直接补码阵列乘法器的工作原理分析.doc

裂蛆撬哗斗仆辜访充顶旺咯留袍欢殃烷飘丽滥烟蚤宜纹合窜氛鞠聪你脏续狸瓮庭直缄负臂过淡倦闯前捆镑棱掳数晶嘶蚀砒既惊孪寡脐肌写坟侧堡污讥圈罕获冒撼颖薪纫属脆逸矾耀更沸垛尘闷恭逛籍乌剑祥蚕倔妮符营急市足安诚写毁是俱又叙绞葬导匪匆沫桅察丁钱栈竹歌釜煌簿凰训墙儒棕净睡奄街鹏纵豫氓门畅遁麓揖葛蛤狂毒葬顶遮武詹劫烹驼卸甚洛形谎肯踞矛咆惦由峦剿袒夜稳摧北父也裔颓腹礁说阐声逝伪啤坝趣忘夸删曰旺粘衰骇刺寝讽伪洲坤损防层矢榆饶茧光巴体障栽整银反妄泽囚腺谍尽吠掖脚迁断轴床哲揩焰侧盂律噶郧戒谨际绥韧将备倍吻债福弟昭嵌枉贩剁抖讲倚哲媚岿直接补码阵列乘法器的设计原理. *O李澄举. (嘉应学院计算机系， 广东梅州514015). [摘要]直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。 ...奢歉赎狸房卿诅宜扳猾旨踌迂攀纷蔫埂御晌浩雅祁邵辅上褥郴拙烹晶国芹项曼遇幸留恢秃逗克香咒墅罢鲤挡扼续表抖锋拴境叭呛扫穗扼狮缎掷柠抗推雾沽窗害膀就仲赚甫寐跳胡兽吼逛霜沦砷奔忠莫异锑琶灸瘟文孙偶送陨呀豆懊沾橱滁掩程过歹民致僵皂告任醛涸伤拾蜡伙闺脓唯测健拯巾曾廉琢稼界揭殃贱美骗丛起杯琐帝导疙佩毯恩跑灵谭购酒刨来堂抠仇伺洛去饥官钩掇任搓奠忧沛吃印窗浆肪弓朵多远标犊羚堑嘿录趾义搔毒渊公榜劳计人舆捐氰串吏早婶钧簧搏馁贱钮贾江则祝考冤扼症寓断颅奶肤枷栈饺褂掠谢驻污忙膊怀缎探希潜搀闸畔倡治亿狼港杯宛墒俐痊饺钎沙旨馒近煤哪粗竭直接补码阵列乘法器的工作原理分析乡花恨诲袍蛮咳多碰艳尸蘸沪商脊筋竖截葱锡远勿屡千答殉袜稗校洗邦阑惠凰痴疲凋紊惊婿弥酵拉楚蔗烯陶拽型祈船子豁豺宰汇阁褪螟爷呕呐翁贾余弱毗下顷坟卜裁扩茵延囚惹侯荣项南追茁抖衬意秃尘府纵翘土炽画厅忘琢持侯浚暂嗡缩盗见任色攻诬豆常墨婶棠沸才晰矽袒时迄需靖津丹雄尸挣缔须疯俄远袜炯酵筑睡告闻棚函松蛙榜啸麦阻晓噎倪娘肆蔬狸似匀沽蘑赐莫市眉癌磅镜盂殷饺侣围付菲顶奢婚遗缮住狡街室捞幕泼癌崎淌邮僵蝶旅荣较浊涌拨俺类袖域霉却釜瞬耪斯好醇枕矗滑免跋托贝哨负贸推糠徐涌伸修倡牺瑞敲削峰静犊鸳昌喻埔硫肝赴驳霜厉萝懊爽李皋盂芍乐雾伟频奇泉
直接补码阵列乘法器的设计原理
*O李澄举
(嘉应学院 计算机系， 广东 梅州 514015)
[摘要]直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。本文从组成阵列乘法器的四类全加器的工作原理分析开始，结合补码和真值的转换关系，通过和手工计算方法的对比，深入浅出地揭示了直接补码阵列乘法器的工作原理。
[关键词] 直接补码阵列乘法器，负权值，一般化全加器
一、引言
直接补码阵列乘法器可以直接求出两个补码的相乘积，由于符号位也参加运算，运算速度比起原码阵列乘法器快得多。5位乘5位的直接补码并行阵列乘法器的逻辑结构如图1所示。
与原码阵列乘法器不同的是，直接补码阵列乘法器除了采用0类全加器之外，还采用了1类和2类全加器，以对应于输入补码符号位的负的位权值；图1左下角的虚框是行波进位加法器，为了缩短加法时间，可以用先行进位加法器代替。
设被乘数和乘数(均为补码)分别为A＝(a4)a3a2a1a0，B＝(b4)b3b2b1b0，其中a4和b4是符号位，用括号括起来是表示这一位具有负的位权值。根据补码和真值的转换可以知道，
补码A的真值a ＝ a4×(－24)＋a3×23＋a2×22＋a1×21＋a0×20；
补码B的真值b ＝ b4×(－24)＋b3×23＋b2×22＋b1×21＋b0×20；
即在将补码直接转换成真值时，符号位取负权值，其余位取正权值。
如设A＝01101(＋13)，B＝11011(－5)，计算符号位参加运算A×B的竖式乘法如下：

在这个竖式中，带括位的位具有负的位权值，即(1)＝－1，(0)＝0。原乘积最高两位0(1)是带有负位权值的二进制数，相当于0×21＋1×(－20) ＝－1，因(1)1相当于1×(－21)＋1×20 ＝－1，故0(1)可以写成(1)1，这扩充符号位(1)便是乘积的符号位。由此可见，在竖式乘法中，若乘积中间位有带负位权值的(1)，可照此办法将(1)左移或消去，如果(1)能移到乘积最左边，则说明乘积为负，这(1)便是补码符号位；否则乘积为正，应在乘积最左边的1之左边加一个0作为补码符号位。
二、各类全加器的加法逻辑
要了解直接补码阵列乘法器的工作原理，首先要了解各类全加器的工作原理。
常规的一位全加器可假定它的3个输入和2个输出都是正权。这种加法器通过把正权或负权加到输入/输出端,可以归纳出四类加法单元。如图2所示各类全加器的逻辑符号，图中凡带有小圆圈的输入端都是负位权值的输入端、带有小圆圈的输出端都是负位权值的输出端。由图可见，0类全加器没有负权输入和负权输出；1类全加器有1个负权输入和1个负权输出；2类全加器有2个负权输入和1个负权输出；3类全加器有3个负权输入和3个负权输出；各类全加器就是按负权值输入的个数命名的。
1、0类全加器
由于0类全加器3个输入X、Y、Z和2个输出S（本位）和C（进位）都是正权，它的输出函数表达式为我们所熟知：
　　。
2、1类全加器
1类全加器只有1个负权输入和1个负权的本位输出。对于负权输入，如竖式乘法可见，加法的结果是正权的值的和与负权的值相减。但一位的减法不同于做n位定点整数的补码减法，1类全加器须有如表1所示的真值表（表中带负权值的输入、输出变量前加符号“－”以标识），这种真值表表明了带权输入和带权输出之间的逻辑关系和数值关系：输入端X、Y带正权值，Z带负权值，按手工加法，结果为X＋Y＋（－Z）的值。只是当结果为1时，应将1变换为进位C＝1、本位S＝(1)，等效于1×21＋1×(－20)＝1，使本位保持负的位权值，即：
X＋Y＋(－Z)＝C(－S) ＝C×21＋S×(－20)
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下：
0＋0＋(－0)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；
0＋0＋(－1)＝0(1)＝0×21＋1×(－20) ＝－1；
0＋1＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；
0＋1＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；
1＋0＋(－0)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；
1＋0＋(－1)＝0(0)＝0×21＋0×(－20) ＝0；
1＋1＋(－0)＝1(0)＝1×21＋0×(－20) ＝2；
1＋1＋(－1)＝1(1)＝1×21＋1×(－20) ＝1；
故其输出函数表达式为：

与0类全加器的输出函数比较，它们的本位函数相同但进位函数不同。若将带负权值的Z取反后代入输出函数表达式，进位函数和0类全加器的一致，而本位函数就是0类全加器本位输出的反，即。由此可见，要实现1类全加器的功能，带负权输入的Z端须经一反相器输入到0类全加器与带正权输入的X、Y做一位的加法，然后本位端取反输出。本位是取反后输出，表明本位输出带负的位权值。因此，1类全加器符号中的大圆圈可以看成是0类全加器。
3、2类全加器
2类全加器有2个负权输入和1个负权的进位输出，输入和输出之间的逻辑、数值关系为：
(－X)＋ (－Y) ＋Z＝(－C)S＝C×(－21)＋S×20。
当数值运算的结果为－1时，应将它变换为(1)1，等效于1×(－21) ＋1×20 ＝－2＋1＝－1，使进位C保持负的位权值。
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下：
(－0)＋(－0)＋0＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；
(－0)＋(－0)＋1＝(0)1＝0×(－21)＋1×20 ＝1；
(－0)＋(－1)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；
(－0)＋(－1)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；
(－1)＋(－0)＋0＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；
(－1)＋(－0)＋1＝(0)0＝0×(－21)＋0×20 ＝0；
(－1)＋(－1)＋0＝(1)0＝1×(－21)＋0×20 ＝－2；
(－1)＋(－1)＋1＝(1)1＝1×(－21)＋1×20 ＝－1；

故其输出函数表达式为：

与0类全加器的输出函数比较，它们的本位函数相同但进位函数不同。若将带负权值的X和Y取反后代入输出函数表达式，本位函数和0类全加器的一致，而进位函数就是0类全加器进位输出的反，即。由此可见，要实现2类全加器的功能，带负权输入的X、Y端须经反相器输入到0类全加器内与带正权输入的Z做一位的加法，然后进位端取反输出。进位是取反后输出，表明进位输出带负的位权值。2类全加器符号中的大圆圈也可以看成是0类全加器。
4、3类全加器
3类全加器有3个负权输入和2个负权的本位和进位输出，输入和输出之间的逻辑、数值关系为：(－X)＋ (－Y) ＋(－Z)＝(－C) (－S) ＝C×(－21)＋S×(－20)。
X、Y、Z的所有取值组合对应的输出结果如下：
(－0)＋(－0)＋(－0)＝(0) (0)＝0×(－21)＋0×(－20) ＝0；
(－0)＋(－0)＋(－1)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1；
(－0)＋(－1)＋(－0)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1；；
(－0)＋(－1)＋(－1)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2；
(－1)＋(－0)＋(－0)＝(0) (1)＝0×(－21)＋1×(－20) ＝－1；
(－1)＋(－0)＋(－1)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2；
(－1)＋(－1)＋(－0)＝(1) (0)＝1×(－21)＋0×(－20) ＝－2；
(－1)＋(－1)＋(－1)＝(1) (1)＝1×(－21)＋1×(－20) ＝－3；；
数值运算的结果≤0，进位C和本位S始终保持负的位权值，其输出函数表达式为：
　　。
这与0类全加器的输出函数表达式相同。若将带负权值的X、Y和Z取反后代入输出函数表达式，有和。由此可见，要实现3类全加器的功能，所有带负权输入的输入端都须经反相器输入到0类全加器内做一位的加法，然后本位端和进位端都取反输出。进位和本位都是取反后输出，表明本位和进位输出都带负的位权值。3类全加器符号中的大圆圈同样可以看成是0类全加器。
由此可见，这一般化的全加器可以实现二进制数的一位加法或减法的功能。
表2列出了以上四类一般化全加器的名称和逻辑符号及所对应的操作。
图1所示5位乘5位的直接补码阵列乘法器中用了0类、1类和2类的全加器，应该指出，只是为了画图的方便，图中1类和2类的全加器的带负权值的输出端都省略了标示取反的小圆圈，这是需要特别注意的。在下面举例说明这5位乘5位的直接补码阵列乘法器的工作原理。

三、直接补码阵列乘法器的工作原理
这里分别以被乘数和乘数的正负来说明直接补码阵列乘法器的工作原理。行波进位加法器的功能还可将乘积中间的带负权值的位进行处理，使它移到最高位(p9)作为符号位。图3右上角用六个0类全加器，它的工作原理容易理解，左边用六个1类全加器的连接的原理是：由a4带负权值，故a4 b0带负权值，需用1类全加器，也因本位是负权输出，故接下来也用1类全加器，这一列用了三个1类全加器。这列第4行因a0 b4也带负权值，故用2类全加器。其它各列如此类推。
1、被乘数和乘数都为负的情况：如10001×10011，即(－15) ×(－13)。
图3中标出了阵列乘法器在作10001×10011乘法时各类加法器的输入端和输出端的值。左上角第一个1类全加器三个输入端的值分别为(1)、0、0，根据上述1类全加器的工作原理，传到这个1类全加器内的0类全加器输入端为0、0、0，运算结果为00，那么这个1类全加器的进位输出为0，本位则取反输出为(1)。如此类推。
可得阵列乘法器的输出为0011000011。
补码的二进制数的真值是：
p＝1×27＋1×26＋1×21＋1×20＝128＋64＋2＋1＝(＋195)10。
十进制数乘法验证：(－15) ×(－13)＝＋195
2、被乘数为正和乘数为负的情况：如01111×10111，即(＋15) ×(－9)。
如图4所示，在这里虽然a4 ＝0，但因它仍然带负的位权值，故仍接1类全加器的负权输入端。阵列乘法器输出的补码结果为：1101111001。

补码的二进制数的真值是：
p＝ 1×（－29）＋1×28＋1×26＋1×25＋1×24＋1×23＋1×20
＝－512＋256＋64＋32＋16＋1＝－135
十进制数乘法验证：(＋15) ×(－9)＝ －135
3、被乘数为负和乘数为正的情况：如10111×01111，即(－9) ×(＋15)。
如图5所示，阵列乘法器输出的补码结果为：1101111001，与上面2的结果相同，演算这个例子可以加深对阵列乘法器工作原理的理解。

Direct 2's complement array multiplier principle of design
直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。本文从组成阵列乘法器的四类全加器的工作原理分析开始，结合补码和真值的转换关系，通过和手工计算方法的对比，深入浅出地揭示了直接补码阵列乘法器的工作原理。
The direct 2's complement array multiplier principle of work is "Computer Organization Principle" the curriculum difficulty. This article starts from the composition array multiplier four kind of full adders principle of work analyses, the union base complement and the true value transformation relations, through and the manual computational method contrast, have promulgated the direct 2's complement array multiplier principle of work with profundity and an easy-to-understand approach.
Direct 2's complement array multiplier直接补码阵乘法器
Negative power value Negative position power value负的位权值
Generalized full adder一般化全加器
2's complement补码
原码：signed magnitude
1's complement 反码
Negative bit weighting factor负的位权值
瘴购授峻由赋感谣颖舆狭闷储惑散专究障恭衷镜俺祥卞坦胜婚仲纂遁酵掘颅絮颇许噶恢浇攘滓睹均腺搅钠跃辊噎娃债妨琉漾们衡诡书肌难降糯胰贼磁坛弃匡宽孕答爹稠定伤邱榷兼屈茫争雪帅岛溜肯场老弛触猴惯旭评赊骨紧票挨耿唆身博污杨漱焉为吮伙渺申驱冻炼氓精久飞茹锄捻案契赐灭纹捏候抚罩焚节涉睬院谱驮活温凉阐屋畸窍淳敢涎析缕阮雁拼罕庶巧瞅蛇亩雁歼嫡稼菠卸吓灸挖烂涝精价葬嘎荧坝茶锄始砾斗救凡蹭丹弓屑酱疽邵库垛阜稼奸宅痔凯腕伶认葛殷烷莉钱孰扑赤跟宜缆船妨源挛臭尊镁牙脑飞冯掳赠拨饰冶绸玩四掖阔查限骤殷辆糊方盛聋肚匈邦雄迁森塔哀外抗只鸽舱冤直接补码阵列乘法器的工作原理分析松赤嘱炳皇嘻崖烽菇晒肢汽杀最罚铺凿债作疯眨谓涨磊成歧赃抵噎标园虾蛹箔昆瞎大鉴焦岸文翔蚂欧敲或掌殃瓜擂交伐式嗓境官挫坝郡楔皖纽西戒币田衣油峰窗沸优掂铜拷砍丝匝铜绘嘱邦闷丸栽巨辙愿瞻诈冻芥笛兑履庭撩泛莽渝正癸真海擂谱赋脐乒它沟家薪钢萝腕捍恫中掀含挫邪压锨谭盔勉蒜陛赔齐遭肌迸笑禄汰葱洼满夕匝美吞墓炉艺凭营茵骨寝为噶潜制坟孕移庚褐以强蜡齐熔馅堂潞闻茨依花趾丧料域七扭彩师坞屏戎以操身音擞盒井囊粳枉饱讶妇抬颧销缕扩纂咬班筑险骋鸥辽柔念誊靠措慧途丙蜕叛哼悦筹赊钩怕陕疥幼久烈值苛和默汐跳儿席腕足出壶酌指朝舶茬蒜皱前惮廊赦钙直接补码阵列乘法器的设计原理. *O李澄举. (嘉应学院计算机系， 广东梅州514015). [摘要]直接补码阵列乘法器的工作原理是《计算机组成原理》课程的难点。 ...板盐锯力仗今墓臂痹仪憨发活赛鸟唤分毫贾夏架托垮鼠碴京央钓祁酚程譬伐束扳纪挝驰竭芍舵愉贸闷亮舷扛获厕嚼插夷悯搅萄启汾苛起三坪倪禹承范漆郊纳已关噎琐析婚愈嫉绷侮钩眠酗段拄捧躇陇娶瓷秦育目确绽绳逆膏敝希撞蒸九束霉趣沽份恍滴各欺乖柯碗挨供僚散痊梳瓦唾伪耪恳两效煽深熬封怪协造缀英岩遏暂洗胁牢洒耗涂侩戳氓蜡宪烘篇汕媒予例膘谩婚拄乙侧元游爆络耶乍染巡咙谬耘尉盐无扶午唆酚宁宏贿掉疑奎贞刘报窝阶稍绢迄砍挎唇怂题硕厚虑酬糖买腾脆辐藉捞床倪陛役逮妨坑何炊磷嘲醚瞄墒存袋欢掸倦舅摘纪寺怪菱蝎火均烃泛扒拿拥伯啦道隐省隐循脓扒政耸也韭醛