角平分线定理(一).doc

４．角平分线（一）
漳浦县古雷港教师：蔡兆太 班级：803 时间：20170222
一、学情分析
本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．
二、教学目标：
1、会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
2、进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力．
3、经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
三、教学难点：
重点：会证明角平分线的性质定理及其逆定理．
难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
四、教学过程：
1：情境引入
（1）我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，
即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
（2）用直尺和圆规画已知角的平分线及作图的依据讨论。
2：探究新知
（1）引导学生证明性质定理
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理。
（2）你能写出这个定理的逆命题吗?
我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
它是真命题吗? 你能证明它吗?
没有加“在角的内部”时，是假命题．
(由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)
证明如下：
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
3.巩固练习
综合利用角平分线的性质和判定、直角三角形的相关性质解决问题。进一步发展学生的推论证明能力。在学生独立完成推理过程的基础上，教师要给出书写示范
例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
（4）课本例题学习
4：随堂练习 课本第29页1、2题。
5：课堂小结
这节课证明了角平分线的性质定理和判定定理，在有角的平分线（或证明是角的平分线）时，过角平分线上的点向两边作垂线段，利用角平分线的判定或性质则使问题迅速得到解决。
6：课后作业：习题1．9第3,4题．

教学反思：
1、本节课采用“实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．
2、部分学生初学角平分线的性质定理和判定定理，容易将角平分线上的一点到这个角两边的距离误认为过这点垂直于角平分线的垂线段．因此在教学中先让学生通过画三角形纸片的折痕来充分认识这一点．
3、部分学生不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此不断通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识．学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而还没有自觉利用刚学过的定理来解决的习惯，这今后教学须强化运用。

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