，而非用“四舍五入”取近似值，因为只要是求所需的材料首先要考虑够用，所需的材料只可比计算结果多而不能少。
例5．圆柱体积公式的推导。教材首先从回顾旧知（长方体、正方体的体积计算）入手，引出圆柱体积的计算问题，并提出圆柱能否转化为已学过的立体图形来计算体积。如何转化？教材从将圆等分若干等份再拼成近似长方形这一原有知识经验作为思维的生长点，引导学生从平面的知识类推到立体的图形，即先将圆柱的底面分成许多相等的扇形，再把圆柱切开，拼成一个近似的长方体。继而让学生想象，等分成的份数越多，拼成的形体越接近长方体。根据小精灵的提示：把拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？引导学生观察与推理，得出转化前后的圆柱与长方体各部分之间的对应关系，推导出圆柱的体积计算公式的两种形式。
例6．用圆柱体积的计算公式解决实际问题。教材创设了一个生活的问题情境“这个杯子能不能装下这袋牛奶”，要解决这个问题，就先要计算杯子的容积，使学生感受计算的必要性。容器容积计算的方法与相应立体图形的体积计算方法相同，只是要注意从容器的内部去测量相关的数值。
例7．用圆柱体积计算公式解决问题。本例是修订版教材新增的一个问题解决例题。教材呈现了一个装了小半瓶水的矿泉水瓶，下部是圆柱形，上部是一个不规则的立体图形。给出了瓶子平置时水的高度和倒置时无水部分的高度，要求的是这个瓶子的容积。这是一个非常规数学问题，不是简单套用公式就可以解决的，但例题素材的选用更有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等诸方面的能力。
（二）圆锥
例1．认识圆锥的底面、侧面和高及其特征。首先，教材借助圆锥几何模型，引导学生观察认识圆锥的底面、侧面和高，并给出这些概念的定义及其主要特征。其次，着重介绍圆锥高的测量方法，并指出测量时需要注意的问题。最后，与圆柱的认识编排相似，为加深对圆锥的认识，安排了一个快速转动自制的“三角形”，看转出来的是什么形状，从旋转的角度认识圆锥，以促进学生空间观念的发展。
例2．圆锥体积计算公式的推导。首先引导学生思考，通过寻找圆柱、圆锥的共同点：底面都是圆等等，启发学生将圆锥的体积与圆柱的体积联系起来，激发学生对两者体积之间的大小关系进行猜测、探究。其次教材让学生准备好等底、等高的圆锥和圆柱，通过圆柱、圆锥相互倒沙子或水的实验，探究圆锥和圆柱体积之间的关系，由此得出圆锥体积的计算公式。
例3．圆锥体积的计算。与原实验教材相比，本例所求问题由求体积改为求体积、求重量两个问题。因此，在教学时应特别注意合理、正确利用题目中给出的信息，弄清所求问题。通过这个例子的教学，使学生初步学会解决一些与计算圆锥形物体的体积有关的实际问题。
五、教学建议
“刻画图形”、“空间观念”、“推理能力”构成了图形与几何教学的核心词，即学生在学习如何“刻画图形”的基础上，发展“空间观念”和“推理能力”。
1.在刻画图形中设计丰富的素材发展空间观念
“能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何形体与其他视图、展开图之间的转化”是空间观念的重要表现。因此，在教学中要为学生提供丰富的素材促进学生进行立体和平面的转化，从多角度、多元、多维地认识和理解图形的特征。
三维和二维的转化应包括以下几方面：
（1）不同角度的观察
在教学圆柱和圆锥的认识时，教师应引导学生利用实物从正面、侧面、上面等观察立体图形得到平面图形。
观察角度
圆柱
圆锥
上面

下面

侧面

或

或
（2）由平面图形形成立体图形
①圆形通过平移形成圆柱。
②长方形（正方形）绕长或宽旋转一周、绕中心轴旋转180度形成圆柱。
③直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥。
此外教材中也安排了平面图形旋转成立体图形的练习。

教师还可以拓展延伸，引导学生想象下面的图形是由哪个平面图形旋转而成的。

④用平面图形围成圆柱或圆锥
教学中，教师可以设计选择适合的图形围圆柱和圆锥的活动。学生很容易想到长方形和正方形纸可以围成圆柱，经过动手操作学生会发现其实平行四边形也能为成圆柱，丰富了学生对圆柱侧面展开图的认识。根据圆锥的侧面观察，学生会选三角形纸围圆锥，但经过实验发现实际上围不成。这时教师可以引导学生思考圆锥的侧面展开是什么形状的呢？培养学生的空间想象能力。学生猜想后进行验证，发现圆锥的侧面展开图实际上是扇形，加深学生对圆锥侧面的认识。
此外还可以让学生用一个圆分割成不同大小的扇形分别制作圆锥，先猜测制成的两个圆锥一样高吗？然后动手制作，制作后进行比较，再谈什么是圆锥的高。明确什么是高，什么是母线。同时发现当半径相等时，圆心角越大圆锥高越小，圆心角越小圆锥高越大。
（3）切分圆柱和圆锥

教材20页第4题使学生通过比较截面和侧面展开图，进一步丰富关于平面和立体之间关系的相关经验与知识，发展空间想象力。教学中教师可以设计对圆柱和圆锥的切分活动，引导学生想象截面的形状及与原图之间的关系。
切分方法
截面形状

或

或

在探索图形特征的过程中，要留给学生足够的实践、思考和讨论的时间，这不仅能使他们对图形的特征有更加深刻的理解，也将有利于积累丰富的直观经验和活动经验。
2.在探索侧面积、表面积和体积公式的过程中发展空间观念
（1）探究圆柱侧面积的计算方法——动手操作，发展空间观念
在探究圆柱侧面积计算方法时可以安排制作圆柱的活动，给一个侧面和不同的底面，选择合适的底面制作圆柱。也可以只给一张白纸，不给底面和侧面让学生自己制作圆柱。两种方案开放的程度不同，但都可以使学生体会到圆柱底面与侧面之间的关系。同时还可以安排相关的练习。

（2）探究圆柱表面积的计算方法——方法优化，发展空间观念
在进行圆柱表面积的教学时，圆柱表面积=圆柱的侧面积+两个底面面积的方法几何直观意义明确，便于学生理解，是计算表面积的基本方法，应人人掌握.但这种方法计算难度较大。教学中可以让学生去发现另外一种解决问题的办法，而这种办法使用了两次画曲为直。第一次是把侧面化为了长方形，第二次是把圆化为了长方形。而这种方法之所以简单，是因为它们转化后正好能形成一个新的长方形。除了动手操作外，我们还可以借助几何直观帮助学生进一步理解。从而得出结论：圆柱表面积=底面周长×（高＋半径）。但这种方法并不要求学生必须掌握。

（3）探究圆柱体积的计算方法——知识迁移，发展空间观念
由于学生已经掌握了长方体和正方体体积的计算方法以及圆面积公式的推导方法，因此在圆柱体积的教学中，可以唤醒学生原有认知经验，促进新知生长。引导学生自主探索圆柱体积的计算方法，可以提示：能不能将圆柱转化成我们学过的立体图形，计算出它的体积呢？然后组织学生通过操作：分割圆柱底面分成许多相等的扇形（由分割圆面拼成近似的长方形的启发），将圆柱切开拼成一个近似的长方体。然后进一步引导学生观察、比较、猜想、推断：“拼成的长方体与原来的圆柱比较，你能发现什么？”最终探究出圆柱的体积计算公式。
（4）探究圆锥体积的计算方法——实验证明，发展空间观念
在教学圆锥体积时，可以让学生进行猜想，等底等高的圆锥和圆柱体积具有怎样的关系？大多数学生会认为圆锥体积是等底等高的圆柱体积的。然后再组织学生开展实验活动进行验证，当推翻猜想后，教师还可以组织学生反思为什么圆锥体积不是等底等高的圆柱体积的，并通过画图、捏橡皮泥等活动加以说明。
在学完圆锥的体积计算后，还可以组织学生继续探究圆柱与圆锥在底面积、高、体积三个量中存在的关系：等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的三倍；等体积等高时，圆锥底面积是圆柱的三倍；等体积等底时，圆锥高是圆柱高的三倍。并配合画图帮助学生理解，进一步发展学生的空间观念。
3.在解决问题的过程中发展空间观念
有意义的学习应是以积极的心态，在自己已有的知识经验上对新问题积极主动的建构过程。在本单元的教学中，解决问题也是一个重要的内容。教师要设计好相关的教学活动，在解决问题的过程中促进学生空间观念的发展。
应用表面积解决问题时，由于很多实际物体的形状不同，表面的组成也不同，所以要让学生根据描述能想象出物体的形状，能画出直观图，还要能结合实际问题明确这个物体的结构，从而确定是求哪几部分的面积，这是把实际问题与基础知识建立联系的过程，是解决问题能力的培养。
在表面积的应用教学中，教师要引导学生经历这样的阅读与理解（想象、直观）、分析与解答（分析，标注思路）的过程。这个过程不能仅仅是停留在口头提问和应答及教师示范上，而是要落实在学生的学习过程中，真想、真画、真标、真写。包括后面学了体积后，一个问题中既求表面积，又求体积，同样还是需要这样的理解与分析的过程。如一台压路机的前轮是圆柱形，轮宽 2 m，直径1.2 m。前轮转动一周，压路的面积是多少平方米？在阅读与理解中，可以鼓励学生把头脑中想象的物体的样子画出来（直观），压路机的前轮就是一个圆柱。然后在图中画出对条件和问题的理解（可以画或标注），轮宽实际上是圆柱的高。求压路的面积是多少平方米实际上是求圆柱的侧面积。再引导学生回忆求圆柱侧面积的计算方法，并解决该问题。在回顾与反思的环节，教师要让学生回忆解决问题的过程与方法，使学生掌握文字信息——直观图——标注相关条件和问题——选择相应的方法解答，这样一个解决问题的流程，进而也就发展了学生的空间观念，培养了几何直观能力。
再如在教学例7时，可以设计如下环节：
环节一：教师直接出示一个空的矿泉水瓶，提问：这个矿泉水瓶的容积是多少？（学生可能无处着手，也可能会通过寻找标签上的“净含量”来代替矿泉水瓶的容积。）教师可在肯定学生思路的基础上，引导学生回顾容积的概念，并找到解决问题的方向：假如瓶子里灌满了水，把这些水倒出来，用量杯或量筒测出水的体积就可以求出瓶子的容积。
环节二：教师进一步提出要求：要是没有这些工具，甚至连一个玻璃杯都没有，只提供水和直尺，怎么办？通过出示存了一部分水的瓶子，引导学生思考：此时瓶子的容积可由哪两部分组成？使学生观察到瓶子的容积由水的体积和空气的体积两部分组成，其中水的体积可以通过测量出水的高度和瓶子的底面直径并计算得到，可是空气部分是一个不规则的立体图形，无法直接求出体积。
环节三：再让学生思考：能否将空气部分变成一个规则的立体图形呢？引导学生把瓶子倒置，利用水和空气的易变形性，把空气部分变成一个规则的立体图形。在瓶子倒置前后，水的体积不变，空气的体积不变，因此，瓶子的容积等于
倒置前水的体积加上倒置后空气的体积，这两部分体积都可以通过测量相关数据求得。
4. 挖掘教材习题的使用空间，发展学生的空间观念

教材第30页练习第15题习题呈现了四个面积相同但长、宽不同的长方形，把它们分别卷成圆柱时，这些长方形就是圆柱的侧面展开图，要求学生通过计算比较圆柱的体积。这四个长方形可以卷成七种不同的圆柱，学生通过动手制作，量取数据计算验证，在活动中发挥空间想象能力，引导学生发现规律：侧面积相同时，底面半径越大，体积越大。通过教学，帮助学生直观地找准长方形与圆柱之间的对应关系，进一步发展学生的空间观念，同时培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。近一步延伸学生对圆柱认知的范围，使学生在解决问题的过程中获得能力的提升。
总之，发展学生的“空间观念”是本单元教学的主线，我们要通过有效的数学活动引导学生体会图形与现实世界的密切联系，加强三维和二维的转化，发展学生的空间观念。