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对高中数学教学的若干思考
——以《平面向量数量积的物理背景及其含义》的教学为例
广东省东莞市第一中学 孟胜奇
（邮编 523128）
随着课程改革的逐步推行，高中课改业已在全国普遍实施，广东等四省区即将跨入第十个年头，课改理念获得广大教师的广泛认同，这是九年课改的最大收获.在实践中，教师践行课改理念，依然处于探索阶段，没有形成便于操作同时又具广泛认同的课堂教学结构，教学过程中的一些主要问题也没有形成有效的处理方式；同时，教学中许多问题还需进一步探索与深化，如对教学目标的设定，存在开放与确定两种争论；对教师主导作用和学生主体地位的认识模糊，在教学中体现不明显；学生活动存在形式大于意义的现象，作秀成分较浓；学校仅用分数评价教学效果.
种种现象说明，课改已进入微观领域，进入全面、切实、有效践行的“深水区”.这一阶段要解决的两个主要问题需要解决：一个是缺乏大量充分体现课改理念的顶层教学设计或优质教学案例；另一个是没有形成有广泛认同度的课堂教学结构（教学模式）.这两个问题不解决好，课改就难以得到真正实施.
近年来，参加广东省南粤名师大讲堂活动和一些省市级教学研讨、评优活动，其中，一个重要内容就是观摩“展示课”，因教研活动的名称不同，这样的课时而叫示范课，时而叫研讨课、观摩课，或者叫参评课，这些课是执教者对自己的教育理念、教学方法与教育技能的大展示，其中大部分课的教学组织形式含有学生合作学习、讨论、板演等环节；在这类活动中，由于学生活动相对较多，教师讲解相对较少，出现了教学容量过少、或者教学任务严重延时、或者学生活动形式化等现象.由此，引出我对高中数学教学的几点思考.
示范课、展示课、观摩课具有一定的导向作用，因此，必须是一节实用的课，即要符合实际，能落地生根，不要表演，不要华而不实；同时，也必须是一节体现执教者教育理念与教学思想的课，课堂传递的信息要与现代教育理念吻合，教学方式要有利于促进学生发展.
实际上，在很多时候，这些课变成了“表演课”，与日常教学严重脱节.所谓严重脱节，指的是执教者只有在上公开课时，才这样上课.公开课往往只考虑教学理念的体现与教学方法的时尚，而日常教学更多关注对学生解题技能的训练，也就是更多关注学生的成绩.因而，出现理念新的课不实用，实用的课又拿不出手的现象.在现时教育背景和教育管理制度下，偏向任何一方都有问题，最好的方式是将两者有机结合.
教学过程是一个复杂的过程，在进行教学设计时，要考虑教学内容、教学目标、学情、教学方法等多种因素，并且要在规定的时限内有效地完成教学任务.
以《平面向量数量积的物理意义及其含义》的教学为例，由于该节教学内容概念多、命题多、知识容量大，教学任务繁重，因而出现两种价值取向的教学设计：一种是较为充分的学生活动，完成数量积概念、性质的教学任务，运算律及例题教学留给下一节课，这样处理，仅完成课标规定的一半任务；另一种是仅在概念生成、运算律生成部分有相对充分的学生活动，其余内容大多以问题链形式呈现，在教师不断追问的形态下通过师生互动完成了整节课的教学任务.接下来的问题是：哪种教学设计好呢？若按第一种教学设计，那么余下来的教学内容什么时间来完成？若按第二种教学设计，似乎学生活动又不够充分！也就是说，在学生充分活动与完成教学任务不能统一的时候，选择哪个？
我的选择是后者，就是完成教学任务.由于在本节课中，概念的生成过程、命题的探索过程是学生知识、能力与品质发展的良好素材，所以在备课时，我设置了诸多探索性问题组成问题链，将问题链中的主要问题交由学生探索，其它问题采用师生互动的方式逐个解决，让学生在探索过程中生成向量数量积概念、性质，类比出数量积运算律，准时完成了教学任务.
在教学后的研讨争鸣，引出了本文的话题.
一、对教学目标的思考——开放与封闭
根据现行课程标准编制的各种版本教科书，每个单元的教学任务、目标是明确的，教学内容是具体的，教学时数是一定的，也就是说，教学内容、目标和教学时数等要素构成了一个完整的封闭系统，教师在进行教学设计时，要综合考虑教学内容的难易、学情、学生活动时间等因素，预设一个流程，在教学实施过程中，要确保这个要素系统的落实.这些在以教师为中心的讲授式教学中，基本能够得到保障；但是在以学生为主体，教师为主导的课程理念下，由于学生知识程度、能力、心理等因素，往往使得学生活动的耗时具有不可掌控性，出现课堂严重延时或者远不能完成教学目标等现象.因而，有人提出开放式教学，就是根据学情，教学进行到那里，就到那里结束，目标与任务的达成呈现随机状态.
例如，在人教版必修四第三章《平面向量数量积的物理意义及其含义》一节课中，教师采用学案教学，学生演算时间过多，甚至让学生做一些力不能及的工作，如证明数量积的运算律中的数乘交换律和分配律，其证明是本节课的难点，教师在无任何提示的情况下让学生动手，学生无所适从，种种原因导致本节课严重超时但还未完成教学任务.
那么，下来的问题是，剩下的教学任务在什么时间来完成？如果这一个例成为常态，会否挤占学生过多时间？显然，完全的开放式教学不符合中学实际.教学工作的首要任务是在规定的时间里完成教学任务，在此前提下，教师在备课时，对教学内容进行恰当处理，设计出合理的教学流程.
学科的课时是有限的，没有每课时教学目标的圆满完成，就很难有阶段目标的完成和课程目标的实现.因此，提倡开放式目标是不现实的.
二、对师生地位的思考——主导与主体
教师主导作用和学生主体地位通常被认为是教学活动的“双中心”，教师的主导作用体现在预设精炼的问题，并以问题链推动学生思考，主导不是灌输，而是导引、激励；学生的主体地位体现在积极主动思考、探索上.
在实践操作中，有的教师把学生主体地位理解为学生的动嘴、动手活动，从而出现一些徒有形式的所谓学生活动，如一节课搞四五次形式上的合作讨论，或者在讲台上板演练习，或者在学案上演算；学生活动的形式有了，偏偏没有在学生活动的要点上下功夫，没有抓住知识生成与发展这一关键，之所以出现捡了芝麻，丢了西瓜的现象，原因在于没有抓住教学重点.
现在，有些地方实施学案导学，把学案变成了概念、公式得摘录本，练习的演练本，把机械地移抄和练习当作“主体”地位的体现，失却了知识生动活泼的生成、发展过程，把识记变成了记忆.学生主体地位的体现不是看学生是否在动，而是看其动的是否有价值、有意义.
在数学中，概念课的关键在于该概念的抽象、概括过程以及定义过程，经历该过程，对于学生形式化思维的训练具有重要作用，是发展创新意识和提升创新能力的重要材料；数学定理、公式及其一些重要命题的形成是培养学生类比、归纳、推理论证能力和探究能力的优质材料.对于这些课的教学，不宜采用预习、讲授等方式进行教学，要将知识生成、发展的过程精心设计成问题链，以问题链激发学生不断地探究.
例如，在《平面向量数量积的物理意义及其含义》的教学中，我将数量积这一概念及其性质、运算律的生成设置了以下问题链，组织学生讨论：
问题1.在前面的学习中，学习了向量的哪几种运算？其运算结果是一个实数还是向量呢？向量与向量之间的运算除了加法和减法外，是否能进行“乘法”运算呢？
问题2.力和位移在物理学中叫做矢量，从数学角度看是向量.那么，如果要规定向量的一种“乘法”运算，我们又将怎样规定较为合理？这个“乘法”运算的可能结果是什么？
问题3.前面说过，平面向量的数量积定义有丰富的几何内涵，而在几何中，平行与垂直是最重要的两种形态，那么，在数量积中，若两个向量平行或者垂直，会有什么结论呢？一般地，设两个向量的夹角为θ，注意到余弦函数的有界性，可得到什么结论？
问题4.每一种运算都有自己的运算律，如实数的乘法运算就有交换律、结合律和分配律.那么，平面向量的数量积作为一种新的运算，又有哪些运算律呢?怎样研究其运算律？
教师启发：数量积是位移的数量与力在位移方向上分力的数量的乘积，可以看作是两个向量的“乘积”，因此，类比实数运算律来探究数量积的运算律.
此问题链中的各个问题，紧紧抓住知识生成的关键设问，激发学生不断探索.
三、对教学方式的思考——讲授与探究
《高中数学课程标准》指出，学生对数学概念、结论、技能的学习不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还提倡自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式.《标准》并没有割裂其倡导的学习方式与传统学习方式，从语句表述上看是一种并列关系；在常态教学中，教师大多依然采用讲授式教学，只是更多注重对问题的剖析，重视暴露思维过程和师生互动；客观地说，高中数学教学离不开讲授式教学法，这与教学内容的难度、学情等密切相关，问题的关键在于讲什么？怎么讲？讲授与探究，哪种方式更好，这完全要视教学内容的难度和学情而定，不能一概而论；一节课，有的内容可以组织学生探究发现，有的内容就需要教师讲授解析.
教学方法的选择与执教者的教学理念、学情等因素高度相关，教师在备课时，要考虑的重要问题之一便是学情.用一个很好的教学设计进行教学，在不同群体的效果是不一样的，基础好的班可能显得过于简单，基础差的班可能推不动，这正是在信息技术高度发达的现代社会，不能由少数优秀教师上课，再由信息技术转播的主要原因之一.
学生自主探究要有合适的内容，要合乎学情.探究的内容并不一定是全程的，也可以是局部的.事实上，探究式教学分全程探究和局部探究两类，选择哪种探究方式，要考虑的关键因素是教学内容和学生实际，要有利于教学任务的完成和学生的发展.在探究式教学中，教师要将教学内容提炼成若干个梯级探究问题，形成问题链，让学生在问题链的不断解决中获得新知和能力的发展.
在《平面向量数量积的物理意义及其含义》的教学中，数量积概念、性质、运算律的生成是重点内容，可组织学生进行一定的探究，而运算律的证明是本节课的难点，尤其是分配律的证明不适合学生自主探究，可以在教师的分析引导下，理清证明思路，再由学生完成.
我主张教学活动以“问题链+核心探究”的方式展开，就是教师将学习内容设计成若干个探究问题，形成梯级问题链，层层递进，在师生互动中逐个探讨解决，对其中最具思维价值和探究意义的问题，让学生合作探究，生成结论.此种方式兼顾教师主导作用和学生主体地位双中心，有利于达成教学目标.
四、对学生活动的思考——形式与实质
学生学习活动有两种形式：一种是内蕴式的思维活动，通过一定的教学组织形式，学生在教师主导下，学生通过不断的思维活动对知识进行认知、内化，其认知结果没有外显，此时，教师无法监控学生认知效果；另一种是外显性的学生活动，学生通过纸笔、口述、板书等方式将思维结果显示，此时，教师可观察显示出来的结果，进行调节反馈.
在教学中，学生活动的主要目的在于使学生在探究过程中，获得数学知识发生、发展的体验，在体验与感悟中升华对知识发生、发展的本质的理解，提升创新意，发展创新能力.因而，要将学生探究活动置于每节课最有思维价值的一些环节，更不要作一些无意义的所谓“探究”.
例如，在平面向量数量积的新授课中，对数量积的性质的探究中，教师设置了下面问题，让学生探究：
探究题：与哪个大？试比较之.
这个探究活动设计的很有问题，一是为什么要比较两者的大小？问题来得太突兀；二是直接计算很难发现两者的大小关系.即使学生经过千辛万苦得到正确结论，但学生对这一知识点的发生、发展依然不明就里.
在示范展示课中，出现无课不合作、无课不探究、无课不动手等现象，但许多学生是有形式，无实质.关键是要做到合作的有意义、探究的有价值、手动的有效果，有利于促进学生发展.
在近年各级青年教师优质课评比活动中，往往以说课代替上课，很难展示执教者的教学素质和专业功底.执教者教学设计的可行性、教学调控能力、学科素养通过说课无法考查.
五、对教学效果的思考——能力与分数
分数是解题水平的反映，解题需要能力，也需要技能，包括解题速度、表述格式、答题技巧、分析技巧等都需要训练，就像学车一样，就那几个操作要点，非要一年半载的功夫才能做到游刃有余.能力强的人需要经过解题技能的训练才能取得高分数，高分数的人的能力不一定都强，可以通过技能训练提升考试分数.所以，以分数作为能力评价的数量标准显然欠妥.
教育就是育人，教学就是通过学生对学科知识的学习，达到在掌握进一步学习所必备的基础知识的同时，发展能力，提升品质的目的.这本与分数毫不相干，但自从用分数来衡量育人效果时就变了味，显然，对知识掌握、了解的程度可以用分数来衡量，但是，能力和品质就无法用解题所得分数来衡量，一衡量就走样，就出问题.
例如，在《平面向量数量积的物理背景及其含义》这节课中，有概念生成需要经历概括、类比、抽象等思维过程，运算律产生需要经历类比过程，对这些过程的经历而产生的体验对学生思维具有积极意义，对创新意识和探索精神的培养有重要价值.教育的真正价值就在这里.如果追求分数，忽视知识发生发展的这一生动过程，很短时间里讲授了概念和运算律，然后进行解题训练，考的分数比前者还高，但对学生发展的促进作用不大.
因此，要研究评价教学效果的科学标准，融入对学生学科主要素质和课程目标达成度的考查.
六、对示范展示的思考——个案与常态
在许多教学研讨活动中，示范或展示的课例不是执教者的常态课，而是经过精心包装的个案，是专为研讨活动而生成的个案，是教学的假象，因而不具有生命力.而具有生命力的常态课，因为教师的“主角”角色和学生的“被动”角色与教师主导作用和学生主体地位有冲突，所以不能展现出来.这样，就出现了一种怪现象——研讨时激动，回去后冷静，依然我行我素.
在现行教育制度和教学管理措施下，尤其是随着教师绩效管理的实施，许多学校将学生考试成绩作为唯一指标，不可避免地使教师追求考试成绩，因而在教学中采取缩短知识生成、发展过程的教学，加大解题教学及解题训练；但现代教育理念注重知识生成、发展的教学，让学生体验知识的生成与发展过程，从而培养学生创新意识与探索精神，提升学生创新能力，学生活动需要一定的时间保障，因而，两者之间在教学用时上产生了冲突，导致示范展示时是一种教学方式，平时教学又是另外一种方式，出现两张皮现象；也就是说，示范展示的是教学方式的个案，而不是常态的教学方式.
追求学生成绩无可厚非，这是社会需求，因为在现行高考招生体制下，忽视学生升学需求无异于自毁前程；但是，广大教师对现行高中教育的弊端认识的很清楚，面对高考，在理想与现实之间还是选择了现实.
毋庸置疑，要使研讨活动中的示范展示课具有生命力，有引领意义，就必须展示常态中的优质个案，个案必须是常态中的个案，两者不能脱节，个案不要脱离实际.有些展示、示范课采用形式上的合作学习、自主探究等有太多的作秀成分.
那么，将理想与现实能否揉合在一起？我在实践中，提出高中数学发展性教学，其核心要义就是教师将教学内容按知识的生成、发展与应用过程设计为若干个地递进的梯级问题，形成问题链，教师在教学中组织、引导学生逐个解决，从而实现教学目标.问题链中的问题是教师预设的，也可以在教学中根据当时情景，教师引导学生生成.
示范课、展示课、观摩课、研讨课，课的名称不同，但都是在教学研究活动中，为了解决某些教学问题，因此，多些实在的探讨，少些花架子，才能解决实际问题，才具有意义.
参考文献：
[1] 顾泠沅.教学改革的行动与诠释[M].地点：人民教育出版社，2004
[2] 黄荣金 李业平.数学课堂教学研究[M].地点：上海教育出版社，2010

作者简介
孟胜奇，男，东莞市第一中学数学教师，广东省特级教师，广东省基础教育系统“百千万人才工程”第四批教育专家，广东省中小学教师工作室主持人，东莞市中小学名师工作室主持人，东莞市中小学教育科研指导小组成员，市数学教育分会理事。从事中学数学教学29年来，形成了生动、思辨、探究特征显著的课堂教学风格，提出了“研究式教学法”，所上课深受学生欢迎。在《中学数学》、《中学数学教学参考》、《中学教研（数学）》、《师资建设》等省级以上刊物上发表了《反例的构造法》、《论数学教学内容的趣味性》、《解答高考数学创新题的存在问题和对策》、《中小学骨干教师专业发展力的调查分析》等论文四十篇，其中两篇被中国人民大学主办的《中学数学教与学》转载，五篇论文获得市级以上表彰奖励（一等奖），参与编写了《高中数学难点分析与攻破》（中国物质出版社）等十余本教辅资料。主持或参与了《高中数学骨干教师专业发展力的研究》（省级）等多个省市级课题研究，其中《数学发现法教学及其课堂实施策略》获广东省中小学教育创新成果二等奖，《高中学生开展“四自”教育的研究与实践》获东莞市普教成果二等奖。2012年12月在广东省教育厅主办的“南粤名师大讲堂—走进汕尾”所上的示范课《曲线与方程》受到广泛好评。目前，正在着力于构建高中数学发展性课堂的研究，其核心追求是：“为学生终身发展奠基”。
研究方向：中学数学发展性教学；地址：广东省东莞市第一中学；电话：[phone]，邮箱：gddgmsq@.
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