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最短时间控制系统设计

目录
摘要 1
第1章 数学模型建立 2
1.1最小（大）值原理 2
1.2线性定常系数最小时间控制问题的概述 3
1.3惯性的最小时间控制 7
第2章 控制器的设计 11
2.1控制器参数计算 11
第3章 系统仿真过程 12
3.1simulink简介 12
第4章 结果分析及结论 13
总结 13
参考文献 14

摘要
一般来说，不同的控制作用会使系统沿着不同的途径(即轨线)运行，但究竟哪一条途径为最佳，是由目标函数(即性能指标泛函)规定的。因此，不同的目标函数有不同的“最优”含义。而且，对于不同的系统其要求也各不相同。例如在机床加工中可以要求加工成本最小为最优，在导弹飞行控制中可以燃料消耗最少为最优，在截击问题中可选时间最短为最优等。因此，最优指的是使某一选定的性能指标泛函最小为依据的。
最小时间控制系统也称快速系统，它在导弹、宇航飞船的姿态控制方面应用很广泛。如果航天器的姿态受到某种扰动而偏离了给定的平衡状态，当偏离幅度不超过控制所许可的范围时，在最短时间内，控制航天器的姿态能恢复到给定的平衡状态，这就是最小时间控制的概念。最小时间控制又是极小值原理应用的范例。

关键词： 目标泛函 最优控制 最短时间控制

第1章 数学模型建立
1.1最小（大）值原理
所谓最小(大)值原理，是指当控制作用的大小限制在一定范围时，由最优控制规律所确定的最优轨线在整个作用范围内必取一最小(或最大)值。
按定义最小(大)值的原理可表示如下。

或者可写作

式中右上角加注“*”号者表示符合最优条件的、、。不加“*”号的表示不同于最优控制的任一控制。上式的含义是：当、 为、 时，若亦为，则由它们构成的哈密尔顿函数在整个控制时间内必取最小值。
上述最小值原理可以粗略地做如下解释。
设上述哈密尔顿函数中的变元、均已选定，则在区间只有一个变元。由前述极值条件知，当满足条件时，有一个局部的极小值。如图6.5(a)所示。但如果曲线如图6.5(b)所示，则满足条件时，并不取最小值。
可见，最小值原理所包括的控制范围比起前面所讲的极值条件要广阔得多。因此，在求的最小值时，除满足
（1）
另外，还需满足另设的充分条件。
（2）（正定的）。
上式表示对的二次偏导必须大于零，称做勒让德条件。

图几 当时的哈密尔顿函数
（3） 在时间范围内没有使为不定值的共轭点存在。这一限制称雅克比条件。

1.2线性定常系数最小时间控制问题的概述
设n阶线性定常系统
状态方程
初始状态
终端状态
该系统控制向量受不等式
，
的约束。
寻求最优控制，使系统从已知的初始状态转移到终端状态，自由，并使性能指标

为极小。
说明： ，可以通过变换。
若终端为，令可化为，这实际上是时间最优的调解器问题。
构造哈密尔顿函数

根据极小值原理，最小时间控制问题的必要条件为：
正则方程

（5）
边界条件
，
横截条件

设其中，为的列向量。
则（5）的最后一项为

=
=
=
在约束条件下的最优控制为

令。
由此可知，当时，可以找出确定的，并且它们都为容许控制的边
界值。当穿过零点时，由一个边界值切换到另一个边界值。如果在某一时间区间内保持为零，则为不确定值，这种情况称为奇异问题或非平凡问题，相应的时间区段称为奇异区段。当整个时间区间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问题或平凡问题。对于平凡问题，有以下几个定义及定理：
1） Bang-Bang原理
若线性定常系统属于平凡情况，则其最短时间控制为

的的各个分量都是时间的分段恒值函数，并均取边界值，而且不断地从一个边界值切换到另一个边界值，称此为 Bang- Bang 原理。
2） 最短时间控制存在定理
若线性定常系统完全能控，矩阵的特征值均具有非正实部，控制变量满足不等式约束，则最短时间控制存在。
3） 系统平凡的充要条件
当且仅当个矩阵

中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡的（注意：只要有一个为奇异矩阵，系统都是奇异的）。
4） 最短时间控制的唯一性原理
若线性定常系统
属于平凡情况，若时间最优控制存在，则必定是唯一的。
5） 开关次数定理
设线性定常系统
是平凡的，时间最优控制存在且各分量为。则切换次数最多不超过次（是系统的维数）。

如图6.6(a)表明正常最小时间控制问题或称平凡最小时间问题，即biTλ(t)只有有限个孤立零点,ui在这些零点发生跳变。又ui在两边界来回取值，这是继电器型控制，故称Bang-Bang 控制。
图 6.6(b)是奇异控制问题，因为在区间[t1,t2 ] 上，无法确定最优控制ui。奇异控制问题并不意味着不存在最优控制，只是根据最小值原理无法确定最优控制，这个问题在这里不做讨论。
下面讨论奇异控制和平凡控制充要条件。
设[t1,t2 ] 是奇异区域，在这区间有

对上式求一阶、二阶、…、n－1 阶导数，并代入(6.74)，有

图 平凡最优控制与奇异最优控制
经整理后写成矩阵的形式有

令

则式(6.79)可写成为

从式(6.78)可以看出λ(t)≠0，否则将出现1=0，而式(6.80)有非零解的必要条件是是奇异矩阵。换句话说，当系统有某一个是奇异矩阵，则发生奇异控制，当所有的(i =1,2,,m )都是非奇异的，则是平凡控制。事实上，是系统对某一控制分量的能控矩阵，当系统对某一控制分量ui不是完全能控时，则最小时间控制问题是奇异的。当系统对所有控制分量 ui 都是完全能控，也就是说每一个ui都能将系统从转移到，则最小时间控制是平凡的。当系统是完全能控时，不一定不发生奇异控制，
当系统不是完全能控时，一定发生奇异。
限于篇幅不作证明，下面给出本节所论述的线性定常系统最小时
的一些问题。
(1)当且仅当m个n×n矩阵 Gi中至少有一个是奇异的，则最小时间控制问题是奇异的。
(2)当m 个n×n矩阵Gi(i=1,2,,m)都是非奇异的，则最小时间控制问题是正常的或称平凡的。
(3)若最小时间控制问题是正常的，且最小时间控制存在必定唯一。
(4)若最小时间控制问题是正常的，且A的特征值都是实数，则ui(i =1,2,,m的切换次数不超过n-1次。
(5)渐近稳定系统,若控制，则一定存在最小时间控制。

1.3惯性的最小时间控制
这是一阶系统，其相应的微分方程为

取状态变量

得状态方程

其特征值为，为渐进稳定系统，故存在最小时间控制。又特征值为实数，且，不发生切换，最优控制取+1或-1.究竟取+1还是-1取决于。
考察系统状态方程的解

解之有

当

当

对于u=和u=-1，又分别有x0>0和x0<0两种情况，如下图所示。

根据最小时间控制要求,上图中只有（b）和（c）可实现。即
当。
当。
根据式（6.81）、式（6.82）可算最小时间tf*。
当

得
当u=-1，x0>0

得
综合起来有 u*=1 &x<0-1 &x>0

当x(t)达到原点后，需,否则x(t)将偏离原点。

第2章 控制器的设计
2.1控制器参数计算
已知系统的状态方程为：，可转换为
给定端点约束条件为：
[解]：由于是最短时间控制可得目标函数为 。
控制约束为
构造哈密尔顿函数

状态方程为
伴随方程

解得
控制方程
边界条件
将边界条件带入状态方程得

由于控制作用只能取1或-1，因此有
时，状态方程的解为

消去中间变量t，可得相应的最优轨线方程：

时，状态方程的解为

消去中间变量t，可得相应的最优轨线方程：

（注：例6.4的Simulink仿真详见6.7节）

第3章 系统仿真过程
3.1simulink简介
Simulink是Matlab软件下的一个附加组件，是一个用来对动态系统进行建模、仿真和分析的MATLAB软件包。支持连续、离散以及两者混合的线性和非线性系统，同时它也支持具有不同部分拥有不同采样率的多种采样速率的仿真系统。在其下提供了丰富的仿真模块。其主要功能是实现动态系统建模、方针与分析，可以预先对系统进行仿真分析，按仿真的最佳效果来调试及整定控制系统的参数。Simulink仿真与分析的主要步骤按先后顺序为为:从模块库中选择所需要的基本功能模块，建立结构图模型，设置仿真参数，进行动态仿真并观看输出结果，针对输出结果进行分析和比较。Simulink模块库提供了丰富的描述系统特性的典型环节，有信号源模块库(Source) ,接收模块库（Sinks），连续系统模块库（Continuous），离散系统模块库（Discrete），非连续系统模块库（Signal Routing），信号属性模块库（Signal Attributes），数学运算模块库（Math Operations），逻辑和位操作库（Logic and Bit Operations）等等，此外还有一些特定学科仿真的工具箱。
Simulink为用户提供了一个图形化的用户界面（GUI）。对于用方框图表示的系统，通过图形界面，利用鼠标单击和拖拉方式，建立系统模型就像用铅笔在纸上绘制系统的方框图一样简单，它与用微分方程和差分方程建模的传统仿真软件包相比，具有更直观、更方便、更灵活的优点。不但实现了可视化的动态仿真，也实现了与MATLAB、C或者FORTRAN语言，甚至和硬件之间的数据传递，大大扩展了它的功能。

第4章 结果分析及结论
控制信号的确定：当控制信号：有
；
因此
；
同样，当时，有
；
式中，是积分常数，不同的数据对应于不同的切换轨线图6.13中标有和的切换轨线是最终的切换轨线，它表示在任意的初始状态下，总要通过其中一条最终切换轨线达到平衡点(原点)。切换发生在该曲线上，凡是在切换后从的切换曲线到达平衡点的，它的开始曲线应取 ，即取的区域，反之，凡是在切换后从的切换曲线到达平衡点的，它的开始曲线应取 ，即取的区域。从某一初始点开始，如该点位于的区域，则控制作用为 ，沿开口向左的切换曲线移动到的切换轨线到达平衡点。如该点位于的区域，则控制作用为 ，沿开口向右的切换曲线移动到的切换
轨线，在交点处切换成 ，沿C-的切换轨线到达平衡点。和的切换曲线用方程表示为

或表示

因此，最终切换轨线将根据 的值确定，的区域，其值小于0，的区域其值大于0。在控制系统框图中，用模块对X2信号取绝对值，用×完成X2和其绝对值的乘积，用Sum完成计算 的值，当其值大于0，则控制信号取－1，当其值小于0，则控制信号取1。C1和C2用于提供控制信号，由进行选择。

仿真结果显示如图6.14所示。图中，状态初始点在X10=2，X20=－3处。既位于的区域，其值小于0，则控制信号取1，然后状态变量沿着切换轨线移动到的切换轨线时，控制信号切换成－1，并 沿的切换轨线到达平衡点。改变初始状态数据将影响最优状态的轨线。图1显示从初始点开始的状态轨线，控制信号轨线和切换时间。切换时间发生在6.28s，该控制系统在最优控制作用下以最短时间8.88s到达平衡点

图1
总结
课程设计心得体会
1、 课程设计心得体会 通过自动控制原理课程设计，加强了我们动手、思考和解决问题的能力。这个方案使用了Matlab软件，使我们有掌握了一个软件的应用。 我觉得做课程设计同时也是对课本知识的巩固和加强，由于课本上的知识太多，平时课间的学习并不能很好的理解和运用各个原理的功能，而且考试内容有限，所以在这次课程设计过程中，我们了解了很多原理的功能。平时看课本时，有时问题老是弄不懂，做完课程设计，那些问题就迎刃而解了。而且还可以记住很多东西。认识来源于实践，实践是认识的动力和最终目的，实践是检验真理的唯一标准。所以这个期末的课程设计对我们的作用是非常大的。 我想说，设计确实有些困难，但苦中也有乐，在如今单一的理论学习中，很少有机会能有实践的机会。也许有人不喜欢这类的工作，也许有人认为设计的工作有些枯燥，但我认为无论干什么，只要认真去做，一定会有好结果的。对我们而言，知识上的收获重要，精神上的丰收更加可喜。挫折是一份财富，经历是一份拥有。 虽然不是第一次做课程设计了，但是设计的过程中遇到问题，可以说得是困难重重，难免会遇到过各种各样的问题，同时在设计的过程中发现了自己的不足之处，对以前所学过的知识理解得不够深刻，掌握得不够牢固。这次课程设计终于顺利完成了，在设计中遇到了很多专业知识问题，通过这次课程设计使我懂得了理论与实际相结合是很重要的，只有理论知识是远远不够的，只有把所学的理论知识与实践相结合起来，从理论中得出结论，才能真正为社会服务，从而提高自己的实际动手能力和独立思考的能力。 同时，在老师的身上我们学也到很多实用的知识，在次我们表示感谢！同时，对给过我帮助的所有同学和各位指导老师再次表示忠心的感谢！ 此次课程设计，学到了很多课内学不到的东西，比如独立思考解决问题，出现差错的随机应变。 在此，感谢于老师的细心指导，也同样谢谢其他各组同学的无私帮助

2、 经验教训与建议 这次的实训让我对本专业的知识有了明确的认识，同时也发现了在这次实训中自己的不足之处，像对模拟电路的基础知识的理解不够透彻，从而导致了在电路接线过程中自己的实践能力很薄弱。 因此，通过本次实训的教训，在以后的学习中一定要注意，不能只注重当时学科的重要性，还要对以前的知识加以复习和运用，提高自己的实践动手能力，这样才会是一名合格的自动化专业的学生。

总结人：徐玉洁
2011.12.4
参考文献
[1] 张建军，嵇启春，侯媛彬. 现代控制理论基础. 北京：北京大学出版社，2006
[2] 郑大钟. 线性系统理论. 北京：清华大学出版社，1990
[3] 何衍庆等. 控制系统分析、设计和应用——MATLAB语言的应用. 北京：化学工业出版社，2002 xx
[4] 张静. MATLAB在控制系统中的应用. 北京：电子工业出版社,2007
[5] 侯媛彬，汪梅，王立琦. 系统辨识及其MATLAB仿真. 北京：科学出版社，2004
[6] 李宜达. 控制系统设计与仿真. 北京：清华大学出版社，2004