中考复习——圆的切线证明.doc

中考复习——《圆的切线证明》教学设计
佳荣中学 莫万灯
一、内容和内容解析
1.内容
新人教版教材九年级上册第24章。
2.内容解析
切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用，是几何学习中必不可少的知识和工具。切线的判定揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法。
结合教学实际及《课程标准》要求，我对教材内容略作了调整。当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单的问题。
（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
（4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程。
三、教学问题诊断分析
学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等。具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。学习本节课内容之前学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。因此，要结合教科书的问题进行说明 “垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式。除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也有重要作用。
部分学生仍然对几何证明题感到束手无策，具体表现在：一些证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容或具体运用的是哪条定理；在面对几何证明题时凭感觉，完全就不知道从何入手，缺乏分析思考问题的能力。或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形与定理之间的联系，思考时把定理和图形完全分割开来。
基于以上分析，本节课的教学难点是：切线的判定定理和定理的运用中，辅助线的添加方法。
四、教法与学法分析：
教法上：我主要采用以学案为载体的“五步三要素”教学模式（五步三要素的教学模式是课堂教学中的五个步骤和三个要素。五个步骤即自主学习、小展示、大展示、整理提升、当堂反馈；三个要素即自主、交流、验评。），充分发挥学生的主观能动性。本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题及合作交流的能力。因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，以学生自主学习为主，引导学生自主探究，教师赋予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性。
学法上：为了充分体现《课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法。根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作： 
（1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方。从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中灵活展现出来。 
（2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点。”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点做垂线证d=r。”
五、教学过程
（一）知识链接
1．直线与圆的三种位置关系是 。

2．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
（1）直线l和圆O相交 有 个公共点。
（2）直线l和圆O相切 有 个公共点。
（3）直线l和圆O相离 有 个公共点。
切线的判定方法：
（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
【设计意图】检测学生旧知的应用能力，为下一步学习铺垫。
（二）知识巩固
1.探究学习
（1）阅读课本内容，完成思考中的小题。
（2）根据上述切线的两个判定方法画一画

（3）归纳：切线的判定定理
①经过半径的外端②并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
命题改写：如果一条直线经过圆的半径的外端且与这条半径垂直，
那么这条直线是圆的切线。
符号表示：∵ OA是半径，OA⊥ l 于A
∴ l是⊙O的切线。
【设计意图】培养学生归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延；使学生树立几何学习应当关注：文字语言、图形语言、符号语言。
2.小测试
(1)新知辨识
①过半径的外端的直线是圆的切线。( )
②与半径垂直的的直线是圆的切线。( )
③过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。( )
④过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线。（ ）
【再次强调】用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
①直线经过半径的外端；
②直线与这条半径垂直。
【设计意图】巩固概念，让学生说理由，巩固对定理两个条件的认识，使学生掌握概念的本质，特别是树立切线的判定定理的基本图形，为下一环节的简单证明作铺垫。
（三）强化知识点
例1：1.Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，以点C为圆心，4.8cm为半径作⊙C。求证：AB和⊙C相切。

A
B
C

提示：考虑△ABC的面积，它既等于AC与BC乘积的一半，又等于AB与CD乘积的一半。

例2.已知：AP是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E. 求证：AC是⊙O的切线.
A
B
C
E
P
O

例3.如图，△ABC是等腰三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，AC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F. 求证：直线EF是⊙O的切线.
A
C
B
D
F
E
O

想一想：例2与例3的证法有什么不同?
（1）如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。
（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直
线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。
【设计意图】规范学生对定理的使用，引导学生认真审题，培养学生添加辅助线的能力。
（四）小结
1.判定圆的切线有哪些方法？
(1)定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
(2)数量（d = r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。
(3)定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.证明圆的切线时常用的辅助线有哪些？
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径
与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再
证垂线段长等于半径长。简记为：无交点 作垂直,证半径。
趁热打铁，拓展应用
例4: 已知:AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C，若D为AP的中点。
求证：直线CD是⊙O的切线

A
D
C
B
P
O
1
2
3
4

【设计意图】检验学生知识掌握的情况，分层次的检测，使所有的学生都体验成功的喜悦，
（五）教学效果预测
在这节课中，让学生在动手操作的合作探索过程中，发现并验证得定理，从而获得新知，让学生动手操作活跃了课堂气氛，调动了学生学习的积极性。在这节课设计中，学生能够充分的参与到课堂中来，从被动的接受学习转向主动的探究和发现学习，从而对定理的探究掌握的比较好，但对定理的应用过程中，仍有部分学生对几何证明题的书写过程存在一定的困难，这也是今后要强化的重点。综合考量，能够达到本节课的教学目标，收到较好的教学效果。