高三数学-函数专题-学案-新人教A版.doc

函数专题

1函数f（x）及函数g（x）的图象分别如图1、图2所示，则函数y= f（x）·g（x）的图象大致是（ ）

解：选（B）。先考虑函数y= f（x）·g（x）是一个奇函数，再考虑函数
y= f（x）·g（x）的定义域是{x|x∈R且x≠0}。

解：选（D）。

4.过点（1，3）作直线l,若直线l过点（a,0）和（b，0），且a、b∈N*
，则可以作直线l的条数为：（ ）
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D）多于3条

5（03江苏卷）。O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
解：选（B）。
6.在△ABC中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1 ,则∠C的大小为：（ ）
（A） 30° （B）150° （C）30°或150° （D）60°或120°
解：选（A）。两式平方相加得：25+24sin(A+B)=37 ,∴sin(A+B)=
∴∠C=30°或∠C=150°。
当∠C=150°时，∠A<30°, ∴3sinA+4cosB<
7．已知为：（ ）
(D) 1
解：
本题选（B）。
8.把曲线ycosx +2y –1=0先沿x轴向右平移个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到曲线方程为：（ ）
（A）（1-y）sinx+2y-3=0 （B）（y-1）sinx+2y-3=0
（C）（1+y）sinx+2y+1=0 （D）-（1+y）sinx+2y+1=0
解：选（C）。
9.a1 、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1 x2+b1x+c1＞ 0；和不等式a2x2+b2x+c2＞ 0的解集分别为M和N，那么是M=N的（ ）。
（A） 充分而非必要条件 （B）必要而非充分条件
（C） 充要条件 （D）既非充分也非必要条件
解：选（D）。
10.设函数f（x）=x3+x （x∈R）当时，f（msin）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的范围是：（ ）
（A）（0，1） （B）（C）（D）
解：选（D）。由于f（x）=x3+x是奇函数且是单调增函数，所以f（msin）+f（1-m）＞0可以转化为f（msin）＞-f（1-m），即f（msin）＞f（m-1）
所以msin＞m-1；再利用sin在是的有界性去求m的范围。
11.椭圆上有n个不同的点P1、P2……Pn ，F是右焦点，
﹛|PiF|﹜（i=1，2，……n）组成公差为d的等差数列，若d∈，
则n的最大值为：（ ）
（A）201 （B）200 （C）101 （D）100
解：选（B）。由椭圆的性质得，﹛|PiF|﹜（i=1，2，……n）中，最小值为
|P1F|=1，最大值|PnF|=3，由于|PnF|=|P1F|+（n-1）d ；所以3=1+（n-1）d
∴（n-1）d=2 ，∵d∈，∴n﹤201,故n的最大值为200。
12.给出平面区域如图所示，若使目标函数z=ax+y（a＞0）取的最大值的最优解有无数多个，则a的值为　　　　　　。
解：a的值为。
14.椭圆的两个焦点为F1和F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率为；（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：选（C）。
由题意得，（2a-c）2 +c2=(2c)2
∴4a2-4ac-2c2=0, ∴2-2e-e2=0;
∴e2+2e-2=0;因此e可求。
注意椭圆离心率0＜e＜1。

15. 对任意实数a∈[-1，1]，函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是： （ ）
（A） 1＜x＜3 （B）1＜x＜2 （C）x＜1或x＞2 （D）x＜1或x＞3
解：选（D）。由题意可知：f（-1）＞0且f（1）＞0
16．设偶函数f（x）=loga|x-b|在上递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是： （ ）
（A）f（a+1）＞f（b+2） （B）f（a+1）≥f（b+2）
（C）f（a+1）＜f（b+2） （D）f（a+1）≤f（b+2）
解：选（A）。先有偶函数f（x）=loga|x-b|求b=0。 即f（x）=loga|x|，又因为它在上递增，所以它的图象如图，易判断0＜a＜1 。

17.方程f（x）=x的根称为函数f（x）的不动点，若函数f（x）=
有唯一不动点，且x1=1000，xn+1=（n∈N*），则x2003= 。
解：x2003=2001。由题意得，=x，于是x=0或x=，而该函数有唯一不动点，所以=0，∴a=。∴f（x）=，
∴f（）=，∵xn+1=，∴xn+1=，
∴xn+1-xn=，
于是x2003=x1 +（2003-1）×=1000 +（2003-1）×=2001。
18.已知f（x）=ax2+bx+c（a＞0）且方程f（x）=x无实根，则
f﹛f﹝f（x）﹞﹜与x之间的大小关系是：（ ）
（A） f﹛f﹝f（x）﹞﹜≥x （B）f﹛f﹝f（x）﹞﹜＞x
（C） f﹛f﹝f（x）﹞﹜＜x （D）无法确定
解：∵方程f（x）=x无实根，∴ax2+（b-1）x+c=0的⊿＜0，
这说明g（x）=f（x）- x在R上是恒为正值的，即f（x）＞x恒成立。
∴f﹛f﹝f（x）﹞﹜＞f﹝f（x）﹞＞f（x）＞x
本题选（B）。
19.某地共有10万户居民，从中随机调查了1000户，拥有彩电的调查结果如下表：
彩电
城市
农村
有
432
400
无
48
120
如果该地区城市与农村住户之比是4：6，估计该地区无彩电的农村总户数约为：（ ）
（A）0.923万户（B）1.385万户 （C）1.8万户 （D）1.2万户
解：本题选（B）。
20.若a1>0, a1≠１，an+１＝（n＝１，２，３……）
（１） 求证：an+１≠an；
（２） 令a１＝，写出a２，a３，a４，a５的值，观察并归纳出这个数列的通相公式an；
（３） 证明：存在不等于零的常数p，使｛｝是等比数列，并求出公比q的值。
解：（１）用反证法。
（２）由a１＝，得a２＝　，a３＝　，a４＝　，a５＝
观察并归纳出这个数列的通相公式an＝。
（3）∵=1+ ，又∵an+１＝
∴1+ =1+=1++=（2+p+）
∴当2+p=1，即p=-1时，1+=（1+）；显然公比q=。
22.设（a>0,b>0）的两个焦点为F1、F2，点Q为双曲线上除顶点外的任一点，过焦点F1作∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹为；（ ）
（A）椭圆的一部分 （B）双曲线的一部分
（C）抛物线的一部分 （D）圆的一部分
解：选（D）。如图：
由题意可知，|QF1|=|QM|
又∵|QF1|-|QF2|=2a ，∴|QM|-|QF2|=2a
∴|MF2|=2a，所以|OP|=a ，
∴点P的轨迹是以（0，0）为圆心，以
|OP|=a为半径的一个圆，
即x2+y2=a2（x≠±a）

23.设曲线y=与y=x+2有且只有一个公共点P，O为坐标原点，则|OP|2的取值范围是 。
解：|OP|2的取值范围是（2，4]
(1) 如图（1），利用相切得
|OP|2=5-

（2）如图（2），
可求|OP|2= 2,
（４） 如图（3），
可求|OP|2= 4。

24.设O、A、B、P为平面上的四个点，
则
（A） （B） （C） （D）
解：选（B）。
25．观察如图所示的数据三角形规律，可求出这个三角形的前10行的总和为 。

解：1540

26.若命题P：不等式|x|+|x-1|>m的解集为R，命题Q：f（x）=-（5-2m）x
是减函数，若P或Q为真命题，P且Q为假命题，则实数m的取值范围是 。
解：[1，2]（有误）

27.如图，点P是双曲线上的一点，过点P作y轴的垂线交渐近线于P、Q两点，且=17,若焦点到其中一条渐近线的距离为4，则该双曲线的方程为 。

解：。（特殊点）
28.已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必定经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2b，当静放在点A的小球（小球的半径不计）从点A沿直线击出，经椭圆壁反弹后再回到A点时，小球经过的路程是：（ ）
（A）4a （B）2（a-c） （C）2（a+c） （D）以上三种情况都有可能
解：选（D）
29.已知椭圆E：（a>b>0）以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作⊙F1，过点B2（0，b）作⊙F1的两条切线，设切点分别为点M、N
（１） 若过切点分别为点M、N的直线恰好过点B1（0，-b）时，求此时椭圆的离心率。
（２） 若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（-1），求此时椭圆的方程。
（３） 是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率在（）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由。

解：（1）椭圆的离心率为－1
（2）椭圆的方程为
（3）存在椭圆E，可求。
30（03年江苏高考试题）已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
解：选（C）
31.已知点A（1，1）、B（3，3），动点P在x轴正半轴上，若∠APB取的最大值，则点P的坐标为：（ ）
（A）（）（B）（）（C）（）（D）这样的点P不存在
解：设点P（x，0），kPA=，kPB=；

tan∠APB==
==;
;这时tan∠APB取最大值，即P（0）
32，对于函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）作代换x=g（t），则不改变函数
f（x）的值域的代换为：（ ）
（A） g（t）=2t （B）g（t）=|t|
（C）g（t）=sint （D）g（t）=log2t
解：选（D）
33，设方程x+lgx=3的根为α，[α]表示不超过α的最大整数，
则[α]为：（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：选（B）
34，设{an}是由正数组成的等差数列，{bn}是由正数组成的等比数列，且
a1=b1，如果存在某个自然数m使得a2m+1=b2m+1，则必有：（ ）
（A）am+1>bm+1（B）am+1≥bm+1（C）am+1=bm+1（D）am+1≤bm+1
解：选（B）
35,已知f（x）的定义在（-3，3）上的奇函数，当0<x<3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx的解集是：（ ）
（A）（-3，-）（0，1）（，3）
（B）（-，-1）（0，1）（，3）
（C）（-3，-1）（0，1）（1，3）
（D）（-3，-）（0，1）（1，3）
解：选（B）
36，在如图的1×6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有：（ ）
（A）90种 （B）54种 （C）45种 （D）30种

解：选（D）
37，从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率： （ ）
（A）小 （B）大 （C）相等 （D）大小不能确定
解：选（B）
随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒）的基本事件数
n=C41+ C42+ C43+ C44=4+6+4+1=15
设倒出奇数粒玻璃球为A，倒出偶数粒玻璃球为B，则
P（A）==，P（B）==
所以P（A）> P（B）.
38,已知A、B、C是△ABC的三个内角，且sinBsinC=cos2 ，则△ABC是： （ ）
（A） 等腰三角形 （B）等边三角形
（C）直角三角形 （D）等腰直角三角形
解：选（A）
39，在一天的不同时刻，经理把文件交由秘书打印，每次都将文件堆放在秘书的文件堆的上面，秘书有时间就将文件堆中的最上面的那份文件取来打印，现在有5份文件，且经理是按1、2、3、4、5的顺序交来的，在下列的顺序：①12345，②24351，③32415，④45231，⑤54321中，秘书打印文件的可能顺序是 （填上所有可能的序号）
解：①②③⑤
40，已知每条棱长都为3的直平行六面题ABCD—A1B1C1D1中，
∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体所围成的几何体的体积为：（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：选（B）

41，在某次数学考试中，学号为i（i=1，2，3，4）的同学的考试成绩
f（i）∈{85，87，88，90，93}，且满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4），
则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 种。
解：这四位同学的考试成绩的所有可能情况有70种。
42，已知△ABC的外接圆的直径为1，且角A、B、C成等差数列，若角A、B、C所对的边长为a、b、c，求a2+c2的取值范围。
解：由题意得，B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A（0<A<120°）
又因为△ABC的外接圆的直径为1，
所以a2+c2=sin2A+sin2C=+=1-(cos2A+cos2C)
=1-[cos2A+cos2(120°-A)]=1-[cos2A+cos(240°-2A)]
=1-[cos2A-cos(60°-2A)]= 1-cos(60°+2A)
又∵0<A<120° ∴0<2A<240° , 60°<60°+2A<300°
∴-1≤cos(60°+2A) < , <-cos(60°+2A)≤
<1-cos(60°+2A)≤,即 < a2+c2≤ 。
43，已知△ABC的三边AB=2，BC=3，AC=4，D是以△ABC的外接圆为大圆的球面上的一点，DA=DB=DC，则球的表面积为：（ ）
（A） （B） （C） （D）
解：选（B）
44，任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f（）>[f（x1）+f（x2）]，
称f（x）为凸函数，则下列图象中为凸函数的是：（ ）

解：选（D）
45，已知f1（x）、f2（x）是定义在（0，）的函数，且f1（x）在
（0，）上递增，设f（x）= f1（x）+f2（x），且对于（0，）上的任意两个实数x1、x2，恒有| f1（x1）-f1（x2）|>| f2（x1） - f2（x2）|.
（１） 求证：f（x）在（0，）上是增函数；
（２） 设F（x）=xf（x），a>0,b>0,求证：F（a+b）>F（a）+F（b）
证明：(1 )任意取两个实数x1、x2，使x1<x2∈（0，）
∴f（x1）-f（x2）= f1（x1）+f2（x1）- f1（x2）-f2（x2）
= [f1（x1）- f1（x2）]+[f2（x1）-f2（x2）]
又∵f1（x）在（0，）上递增，x1<x2∈（0，）
∴f1（x1）< f1（x2） ,即f1（x1）- f1（x2）<0
又∵对于（0，）上的任意两个实数x1、x2，恒有
| f1（x1）-f1（x2）|>| f2（x1）- f2（x2）|.
∴ | f2（x1） - f2（x2）|<| f1（x1）-f1（x2）|
∴ | f2（x1）- f2（x2）|< f1（x2）-f1（x1）
∴ f1（x1）- f1（x2） <f2（x1）- f2（x2）< f1（x2）-f1（x1）
由f2（x1）- f2（x2）< f1（x2）-f1（x1）得；
f1（x1）-f1（x2）+f2（x1）- f2（x2）< 0
即f（x1）-f（x2）< 0
因此f（x）在（0，）上是增函数；
（2）∵F（x）=xf（x）
∴F（a+b）=（a+b）f（a+b）=af（a+b）+bf（a+b）
又∵a>0,b>0 ，∴a+b>a , a+b>b,且f（x）在（0，）上是增函数；
∴f(a+b)>f(a),f(a+b)>f(b)
∴af(a+b)>af(a),bf(a+b)>bf(b)
∴ af(a+b)+ bf(a+b)>af(a)+ bf(b)
∴F（a+b）>af(a)+ bf(b) 即F（a+b）>F（a）+F（b）

46，已知0<a<b ,且a+b=1，则下列各式最大的是：（ ）
（A）-1 （B）1+log2a+log2b
（C）log2b （D）log2（b2-a2）
解：选（C）

47，某物理试验中，有a、b两粒子，分别位于同一直线上的A、B两点处（如图所示），|AB|=2，且它们每隔1秒必定向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率是，b粒子向右移动的概率为。
（1）求2秒后，a粒子在点A处的概率；
（2）求2秒后，a、b粒子同在点B处的概率

解：设事件A=“a粒子向左移动”， 事件=“a粒子向右移动”；
事件B=“b粒子向左移动”， 事件=“a粒子向右移动”。
则P（A）= ，P（）=，P（B）=，P（）=
（1）事件M=“2秒后，a粒子在点A处”
P（M）= P（A）·P（）+ P（）·P（A）=2××=
（2）事件N=“2秒后，a、b粒子同在点B处”
N=（B+B）
P（N）=P（ B）+P（B）
=×××+×××=
答：2秒后，a粒子在点A处的概率为；2秒后，a、b粒子同在点B处的概率为。

48，1、甲乙两人约定在6时到7时在某处会面，并约定先到者等待另一人15分钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。
解：假设甲6时x分，乙6时y分到达约会点（0≤x≤60，0≤y≤60）
则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15
建立如图所示的直角坐标系，则（x，y）的所有可能结果是边长为60的正方形内的点。而可能会面的时间由图中的阴影部分内的点所表示，由等可能性事件的性质可知：
P（A）=

49，（2001、北京、内蒙古、安徽春招12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内积累的需求量Sn（万件）近似地满足关系式Sn=（21n-n2-5）（n=1，2，3，……12），按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是：（ ）
（A）5月、6月 （B）6月、7月
（C）7月、8月 （D）8月、9月
解：选（C）
可以计算S8=8.8 ，S7=7.23 ，S6=5.67 ，S5=4.17

50，（2001年南通市高考模拟试题）在锐角三角形ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A-cos2A=，试比较b+c与2a的大小。
解法一，∵sin2A-cos2A=，∴cos2A=-，∴A=
∴B+C=， ∴C=- B
因此
=
又∵0<B< , ∴
∴ , ∴b+c≤2a.证毕
解法二，∵sin2A-cos2A=，∴cos2A=-，∴A=
又∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，
∴（b+c）2-（2a）2=b2+c2+2bc-4a2= b2+c2+2bc-4（b2+c2-bc）
= b2+c2+2bc-4b2-4c2+4bc=-3b2-3c2+6bc
=-3（b-c）2
又∵在锐角三角形ABC中，（b-c）2≥0，
∴（b+c）2-（2a）2≤0，
∴b+c≤2a.证毕

51,已知二次函数f（x）满足|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，|f（0）|≤1，
求证：当|x|≤1时，|f（x）|≤。
证明：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），m=f（-1），n=f（1），
于是∴∴
∴|f（x）|=
=
≤
≤
又∵|x|≤1，∴|f（x）|≤
∴|f（x）|≤
=|x|+1-x2 =- -（|x|-）2+
∴|f（x）|≤。证毕
52，(2001年苏州市高考模拟试题)如图，在一个密封的四面体容器中盛有水，水的体积恰为容器体积的一半，若侧棱PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=2，PB=3，PC=4。现将容器的任意一个顶点在下，其相对的面在上放置并使这个底面呈水平状态，则所有不同的方法中，水面高度的最大值为 。
解：。
53，（2003年全国高考题） 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.
在时刻：（1）台风中心P（）的坐标为
此时台风侵袭的区域是
其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

即

答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.
54，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、CC1的中点。则下列说法正确的是：（ ）
（A）是AC和MN的公垂线；
（B）垂直于AC，但不垂直于MN；
（C）垂直于MN，但不垂直于AC；
（D）和AC和MN都不垂直；

解：选（A）
55，若xR，nN*，定义E=x（x+1）（x+2）…（x+n-1），例如
E=（-4）×（-3）×（-2）×（-1）=24，则函数f（x）=xE的奇偶性为：（ ）
（A）奇函数 （B）偶函数 （C）既奇且偶函数 （D）非奇非偶函数
解：选（B）
56，映射f：A→B，若满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”。已知集合A中有4个元素，集合B中有3个元素，那么从A到B的不同的满射的个数为：（ ）
（A）24 （B）6 （C）36 （D）72
解：选（C）。C42×A33=36
57，四个人住进3个不同的房间，其中每个房间都不能空闲，则这四个人的不同住法种数为：（ ）
（A）24 （B）6 （C）36 （D）72
解：选（C）。C42×A33=36
58，如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面ABB1A1是
∠A1AB=60゜的棱形，且面ABB1A1⊥面ABC，M是A1B1上的动点，
①当M为A1B1上的中点时，求证：BM⊥AC；
②试求二面角Ａ1-BM-C的平面角最小时三棱锥M-A1CB的体积。
证明：①∵M为A1B1上的中点,
又∵侧面ABB1A1是∠A1AB=60゜的棱形，
∴BM⊥A1B1 ，A1B1//AB
∴BM⊥AB
又∵面ABB1A1⊥面ABC
∴BM⊥面ABC
又∵AC面ABC
∴BM⊥AC
②作CD⊥AB，垂足为D，
∵面ABB1A1⊥面ABC
∴CD⊥面ABB1A1
作DE⊥BM，垂足为E，则CE⊥BM
∴∠CED就是二面角Ａ1-BM-C的平面角，
在Rt⊿CDE中，
tan∠CED=
∵CD=，∴当E和D重合时，DE最大，
这时∠CED最小，M为A1B1的中点，BM=，
∴
59，过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则实数k的取值范围是：（ ）
（A）k>2 （B）-3<k<2 （C）k<-3或k>2 （D）都不对
解：选（D）。由12+22+k+4+k2-15>0可得k<-3或k>2。
又∵k2+4-4（k2-15）>0, ∴k2<;于是
因此 k的取值范围为：
60，如果函数f（x）的定义域为R，对于m、nR，恒有
f（m+n）=f（m）+f（n）-6，且f（-1）是不大于5的正整数，当x>-1时，f（x）>0，那么具有这种性质的函数f（x）= 。
（注：填上你认为正确的一个函数即可，不必考虑所有可能的情形）
解：设f（x）=kx+b，由题意可得，b=6，-1≤k<6 .
61,设Sn=1-2+3-4+……+（-1）n-1 n，则S4m+S2m+1+S2m+3（mN*）的值为（ ）
（A）0 （B）3 （C）4 （D）随m的变化而变化
解：选（B）。
可求S4m=-2m ，S2m+1=m+1 ，S2m+3=m+2，所以S4m+S2m+1+S2m+3=3
62，已知a≥0，b≥0，且a2+， （ ）
（A） （B） （C） （D）
解：选（C）。

63，已知数列中，且
（１） 试求的值，使得数列是一个常数数列；
（2）试求的取值范围，使得对任何正自然数n都成立；
（３） 若=4，设并以表示数列的前n项和，试证明：
解：（1）要使得数列是一个常数数列；且
∴an+1=an=an-1=……a2=a1，∴
解之得a1=或a1=-1（舍），因此a1=时，数列是一个常数数列。
（2）要使对任何正自然数n都成立，即恒成立，

故∴ ∴解之得：
又∵
（3）由（2）得，若 则
∴Sn=b1+b2+b3+……+bn
=
=
=
又∵
∴
∴
64, 以正方形的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好经过正方形四边的中点，则椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
解：选（D）。用椭圆的定义。
65，某大楼从一楼从二楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上二级，规定从一楼到二楼用8步走完，则上楼的不同方法有 。
解：C72+C71=28。（插空）
66，给出问题：F1、F2是双曲线=1的焦点，点P在双曲线上.若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离.某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17.
该学生的解答是否正确？若正确，请将正确二字填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内 。
解：|PF2|=17.
67，已知常数a>0，向量=（0,a）、=（1,0），经过点A（0,-a）以为方向向量的直线与经过B点（0，a）以为方向向量的直线相交与P点，其中λ∈R，试问是否存在两个定点E、F使得为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在，说明理由。
解：由题意得：
过点A（0，-a）的直线l1： ①
同样的，
过点B（0，a）的直线l2： ②
①╳②得：
两边同时除以a得，
当不存在两个定点E、F使得为定值 ；
当
于是E ，F
当
于是E ，F

68，已知函数f（t）对任意的实数x、y都有f（1）=1
f（x+y）=f（x）+f（y）+3xy（x+y+2）+3，。
（1）若t∈N，试求f（t）的表达式。
（2）满足条件f（t）=t的所有整数能否构成等差数列，若能构成等差数列，求出此数列，若不能，说明理由。
（3）若t∈N且t≥4时，f（4）≥m t+（4m+1）t+3m恒成立，求出m的最大值。
解：（1）令y=1，则f（x+1）-f（x）=f（1）+3x（x+3）+3
∴f（x+1）-f（x）=3x2+9x+4，
∴f（t）-f（t-1）=3（t-1）2+9（t-1）+4
f（t-1）-f（t-2）=3（t-2）2+9（t-2）+4
f（t-2）-f（t-3）=3（t-3）2+9（t-3）+4
f（t-3）-f（t-4）=3（t-4）2+9（t-4）+4
…………………………………………
f（2）-f（1）=3×12+9×1+4
∴f（t）-f（1）=3[12+22+……+（t-1）2]+9[1+2+……+（t-1）]+4（t-1）
∴f（t）-f（1）=3×+9×+4（t-1）
整理得：f（t）=t3+3t2-3
令x=y=0得，f（0）=-3，显然满足f（t）=t3+3t2-3
综上所述，当t∈N，f（t）=t3+3t2-3。
（2）当t取负整数时，-t∈N，所以f（-t）=-t3+3t2-3
又∵f（t-t）=f（t）+f（-t）-6t2+3
∴f（0）= f（t）-t3+3t2-3-6t2+3，于是-3= f（t）-t3+3t2-3-6t2+3
∴f（t）= t3+3t2-3
从而当t∈Z，f（t）=t3+3t2-3。
由f（t）=t得，t3+3t2-3=t，∴t3+3t2-3-t=0
∴t（t+1）（t-1）+3（t+1）（t-1）=0
即（t+1）（t-1）（t+3）=0
因此t=-1或t=1或t=-3
若满足条件f（t）=t的所有整数能构成等差数列，需满足2t2=t1+t3
易得，t1=1 ，t2=-1 ，t3=-3或t1=-3 ，t2=-1 ，t3=1
（４） 若t∈N且t≥4时，f（4）≥m t+（4m+1）t+3m恒成立，
化简整理得，（5m+1）t+3m-109≤0恒成立；
当m=时，显然成立。
当m时，不满足（5m+1）t+3m-109≤0恒成立；
当m时，4（5m+1）+3m-109≤0，解之m；于是m；
总之当m时，若t∈N且t≥4时，f（4）≥m t+（4m+1）t+3m恒成立，显然m的最大值为。
69，在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N（）四点中，函数y= a x的图象与其反函数的图象的公共点只可能是点
（A）P （B）Q （C）M （D）N
解：选（D）
70，某城市举行“市长杯”足球比赛，由全市6只企业职工业余足球队参加，比赛组委会规定：比赛采取单循环制进行，每个队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在今年即将进行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市工商银行队的可能积分值有：（ ）
（A）13种 （B）14种 （C）15种 （D）16种
解：选（C）。

由上表可知，在今年即将进行的“市长杯”足球比赛中，参加比赛的市工商银行队的可能积分值有15种，即：0分、1分、2分、3分、4分、5分、6分、8分、9分、10分、11分、12分、13分、15分。
71，设为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，若向量，且
(1) 求点的轨迹C的方程；
(2) (2)过点(0,3)作直线与曲线C交于A、B两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。
解：（1）∵，
∴
这说明点M（x，y）到两定点（0，-2）、（0，2）的距离为常数，即它的轨迹为椭圆，其中a=4，c=2，可知b2=16-4=12；
于是点的轨迹C的方程为：
(2 )假设存在这样的直线l，使四边形OABP
为矩形，
证明：由向量加法的定义可知，四边形OABP
为平行四边形，且OA⊥OB，由
得；
整理得：
由韦达定理得：
∴
= =
∴=0，整理得：
∴
72，若函数y=f（x）存在反函数，则方程f（x）=c（c为常数）：（ ）
（A）有且只有一个实根 （B）至少有一个实根
（C）至多有一个实根 （D）没有实根
解：选（C）。
定义：若函数y=f（x）的定义域为A，值域为B，对于B中的任一个元素y0，在A中有唯一的确定的元素x0与之对应，则称函数y=f（x）存在反函数。
73，若2x-3-x≥2-y-3y，则：（ ）
（A）x-y≥0 （B）x-y≤0 （C）x+y≥0 （D）x+y≤0
解：选（C）。
74，已知 ，则（x+1）2+（y+）2的最小值为 。
解：最小值为。
75，直线l被圆x2+y2-2x+4y+4=0截得的线段的长为2，将直线l沿向量平移后截得的线段的长仍为2，则直线l的方程为：（ ）
（A）4x+3y+2=0 （B）3x+4y+5=0（C）4x+3y-2=0（D）3x+4y-5=0
解：选（A）

76，已知二面角α-l-β的平面角为θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离分别是x、y。当θ变化时，点（x、y）的轨迹是下列图形中的：（ ）
解：选（D）。轨迹方程为：x2-y2=9（x＞0、y＞0）

77，设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x1∈D，存在唯一的
x2∈D，使（c为常数）成立，则称函数f（x）的定义域为D上的均值为c，给出下列四个函数：
①y=x3 ②y=4sinx ③y=lgx ④y=2x
则满足在其定义域上均值为2的所有函数是：（ ）
（A）①② （B）③④ （C）①③④ （D）①③
解：选（D）
78，一个高中研究性学习小组对2000年至2003年快餐公司的发展状况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销量的平均数情况图（如图），根据图中提供的信息可以得到这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒。

解：这三年中该地区每年平均销售盒饭 85万盒。
N=（万盒）
79，设函数f（x）=2sin（，若对于任意的x∈R，都有
f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为： （ ）
（A）4 （B）1 （C）0.5 （D）2