《用函数观点看方程（组）与不等式》一周强化.doc

初二数学人教实验版（新）

《用函数观点看方程（组）与不等式》

一周强化
一、一周知识概述
1、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
2、一次函数与二元一次方程（组）
二、重、难点知识归纳
1、一元一次方程与一次函数的关系
　　任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
2、一次函数与一元一次不等式的关系
　　任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
3、规律总结
　　一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0和一元一次不等式的关系：函数y=kx＋b的图象在x轴上的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集.
4、一次函数与一次方程（组）
　　（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同.
　　（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点.
5、一次函数与方程（组）的应用
　　在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解.
三、典型例题剖析
例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度，按每度0.57元计费；每月用电超过100度，前100度仍按原标准收费，超过部分按每度0.50元计费.
　　（1）设月用x度电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (度)的函数关系式；
　　（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：
月份
一月份
二月份
三月份
合计
交费金额
76元
63元
45元6角
184元6角
　　问：小王家第一季度用电多少度？
分析：
（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，
　　前100度应交电费100×0.57=57元，
　　剩下的(x－100)度应交电费0.50 (x－100).
（2）从交费情况看，一、二月份用电均超过100度，三月份用电不足100度.
解：
（1）当x≤100时，y=0.57x，
　　当x>100时，y=0.5x＋7.
（2）显然一、二月份用电超过100度，三月份用电不足100度，
　　故将y=76代入y=0.5x＋7中得x=138（度）
　　将y=63代入y=0.5x＋7中，得x=112（度）
　　将y=45.6代入y=0.57x中，得x=80（度）
　　故小王家第一季度用电138＋112＋80=330（度）.
例2、用画函数图象的方法解不等式：
－2x＋3<3x－7.
分析：
　　由一次函数与一元一次不等式的关系可先将其化为一般形式，
　　再画图求解；也可以将－2x＋3与3x－7看作是两个
　　关于x的一次函数，即y1=－2x＋3，y2=3x－7．
　　于是不等式的解集即对应着y1<y2时自变量的取值.
解法1：
　　原不等式化为5x－10>0，画出直线y=5x－10如图所示，
　　可以看出x>2时这条直线上的点在x轴上方，
　　即这时y=5x－10>0，所以不等式的解集为x>2.
解法2：
　　将原不等式的两边分别看作是两个一次函数，
　　画出直线l1︰y=－2x＋3，y2=3x－7，如图所示，
　　可以看出它们的交点的横坐标为2，当x>2时，
　　对于同一个x，直线y=－2x＋3上的点在直线y=3x－7上相应的点的下方，这时－2x＋3<3x－7，所以不等式的解集为x>2.

例3、某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？
分析：
　　由于题设中商场投资情况是未知的，不能直接比较，应根据投资情况列函数解析式，分类进行比较判断.
解：
设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，
在月末出售，可获利y2元，则
y1=15%x＋10% (x＋15%x) =0.265x
y2=0.3x－700．

利用函数图象比较大小，在直角坐标系中，
作出两函数的图象如图所示，得两图象的交点坐标为（20000,5300）.
由图象知当x>20000时，y2>y1.
当x=20000时，y1=y2；当x<20000时，y2<y1.
例4、用作图象的方法解方程组
分析：
　　用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点.

解：
　　由2x－3y＋3=0得
　　由5x－3y－6=0得.
　　在同一直角坐标系中作出直线和的图象，
　　如图所示，得交点（3，3）
　　所以方程组
例5、哈尔滨市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话x分钟，两种通讯方式的费用分别为y1元和y2元，那么
　　（1）写出y1、y2与x之间的函数关系式；
　　（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；
　　（3）求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯方式费用相同；
　　（4）若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算.
分析：
　　（1）全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；（2）运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；（3）可利用方程组求解，也可以根据图象回答；（4）寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.
解：
　　（1）y1=50＋0.4x (x≥0)，y2=0.6x (x≥0)．
　　（2）图象如图所示.

　　（3）根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同.
另解：
　　当y1=y2时，得x=250，
　　即当通话250分钟时，两种通讯方式的收费相同.
　　（4）当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值．即选取全球通更合算.
　　另解：当y1=200时有0.4x＋50=200, ∴x1=375；
　　当y2=200时有0.6x=200, ．
　　显然∴选用全球通更合算．
例6、随着教学手段不断更新，要求计算器进入课堂.某电子厂家经过市场调查，发现某种计算器的供应量x1(万个)与价格y1（万元）之间的关系如图中供应线所示，而需求量x2（万个）与价格y2（万元）之间的关系如图中需求线所示.如果你是这个电子厂厂长，应计划生产这种计算器多少个？每个售价多少元，才能使市场达到供需平衡？

解：
设供应线的函数解析式为y1=k1x＋b1，需求线的函数解析式为y2=k2x＋b2，由图象知，y1的图象过点（0，60），（30，70）两点，求得，同理求得y2=－x＋80，令y1=y2得x=15，故生产这种计算器15万个，每个售价65元，才能使市场达到供需平衡.

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一、选择题
1、点A(－5, y1)，B(－2, y2)都在直线上，则y1与y2的大小关系是（　）
A．y1≤y2 B．y1=y2
C．y1<y2 D．y1>y2
2、结合正比例函数y=4x的图象回答：当x>1时，y的取值范围是（　）
A．y<1 B．1≤y<4
C．y=4 D．y>4
3、图中l1反映了某公司产品的销售收入与销售数量之间的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（　）

A．小于4件 B．大于4件
C．等于4件 D．大于或等于4件
4、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数，如图所示，由图可知不挂物体时弹簧的长度为（　）

A．7cm B．8cm
C．9cm D．10cm
5、已知一次函数y=kx＋b的图象如图所示，当x<0时，y的取值范围是（　）

A．y>0 B．y<0 C．－2<y<0 D．y<－2
6、购某种三年期国债x元，到期后可得本息和y元，已知y=kx，则这种国债的年利率为（　）
A．k B． C．k－1 D．
7、小丽的家与学校的距离为d0km，她从家到学校先以匀速v1跑步前进，后以匀速v2(v2<v1)走完余下的路程，共用t0小时.图中能大致表示小丽距学校的距离y(km)与离家时间t0(h)之间关系的是（　）

A． B． C． D．
8、蜡是非晶体，在加热过程中先要变软，然后逐渐变稀，然后全部变为液态，整个过程温度不断上升，没有一定的熔化温度，图中所示四个图象中表示蜡熔化的是（　）

A． B． C． D．
9、已知一次函数y=2x－a与y=3x－b的图象相交于x轴原点外一点，则的值为（　）
A． B．
C． D．
10、设b>a，将一次函数y=bx＋a与y=ax＋b的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（　）

A． B． C． D．
B　卷
二、解答题
11、已知直线y=2x＋1.
　　（1）求已知直线与y轴的交点坐标；
　　（2）若直线y=kx＋b与已知直线关于y轴对称，试求当x为何值时，y的值为非负数.

12、如图所示，平面直角坐标系中画出了函数y=kx＋b的图象.

　　（1）根据图象，求k，b的值；
　　（2）在图中画出函数y=－2x＋2的图象；
　　（3）求x的取值范围，使函数y=kx＋b的函数值大于函数y=－2x＋2的函数值.

13、已知一个一次函数y=kx＋b的图象经过(－3, －2), (－1, 6)两点.
　　（1）求此一次函数的解析式；
　　（2）求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积.

14、已知方程所对应的图象如图所示，试求出3a＋7b的值.

15、我市某化工厂现有甲种原料290kg，乙种原料212kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共80件.生产一件A产品需要甲种原料5kg，乙种原料1.5kg，生产成本是120元；生产一件B产品，需要甲种原料2.5kg，乙种原料3.5kg，生产成本是200元.
　　（1）该化工厂现有的原料能否保证生产？若能的话，有几种生产方案，请你设计出来；
　　（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中一种的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最低？最低生产总成本是多少？
[答案]
D D B D D D D C D B
提示：
　　1、由函数的y随x的增大而减小判断
　　3、x=4时公司既不亏空，但也不盈利.
　　4、设函数解析式为y=kx＋b，则

　　5、当x<0时，其图象应在y轴的左侧，故y<－2.
　　6、设年利率为p，则y=x＋3px，∴y=(1＋3p)x，
　　 　即k=1＋3p，
　　7、y的意义是表示小丽距学校的路程.
　　9、因为交点的横坐标为
　　10、由方程组得交点坐标为(1, a＋b)，
　　　　再根据交点坐标确定图象的位置
11：（1）当x=0时，y=1 故图象与y轴的交点坐标为（0，1）
（2）由于直线y=2x＋1与x轴的交点坐标为
　　 而直线y=kx＋b与直线y=2x＋1关于y轴对称，
　　 所以直线必过点（0，1）和
　　 ∴k=－2，b=1，∴y=－2x＋1．
12：
（1）∵函数y=kx＋b的图象过点（－2，0）、（0，2），

（2）图略
（3）由题意得x＋2>－2x＋2, ∴x>0
13：
（1）由题意得
　　 ∴所求函数为y=4x＋10．
（2）∵此函数图象交x轴于，交y轴于（0，10），
　　 ∴此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为：
14：
　　由图象可知b=0，即有一条直线为
　　同时两条直线的交点为，
　　∴方程组的解为代入方程ax－3y=5得
　　，∴a=4，所以3a＋7b=3×4＋7×0=12.
15：
（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品(80－x)件，
　　依题意得

　　解得34≤x≤36.
　　因为x为整数，所以x只能取34或35或36.该工厂现有的原料能保证生产，有三种生产方案：
　　方案一：生产A种产品34件，B种产品46件；
　　方案二：生产A种产品35件，B种产品45件；
　　方案三：生产A种产品36件，B种产品44件.
（2）设生产A种产品x件，则生产B种产品（80－x）件，y与x的关系为：
　　y=120x＋200(80－x)，即y=－80x＋16000 (x=34, 35, 36).
　　因为y随x的增大而减小，所以x取最大值时，y有最小值.
　　当x=36时，y的最小值是y=－80×36＋16000=13120.
　　即第三种方案总成本最低，最低生产成本是13120元.

中考解析
1．（武汉）如图，直线y=kx＋b，经过A（2，1），B(－1，－2)两点，则不等式的解集为_____________________.

答案：－1<x<2
解析：
　　由直线y=kx＋b，经过A（2，1），B(－1，－2)两点可得，

2．（重庆）如图，已知函数y=ax＋b和y=kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是________________________.

答案：
解析：一次函数图象交点的坐标即为相应方程组的解．
3．（武汉）如图，已知函数y=3x＋b和y=ax－3的图象交于点P（－2，－5），则根据图象可得不等式3x＋b>ax－3的解集是_______.

答案：x>－2
解析：
　　由图象知，当x>－2时，y=3x＋b所对应的y值大于y=ax－3对应的y值，或者y=3x＋b的图象在x>－2时，位于y=ax－3的图象上方．
4、（济南）星期天，数学张老师提着蓝子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋（如图所示），当张老师往篮子拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤，即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱.她是怎样知道摊主少称了大约1斤鸡蛋的呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来，由此你受到什么启发（请用一至两句话，简要叙述出来）？

分析：
　　 此题若不认真思考，很容易被这一生活现象所迷惑.事实上，只要借助函数的有关知识，考生就不难理解数学张老师对摊主的要求是合情合理的．
解：
　　（1）设摊主称得鸡蛋的重量为x斤，鸡蛋的实际重量为y斤.
　　不难发现鸡蛋的实际重量y（斤）是摊主称得x（斤）的正比例函数.
　　∵篮子的实际重量为0.5斤，鸡蛋放入篮子后再一起称，
　　增量为10.55－10=0.55斤，

　　10－9=1斤，
　　∴摊主少称了大约1斤鸡蛋.
　　（2）叙述略.要求所叙述的内容能体现出数学在实际生活中的实用价值，有应用数学知识解决实际问题的意识.如用数学知识保护自己的合法权益.
5、（梅州）某市的C县和D县上个月发生水灾，急需救灾物资10t和8t.该市的A县和B县伸出援助之手，分别募集到救灾物资12t和6t，全部赠送给C县和D县．已知A、B两县运货到C、D两县的运费（元/吨）如下表所示.
　　（1）设B县运到C县的救灾物资为xt，求总运费w关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；
　　（2）求最低总运费，并说明运费最低时的运送方法.

解：
　　（1）w=30x＋80(6－x)＋40(10－x)＋50[12－(10－x)]=－40x＋980
　　 自变量x的取值范围是：0≤x≤6.
　　（2）由（1）可知，当x=6时，总运费最低．
　　 最低总运费w=－40×6＋980=740元 .
　　 运送方法：把B县的6吨全部运到C县，再从A县运4吨到C县，A县余下的8吨全部运到D县.

课外拓展
例、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3min，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3min，上网费为每月不超过60h，按4元/小时计算，超过60h部分，按8元/小时计算.
　　（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x(h)的函数；
　　（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔70h的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？
　　（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.
解：
（1）当0≤x≤60时，
　　 当x>60时，y=60×4＋4.4x＋(x－60)×8=12.4x－240.
　　 即调整后，每月上“因特网”的费用y与上网时间t的函数关系是：

（2）资费调整前，上网70h所需费用为
　　 (3.6＋7.2)×70=756(元).
　　 资费调整后，若上网60h，则所需费用为
　　 8.4×60=504(元).
　　 因为756>504元，所以晓刚现在上网时间超过60h.
　　 由12.4x－240≤756，解得x≤80.32
　　 所以现在晓刚每月至多可上网约80.32h.
（3）设调整前所需费用为y1(元)，调整后所需费用为y2(元).
　　 则y1=10.8x,
　　 当0≤x≤60时，y2=8.4x, 10.8x>8.4x，故y1>y2；
　　 当x>60时，y2=12.4x－240，当y1=y2时，
　　 10.8x=12.4x－240, x=150;
　　 当y1>y2时，10.8x>12.4x－240, x<150;
　　 当y1<y2时，10.8x<12.4x－240, x>150.
　　 综上可得：当x<150时，调整后所需费用较少；
　　 当x=150时，调整前后所需费用相同；
　　 当x>150时，调整前所需费用较少.

-END-