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专题一 集合、逻辑与不等式
集合概念及其基本理论，是近代数学最基本的内容之一，集合的语言、思想、观点渗透于中学数学内容的各个分支．有关简易逻辑的常识与原理始终贯穿于数学的分析、推理与计算之中，学习关于逻辑的有关知识，可以使我们对数学的有关概念理解更透彻，表达更准确．不等式是高中数学的重点内容之一，是工具性很强的一部分内容，解不等式、不等式的性质等都有很重要的应用．
关注本专题内容在其他各专题中的应用是学习这一专题内容时要注意的．
§1－1 集 合
【知识要点】
1．集合中的元素具有确定性、互异性、无序性．
2．集合常用的两种表示方法：列举法和描述法，另外还有大写字母表示法，图示法(韦恩图)，一些数集也可以用区间的形式表示．
3．两类不同的关系：
(1)从属关系——元素与集合间的关系；
(2)包含关系——两个集合间的关系(相等是包含关系的特殊情况)．
4．集合的三种运算：交集、并集、补集．
【复习要求】
1．对于给定的集合能认识它表示什么集合．在中学常见的集合有两类：数集和点集．
2．能正确区分和表示元素与集合，集合与集合两类不同的关系．
3．掌握集合的交、并、补运算．能使用韦恩图表达集合的关系及运算．
4．把集合作为工具正确地表示函数的定义域、值域、方程与不等式的解集等．
【例题分析】
例1 给出下列六个关系：
(1)0∈N* (2)0{－1，1} (3)∈{0}
(4){0} (5){0}∈{0，1} (6){0}{0}
其中正确的关系是______．
解答：(2)(4)(6)
【评析】1．熟悉集合的常用符号：不含任何元素的集合叫做空集，记作；N表示自然数集；N＋或N*表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集．
2．明确元素与集合的关系及符号表示：如果a是集合A的元素，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，记作：aA．
3．明确集合与集合的关系及符号表示：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集．记作：AB或BA．
如果集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，那么，集合A叫做集合B的真子集．AB或BA．
4．子集的性质：
①任何集合都是它本身的子集：AA；
②空集是任何集合的子集：A；
提示：空集是任何非空集合的真子集．
③传递性：如果AB，BC，则AC；如果AB，BC，则AC．
例2 已知全集U＝{小于10的正整数}，其子集A，B满足条件(UA)∩(UB)＝{1，9}，A∩B＝{2}，B∩(UA)＝{4，6，8}．求集合A，B．
解：根据已知条件，得到如图1－1所示的韦恩图，
图1－1
于是，韦恩图中的阴影部分应填数字3，5，7．
故A＝{2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．
【评析】1、明确集合之间的运算
对于两个给定的集合A、B，由既属于A又属于B的所有元素构成的集合叫做A、B的交集．记作：A∩B．
对于两个给定的集合A、B，把它们所有的元素并在一起构成的集合叫做A、B的并集．记作：A∪B．
如果集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合叫做A在U中的补集．记作UA．
2、集合的交、并、补运算事实上是较为复杂的“且”、“或”、“非”的逻辑关系运算，而韦恩图可以将这种复杂的逻辑关系直观化，是解决集合运算问题的一个很好的工具，要习惯使用它解决问题，要有意识的利用它解决问题．
例3 设集合M＝{x｜－1≤x＜2}，N＝{x｜x＜a}．若M∩N＝，则实数a的取值范围是______．
答：(－∞，－1]．
【评析】本题可以通过数轴进行分析，要特别注意当a变化时是否能够取到区间端点的值．象韦恩图一样，数轴同样是解决集合运算问题的一个非常好的工具．
例4 设a，b∈R，集合，则b－a＝______．
【分析】因为，所以a＋b＝0或a＝0(舍去，否则没有意义)，
所以，a＋b＝0，＝－1，所以－1∈{1，a＋b，a}，a＝－1，
结合a＋b＝0，b＝1，所以b－a＝2．
练习1－1
一、选择题
1．给出下列关系：①；②Q；③｜－3｜N*；④．其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2．下列各式中，A与B表示同一集合的是( )
(A)A＝{(1，2)}，B＝{(2，1)} (B)A＝{1，2}，B＝{2，1}
(C)A＝{0}，B＝ (D)A＝{y｜y＝x2＋1}，B＝{x｜y＝x2＋1}
3．已知M＝{(x，y)｜x＞0且y＞0}，N＝{(x，y)｜xy＞0}，则M，N的关系是( )
(A)MN (B)NM (C)M＝N (D)M∩N＝
4．已知全集U＝N，集合A＝{x｜x＝2n，n∈N}，B＝{x｜x＝4n，n∈N}，则下式中正确的关系是( )
(A)U＝A∪B (B)U＝(UA)∪B (C)U＝A∪(UB) (D)U＝(UA)∪(UB)
二、填空题
5．已知集合A＝{x｜x＜－1或2≤x＜3}，B＝{x｜－2≤x＜4}，则A∪B＝______．
6．设M＝{1，2}，N＝{1，2，3}，P＝{c｜c＝a＋b，a∈M，b∈N}，则集合P中元素的个数为______．
7．设全集U＝R，A＝{x｜x≤－3或x≥2}，B＝{x｜－1＜x＜5}，则(UA)∩B＝______.
8．设集合S＝{a0，a1，a2，a3}，在S上定义运算为：aiaj＝ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3．则a2a3＝______；满足关系式(xx)a2＝a0的x(x∈S)的个数为______．
三、解答题
9．设集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，C＝{2，3，4}，求(A∩B)∪C．
10．设全集U＝{小于10的自然数}，集合A，B满足A∩B＝{2}，(UA)∩B＝{4，6，8}，(UA)∩(UB)＝{1，9}，求集合A和B．
11．已知集合A＝{x｜－2≤x≤4}，B＝{x｜x＞a}，
①A∩B≠，求实数a的取值范围；
②A∩B≠A，求实数a的取值范围；
③A∩B≠，且A∩B≠A，求实数a的取值范围．
§1－2 常用逻辑用语
【知识要点】
1．命题是可以判断真假的语句．
2．逻辑联结词有“或”“且”“非”．不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．
可以利用真值表判断复合命题的真假．
3．命题的四种形式
原命题：若p则q．逆命题：若q则p．否命题：若p，则q．逆否命题：若q，则p．注意区别“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价关系．
4．充要条件
如果pq，则p叫做q的充分条件，q叫做p的必要条件．
如果pq且qp，即qp则p叫做q的充要条件，同时，q也叫做p的充要条件．
5．全称量词与存在量词
【复习要求】
1．理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
2．了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．
3．理解全称量词与存在量词的意义．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
【例题分析】
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“p”形式的复合命题，并判断它们的真假．
(1)p：0∈N，q：1N；
(2)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线相互平分．
解：(1)p∨q：0∈N，或1N；
p∧q：0∈N，且1N；p：0N．
因为p真，q假，所以p∨q为真，p∧q为假，p为假．
(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或相互平分．
p∧q：平行四边形的对角线相等且相互平分．
p：存在平行四边形对角线不相等．
因为p假，q真，所以p∨q为真，p∧q为假，p为真．
【评析】判断复合命题的真假可以借助真值表．
例2 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假．
(1)若a2＋b2＝0，则ab＝0；
(2)若A∩B＝A，则AB．
解：(1)逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题．
否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题．
逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题．
(2)逆命题：若AB，则A∩B＝A；是真命题．
否命题：若A∩B≠A，则A不是B的真子集；是真命题．
逆否命题：若A不是B的真子集，则A∩B≠A．是假命题．
评述：原命题与逆否命题互为逆否命题，同真同假；逆命题与逆否命题也是互为逆否命题．
例3 指出下列语句中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：(x－2)(x－3)＝0；q：x＝2；
(2)p：a≥2；q：a≠0．
【分析】由定义知，若pq且qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq且qp，则p是q的必要不充分条件；
若pq且qp，p与q互为充要条件．
于是可得(1)中p是q的必要不充分条件；q是p的充分不必要条件．
(2)中p是q的充分不必要条件；q是p的必要不充分条件．
【评析】判断充分条件和必要条件，首先要搞清楚哪个是条件哪个是结论，剩下的问题就是判断p与q之间谁能推出谁了．
例4 设集合M＝{x｜x＞2}，N＝{x｜x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)非充分条件也非必要条件
解：条件p：x∈M或x∈N，即为x∈R；条件q：x∈M∩N，即为{x∈R｜2＜x＜3}．
又R{x∈R｜2＜x＜3}，且{x∈R｜2＜x＜3}R，所以p是q的必要非充分条件，选B．
【评析】当条件p和q以集合的形式表现时，可用下面的方法判断充分性与必要性：设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，若AB且BA，则p是q的充分非必要条件；若AB且BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p与q互为充要条件．
例5 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )
(A)不存在x∈R，x3－x2＋1≤0， (B)存在x∈R，x3－x2＋1≤0
(C)存在x∈R，x3－x2＋1＞0 (D)对任意的x∈R，x3－x2＋1＞0
【分析】这是一个全称命题，它的否定是一个特称命题．其否定为“存在x∈R，x3－x2＋1＞0．”
答：选C．
【评析】注意全(特)称命题的否定是将全称量词改为存在量词(或将存在量词改为全称量词)，并把结论否定．
练习1－2
一、选择题
1．下列四个命题中的真命题为( )
(A)x∈Z，1＜4x＜3 (B)x∈Z，3x－1＝0
(C)x∈R，x2－1＝0 (D)x∈R，x2＋2x＋2＞0
2．如果“p或q”与“非p”都是真命题，那么( )
(A)q一定是真命题 (B)q不一定是真命题
(C)p不一定是假命题 (D)p与q的真假相同
3．已知a为正数，则“a＞b”是“b为负数”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4．“A是B的子集”可以用下列数学语言表达：“若对任意的x∈Ax∈B，则称AB”．那么“A不是B的子集”可用数学语言表达为( )
(A)若x∈A但xB，则称A不是B的子集
(B)若x∈A但xB，则称A不是B的子集
(C)若xA但x∈B，则称A不是B的子集
(D)若xA但x∈B，则称A不是B的子集
二、填空题
5．“p是真命题”是“p∨q是假命题的”__________________条件．
6．命题“若x＜－1，则｜x｜＞1”的逆否命题为_________．
7．已知集合A，B是全集U的子集，则“AB”是“UBUA”的______条件．
8．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①AB对任意x∈A，有xB ②ABA∩B＝
③ABAB ④AB存在x∈A，使得xB
其中真命题的序号是______．(把符合要求的命题序号都填上)
三、解答题
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题并判断其真假：
(1)指数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除又能被5整除；
(3)x∈{x｜x∈Z}，log2x＞0；
(4)
10．已知实数a，b∈R．试写出命题：“a2＋b2＝0，则ab＝0”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断四个命题的真假，说明判断的理由．
§1－3 不等式(含推理与证明)
【知识要点】
1．不等式的性质．
(1)如果a＞b，那么b＜a；
(2)如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；
(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c(如果a＋c＞b，那么a＞b－c)；
(4)如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d；
(5)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc；
(6)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd；
(7)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N＋，n＞1)；
(8)如果a＞b＞0，那么；
2．进行不等式关系判断时常用到的实数的性质：
若a∈R，则．
3．会解一元一次不等式，一元二次不等式，简单的分式不等式、绝对值不等式．简单的含参数的不等式．
4．均值定理：如果a、b∈R＋，那么当且仅当a＝b时，式中等号成立．
其他常用的基本不等式：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab，(a－b)2≥0．
如果a、b同号，那么
5．合情推理之归纳推理与类比推理；演绎推理；综合法、分析法与反证法．
【复习要求】
1．运用不等式的性质解决以下几类问题：
(1)根据给定的条件，判断给出的不等式能否成立；
(2)利用不等式的性质，实数的性质以及函数的有关性质判断实数值的大小关系；
(3)利用不等式的性质等判断不等式变换中条件与结论间的充分必要关系．
2．熟练掌握一元一次不等式，一元二次不等式、简单的分式不等式、绝对值不等式的解法．并会解简单的含参数的不等式．
3．了解合情推理和演绎推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．能较为灵活的运用综合法、分析法与反证法证明数学问题．熟练运用比较法比较数与式之间的大小关系．
比较法：常有“作差比较法”和“作商比较法”；
综合法：从已知推导致结果的思维方法；
分析法：从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法；
反证法：由证明pq转向证明qr…t，而t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定q为假，进而推出q为真的方法，叫做反证法．
一般来讲，由分析法得到的证明思路往往用综合法的方式来书写．
【例题分析】
例1 若a＞b＞c，则一定成立的不等式是( )
A．a｜c｜＞b｜c｜ B．ab＞ac C．a－｜c｜＞b－｜c｜ D．
【分析】关于选项A．当c＝0时，a｜c｜＞b｜c｜不成立．
关于选项B．当a＜0时，ab＞ac不成立．
关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a－｜c｜＞b－｜c｜，正确．
关于选项D．当a＞b＞0＞c时，不成立．所以，选C．
例2 a，b∈R，下列命题中的真命题是( )
A．若a＞b，则｜a｜＞｜b｜ B．若a＞b，则
C．若a＞b，则a3＞b3 D．若a＞b，则
【分析】关于选项A．当a＝－1，b＝－2时，｜a｜＞｜b｜不成立．
关于选项B．当a＞0，b＜0时，不成立．
关于选项C．因为a＞b，根据不等式的性质a3＞b3，正确．
关于选项D．当b＜0时，不成立．所以，选C．
【评析】判断不等关系的正误，其一要掌握判断的依据，依据相关的理论判断，切忌仅凭感觉进行判断；其二要掌握判断的方法．
判断不等式的理论依据参看本节的知识要点，另外，后面专题讲到的函数的相关知识尤其是函数的单调性也是解决不等式问题的非常重要的方法．
判断一个不等式是正确的，就应该给出一个合理的证明(或说明)，就像例1、例2对正确的选项判断那样．判断一个不等式是不正确的，应举出反例．
例3 解下列不等式：
(1)x2－x－1＞0；(2)x2－3x＋2＞0；(3)2x2－3x＋1≤0；
(4)(5)｜2x－1｜＜3；(6)
解：(1)方程x2－x－1＝0的两个根是结合函数y＝x2－x－1的图象，可得不等式x2－x－1＞0的解集为
(2)不等式x2－3x＋2＞0等价于(x－1)(x－2)＞0，
易知方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1＝1，x2＝2，
结合函数y＝x2－3x＋2的图象，可得不等式x2－3x＋2＞0的解集为{x｜x＜1或x＞2}．
(3)不等式2x2－3x＋1≤0等价于(2x－1)(x－1)≤0，以下同(2)的解法，
可得不等式的解集为
(4)等价于(x－1)(x－2)＞0，以下同(2)的解法，可得不等式的解集为{x｜x＜1或x＞2}．
(5)不等式｜2x－1｜＜3等价于－3＜2x－1＜3，所以－2＜2x＜4，即－1＜x＜2，所以不等式｜2x－1｜＜3的解集为{x｜－1≤x＜2}．
(6)不等式可以整理为
等价于以下同(4)的解法，可得不等式的解集为{x｜－1≤x＜2}．
【评析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要熟练掌握．其他不等式的解法适当掌握．
1．利用不等式的性质可以解一元一次不等式．
2．解一元二次不等式要注意函数、方程、不等式三者之间的联系，通过研究与一元二次不等式相对应的一元二次方程的根的情况、进而结合相应的二次函数的图象就可以解决一元二次不等式解集的问题了．
所以，解一元二次不等式的步骤为：计算二次不等式相应的方程的判别式；求出相应的一元二次方程的根(或根据判别式说明无根)；画出相应的二次函数的简图；根据简图写出二次不等式的解集．
3、不等式与(x－a)(x－b)＞0同解；不等式与(x－a)(x－b)＜0同解；
4*、不等式｜f(x)｜＜c与－c＜f(x)＜c同解；不等式｜f(x)｜＞c与“f(x)＞c或f(x)＜－c”同解．在解简单的分式不等式时要注意细节，例如(5)题关于“≤”号的处理．
例4 解下列关于x的不等式；
(1)ax＋3＜2；(2)x2－6ax＋5a2≤0．
解：(1)由ax＋3＜2得ax＜－1，
当a＝0时，不等式解集为；
当a＞0时，不等式解集为；
当a＜0时，不等式解集为．
(2)x2－6ax＋5a2≤0等价于不等式(x－a)(x－5a)≤0，
当a＝0时，不等式解集为{x｜x＝0}；
当a＞0时，不等式解集为{x｜a≤x≤5a}；
当a＜0时，不等式解集为{x｜5a≤x≤a}．
【评析】含参数的不等式的解法与不含参数的不等式的解法、步骤是完全一致的．
要注意的是，当进行到某一步骤具有不确定性时，需要进行分类讨论．
如(2)的解决过程中，当解出方程(x－a)(x－5a)＝0的两根为x1＝a，x2＝5a之后，需要画出二次函数y＝x2－6ax＋5a2的草图，这时两根a与5a的大小不定，需要讨论，当分a＝0，a＞0，a＜0三种情况之后，就可以在各自情况下确定a与5a的大小，画出二次函数y＝x2－6ax＋5a2的草图写出解集了．
例5 已知a＞b＞0，c＜d＜0，m＜0．求证：
证明：方法一(作差比较)
由已知b－a＜0，c－d＜0，又m＜0，所以m[(b－a)＋(c－d)]＞0，
因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a－c＞0，b－d＞0，
所以，所以
方法二
因为c＜d＜0，所以c－d＜0，
又a＞b＞0，所以a－b＞0，所以a－b＞c－d，所以a－c＞b－d＞0，
所以，又因为m＜0，所以
例6 已知a＋b＋c＝0，a＞b＞c，求证：(1)a＞0；(2)
证明：(1)假设a≤0，因为a＞b＞c，所以b＜0，c＜0．
所以a＋b＋c＜0，与a＋b＋c＝0矛盾．
(2)因为b＝－a－c，a＞b，所以，
所以2a＞－c，又a＞0，所以，所以
例7 已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于.
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a均大于，
即
因为a，b，c∈(0，1)，所以1－a，1－b，1－c∈(0，1)，
所以，同理(1－b)＋c＞1，(1－c)＋a＞1，
所以(1－a)＋b＋(1－b)＋c＋(1－c)＋a＞3，即0＞0，矛盾．
所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于．
【评析】证明常用的方法有比较法、综合法、分析法与反证法等．证明不等式也是如此．
1、例5中的方法一所用到的比较法从思维、书写的角度都较为容易，也相对易于把握，要熟练掌握．
2、例5中的方法二所用到的综合法是一般证明题常用的方法，其书写方法简明、易读，但要注意的是，这样的题的思路常常是分析法．
比如，例5中的方法二的思路我们可以认为是这样得到的：欲证只需证明m(b－d)＞m(a－c)(因为b－d＞0，a－c＞0)，即只需证明b－d＜a－c，即只需证明a－b＞c－d，
而由已知a－b＞0，c－d＜0，所以可以循着这个思路按照相反的顺序书写．所以，在很多情况下，分析法更是思考问题的方法，而综合法更是一种书写方法．
3、适合用反证法证明的常见的命题一般是非常显而易见的问题(如例6(1))、否定式的命题、存在性的命题、含至多至少等字样的命题(如例7)等等．
证明的步骤一般是：(1)假设结论的反面是正确的；(2)推出矛盾的结论；(3)得出原来命题正确的结论．
例8 根据图中图形及相应点的个数找规律，第8个图形相应的点数为______．
【分析】第一个图有1行，每行有1＋2个点；
第二个图有2行，每行有2＋2个点；
第三个图有3行，每行有3＋2个点；
……
第八个图有8行，每行有8＋2个点，所以共有8×10＝80个点．
答：80．
练习1－3
一、选择题
1．若则下列各式正确的是( )
(A)a＞b (B)a＜b (C)a2＞b2 (D)
2．已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是( )
(A)a2＜b2 (B)a2b＜ab2 (C) (D)
3．已知A＝{x｜｜x｜＜a}，B＝{x｜x＞1}，且A∩B＝，则a的取值范围是( )
(A){a｜a≤1} (B){a｜0≤a≤1} (C){a｜a＜1} (D){a｜0＜a＜1}
4．设集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的Si＝{ai，bi}、Sj＝{aj，bj}(i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k})都有，(min{x，y}表示两个数x，y中的较小者)，则k的最大值是( )
(A)10 (B)11 (C)12 (D)13
二、填空题
5．已知数列{an}的第一项a1＝1，且，请计算出这个数列的前几项，并据此归纳出这个数列的通项公式an＝______．
6．不等式x2－5x＋6＜0的解集为____________．
7．设集合A＝{x∈R｜｜x｜＜4}，B＝{x∈R｜x2－4x＋3＞0}，则集合{x∈R｜x∈A，且xA∩B}＝____________．
8．设a∈R且a≠0，给出下面4个式子：
①a3＋1；②a2－2a＋2；③；④
其中恒大于1的是______．(写出所有满足条件式子的序号)
三、解答题
9．解下列不等式：
(1)2x2＋x＞0；(2)x2＋3x＋1＜0；(3)；(4)｜2－x｜＜3；(5).
10．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0．
11．解下列关于x的不等式：
(1)x2－2ax－3a2＜0；(2)ax2－x＞0；
习题1
一、选择题
1．命题“若x是正数，则x＝｜x｜”的否命题是( )
(A)若x是正数，则x≠｜x｜ (B)若x不是正数，则x＝｜x｜
(C)若x是负数，则x≠｜x｜ (D)若x不是正数，则x≠｜x｜
2．若集合M、N、P是全集U的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
(A)(M∩N)∪P (B)(M∩N)∩P
(C)(M∩N)∪(UP) (D)(M∩N)∩(UP)
3．“”是“对任意的正数”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
4．已知集合P＝{1，4，9，16，25，…}，若定义运算“&”满足：“若a∈P，b∈P，则a&b∈P”，则运算“&”可以是( )
(A)加法 (B)减法 (C)乘法 (D)除法
5．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )
(A)ab＞ac (B)c(b－a)＜0 (C)cb2＜ab2 (D)ac(a－c)＜0
二、填空题
6．若全集U＝{0，1，2，3}且UA＝{2}，则集合A＝______．
7．命题“x∈A，但xA∪B”的否定是____________．
8．已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则B＝____________．
9．已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＜0}，B＝{x｜x＜a}，若AB，则实数a的取值范围是____________．
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；
④a2＋b2＞2；⑤ab＞1，
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(写出所有正确条件的序号)
三、解答题
11．解不等式
12．若0＜a＜b且a＋b＝1．
(1)求b的取值范围；
(2)试判断b与a2＋b2的大小．
13．设a≠b，解关于x的不等式：a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2．
14．设数集A满足条件：①AR；②0A且1A；③若a∈A，则
(1)若2∈A，则A中至少有多少个元素；
(2)证明：A中不可能只有一个元素．
专题一 集合、逻辑与不等式参考答案
练习1－1
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．C
提示：
4．集合A表示非负偶数集，集合B表示能被4整除的自然数集，所以{正奇数}(UB)，从而U＝A∪(UB)．
二、填空题
5．{x｜x＜4} 6．4个 7．{x｜－1＜x＜2} 8．a1；2个(x为a1或a3)．
三、解答题
9．(A∩B)∪C＝{1，2，3，4}
10．分析：画如图所示的韦恩图：得A＝{0，2，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．
11．答：①a＜4；②a≥－2；③－2≤a＜4
提示：画数轴分析，注意a可否取到“临界值”．
练习1－2
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．B
二、填空题
5．必要不充分条件 6．若｜x｜≤1，则x≥－1 7．充要条件 8．④
提示：
8．因为AB，即对任意x∈A，有x∈B．根据逻辑知识知，AB，即为④．
另外，也可以通过文氏图来判断．
三、解答题
9．答：(1)全称命题，真命题．(2)特称命题，真命题．
(3)特称命题，真命题；(4)全称命题，真命题．
10．略解：答：逆命题：若ab＝0，则a2＋b2＝0；是假命题；例如a＝0，b＝1
否命题：若a2＋b2≠0，则ab≠0；是假命题；例如a＝0，b＝1
逆否命题：若ab≠0，则a2＋b2≠0；是真命题；因为若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，所以ab＝0，即原命题是真命题，所以其逆否命题为真命题．
练习1－3
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B
二、填空题
5． 6．{x｜2＜x＜3} 7．{x∈R｜1≤x≤3｜ 8．④
三、解答题
9．答：(1)；(2)；
(3)；(4){x｜－1＜x＜5}；(5)．
10．证明：ab＋bc＋ca＝b(a＋c)＋ac＝－(a＋c)(a＋c)＋ac＝－a2－ac－c2
所以ab＋bc＋ca≤0．
11．解：(1)原不等式(x＋a)(x－3a)＜0．
分三种情况讨论：
①当a＜0时，解集为{x｜3a＜x＜－a}；
②当a＝0时，原不等式x2＜0，解集为；
③当a＞0时，解集为{x｜－a＜x＜3a}．
(2)不等式ax2－x＞0x(ax－1)＞0．
分三种情况讨论：
①当a＝0时，原不等式－x＞0，解集为{x｜x＜0}；
②当a＞0时，x(ax－1)＞0x(x－)＞0，解集为；
③当a＜0时，x(ax－1)＞0x(x－)＜0，解集为．
习题1
一、选择题
1．D 2．D 3．A 4．C 5．C
提示：
5．A正确．B不正确．D．正确．
当b≠0时，C正确；当b＝0时，C不正确，∴C不一定成立．
二、填空题
6．{0，1，3} 7．x∈A，x∈A∪B 8．{0，1，2} 9．{a｜a≥2} 10．③．
提示：
10、均可用举反例的方式说明①②④⑤不正确．
对于③：若a、b均小于等于1．即，a≤1，b≤1，则a＋b≤2，与a＋b＞2矛盾，所以③正确．
三、解答题
11．解：不等式即
所以，此不等式等价于x(2x－1)＞0，解得x＜0或，
所以，原不等式的解集为{x｜x＜0或}．
12．解：(1)由a＋b＝1得a＝1－b，因为0＜a＜b，
所以1－b＞0且1－b＜b，所以
(2)a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝2b2－3b＋1＝
因为，所以
即a2＋b2＜b．
13．解：原不等式化为(a2－b2)x＋b2≥(a－b)2x2＋2b(a－b)x＋b2，
移项整理，得(a－b)2(x2－x)≤0．
因为a≠b，故(a－b)2＞0，所以x2－x≤0．
故不等式的解集为{x｜0≤x≤1}．
14．解：(1)若2∈A，则
∴A中至少有－1，，2三个元素．
(2)假设A中只有一个元素，设这个元素为a，由已知，则．即a2－a＋1＝0，此方程无解，这与A中有一个元素a矛盾，所以A中不可能只有一个元素．
专题二 函 数
函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．
§2－1 函 数
【知识要点】
要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．
2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．
其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．
3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．
【复习要求】
1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．
2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．
3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．
4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．
【例题分析】
例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．
【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．
所以，2的象是22＋2＝6；
设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．
由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．
例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．
【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．
所以f(1)＝3．
又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，
当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；
当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．
综上，a＝0或a＝3．
例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
(A) (B)
(C) (D)
【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例4 求下列函数的定义域
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．
所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．
(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．
所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．
(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，
所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}
(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．
所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．
例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．
【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．
例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．
解：根据题意，AB＝2x．
所以，
根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解
所以，所求函数定义域为
【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．
(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．
中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tanx，则，k
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