垂经定理.doc

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课题：垂直于弦的直径
【学习目标】
1．探索并了解圆的对称性和垂径定理．
2．能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题．
【学习重点】
垂径定理、推论及其应用．
【学习难点】
发现并证明垂径定理．
情景导入　生成问题
1．请同学们把手中圆对折，你会发现圆是一个什么样的图形？
答：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是圆的对称轴．
2．请同学们再把手中圆沿直径向上折，折痕是圆的一条什么呢？通过观察，你能发现直径与这条折痕的关系吗？
答：折痕是圆的一条弦，直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
自学互研　生成能力

阅读教材P81，完成下面的内容：
根据教材P81探究及其证明过程可知通过证明△OAA′是等腰三角形，再由AA′⊥CD，即可得出AM＝MA′.即CD是AA′的垂直平分线，从而得出圆是轴对称图形．
归纳：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴．

阅读教材P81～P82上面的文字，完成下面的内容：
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：

如图，∵在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于点E.
∴EA＝EB，＝，＝．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
用几何语言表示：
如图，∵在⊙O中，CD是直径，若AE＝EB.
∴CD⊥AB，＝，＝．

范例：如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米？
解：连接OA
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°
在Rt△OAD中，设⊙O的半径为R，则
OA＝OC＝R，OD＝5－R.
由勾股定理，得：OA2＝AD2＋OD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
故圆拱形门所在圆的半径为2.6米．

变例：如图，D、E分别为弧、的中点，DE交AB、AC于M、N.求证：AM＝AN.
证明：连接OD、OE分别交AB、AC于点F、G.
∵D、E分别为弧、的中点，
∴∠DFM＝∠EGN＝90°.
∵OD＝OE，
∴∠D＝∠E.
∴∠DMB＝∠ENC.
而∠DMB＝∠1，∠ENC＝∠2，
于是∠1＝∠2，故AM＝AN.
交流展示　生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一　圆的轴对称性
知识模块二　垂径定理及其推论
当堂检测　达成目标
【当堂检测】
1．如图，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为(　D　)
A．4　　　　　B．8　　　　　C．2　　　　　D．4
(第1题图)　(第2题图)　(第3题图)
2．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为4．
3．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8cm，AC＝6cm，那么⊙O的半径OA长为5cm．

4．如图，⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF.
∵AE＝2，EB＝6，∴AB＝AE＋EB＝2＋6＝8.
∴OA＝4，∴OE＝OA－AE＝4－2＝2.
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1.
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝2.
【课后检测】见学生用书
课后反思　查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
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