四边形中的最短路径.doc

第十八章 习题训练 《四边形中的最短路径问题》教学设计
课 型：复习课 设计人：邯郸市汉光中学 李志鑫
教学目标
1.知识与技能：会利用轴对称知识解决四边形中的最短路径问题；
2.过程与方法：掌握解决四边形中的最短路径问题的一般方法和思想；
3.情感态度与价值观：在解决问题的过程中领会“转化、方程、函数”等数学思想。
教学重点
利用轴对称知识、“转化、方程、函数”等数学思想解决四边形中的最短路径问题。
教学难点
利用轴对称和平移相结合，解决四边形中的最短路径问题。
学情分析
八年级学生已经学习了《平行四边形》和《一次函数》这两章的知识，已经具备了一定的数学知识基础，掌握了一定的数学解题方法，对数学探究学习过程很熟悉，能在教师的指导下较容易的通过小组合作探究解决数学问题，并获得知识。初中学生具有强烈的好奇心、求知欲和表现欲、喜欢动手动脑，他们的思维方式主要是形象思维，但已经具备了初步的逻辑思维能力和分析问题能力。学生合作探究学习及小组代表展示，结合多媒体，完全能够使学生达到既定教学目标的要求。
教 具
三角尺、多媒体课件
教学方法
1.问题教学； 2.启发教学
学习方法
1.自主学习； 2.小组合作探究学习。
教学流程
教师活动
预设学生活动
设计意图

知识链接

利用《古从军行》这首古诗带领学生回忆《轴对称》一章中学习的将军“饮马问题”，带领学生把实际问题转化成数学问题：
1．基本图形：
（1）如图1，已知直线l及其两侧A、B两点，在直线l上求作一点P，使PA+PB和最小。
B
A
l

图1
（2）如图2，已知点A,B在直线l的同一侧，在直线l上求作一点P，使得PA+PB最小。
B
A
l
l

结论：AP+PB= .
理论依据：

2.教师利用多媒体课件出示本节课的学习目标
B
A
l
P
1.学生作图并回答问题
（1）

连接AB交直线l于点P,点P即为将军饮马的位置。将军每天所走的最短路径是线段AB。
（2）

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP、PB，点P即为将军饮马的位置。将军每天所走的最短路径是线段AP和线段PB。

结论：AP+PB= A′B .
理论依据：两点之间，线段最短。

2.学生齐读学习目标

通过“将军饮马”的故事，让学生回忆最短路径中两点一线的基本模型，引导学生理解其数学本质。

明确本节课的学习目标，让学生带着目标学习。

问题学习
1.教师出示问题
数学问题
已知: 正方形OABC中, D为OC的中点，E是对角线OB上的一个动点.
问题解决：
1.若EC+ED的值最小，在图中画出点E的位置；
2.若正方形OABC的边长为2，则EC+ED的最小值是 ；
3.若 EC+ED的最小值是，求正方形的边长是多少？

2.教师板书问题3的解题过程。

3.归纳总结解决正方形中最短路径问题的步骤：
（1）利用轴对称画出最短路径；
（2）化“折”为“直”；
（3）计算，求出最小值。

学生回答问题：
1.

连接AD交OB于点E，点E即为所求。

2.线段AD的长即为EC+ED的最小值，利用正方形的性质、勾股定理求出EC+ED的最小值是

3.分析问题，利用方程思想解决问题，叙述解题过程。

教师提出问题，引导学生利用“两点一线”这一基本图形解决正方形中的最短路径问题，初步形成解决此类问题的思路。

变式练习

变式（一）：
若正方形OABC变为菱形OABC.
问题解决：
1.AB=2，∠AOC=60°，D是OC的中点，E是对角线OB上的一个动点，则EC+ED的最小值为__________．
2. EC+ED的最小值是，则菱形的边长是 .

各学习小组根据多媒体课件中出示的学习任务和学习要求进行合作探究，小组代表展示学习成果。

小组代表1：
1. 首先分析问题，在图中画出点E的位置，并化“折”为“直”，然后求出最小值。
2. 利用方程思想解决问题

通过变式（一）由正方形中的最短路径演变为菱形中最短路径的问题，让学生体会解决此类问题的通用方法。

点拨提升
变式（二）.
若正方形OABC变为矩形OABC， OA=3，OC=4，D为边OC的中点．
问题解决：
1.若E为OA边上的一个动点，则EB+ED的最小值
为 ；

2.若矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、 y轴的正半轴上。E为OA边上的一个动点，当△BDE的周长最小时，求E的坐标。

思维延伸
3.若E、F为OA边上的两个动点，且EF=1，
当四边形BDEF的周长最小时，
（1）在图中画出点E、F的位置；
（2）此时点E的坐标为( ， )，
点F的坐标为( ， ).

小组代表2：
首先分析问题，在图中画出点E的位置，并化“折”为“直”，然后求出最小值。(此时不能应用四边形自身的对称性来找对称点，所以要延长边，作出对称点，进而解决问题。)

小组代表3：
1. 在矩形上添加平面直角坐标系，求三角形周长和最小时点E的坐标，首先要明确三角形什么情况下周长和最小，把这个问题转化为两条线段和最小值的问题，把上一个问题的结论直接应用到这个问题中来；
2. 利用一次函数相关知识解决平面直角坐标系中的几何问题，在解决问题的过程中领会函数思想。

小组代表4：
1. 首先分析问题，把四边形最小和问题转化为两条线段和最小值问题（其中利用了轴对称知识和平移的知识）；
2. 利用上一个问题中的函数思想解决问题。

由正方形中最短路径问题变式成矩形中的最短路径问题，同时由原来是对角线上的动点变为矩形一条边上的动点问题，问题层层推进，考查学生对所构建模型的理解和运用，使学生很好地进行知识的迁移。

由两条线段和最小值问题到三角形周长和最小值问题，再到四边形周长和最小值问题，最终都能通过转化，归结为两条线段和最小值问题，其中利用了轴对称的性质和平移的性质，此处是个教学难点，适合利用形象的解释。通过点拨提升，引导学生理解借助平移方法解决四边形中的最短路径问题。培养学生创造性的解决问题的能力。
课堂小结

教师提出小结方向

1.解决四边形中最短路径问题的步骤；

2.解决四边形中最短路径问题的知识、方法、思想。

1. 小组归纳整理；

2. 小组代表总结发言。

归纳、梳理总结本节课的知识、技能、方法，有利于培养学生数学思想、方法、能力和对数学的积极情感。

当堂检测

1.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值
为 。

2.如图，在平面直角坐标系中，点A（1,1），点B（2,4），y轴上有一动点P，PA+PB的最小值为 .

板书设计

四边形中的最短路径

正方形OABC 变式（一）菱形OABC 变式（二）矩形OABC
问题3（解题步骤）

教学反思
本节课由四边形中两条线段和最小值问题到三角形周长和最小值问题，再到四边形周长和最小值问题，最终都能通过转化，归结为两条线段和最小值问题，其中利用了轴对称的性质和平移的性质，一节课下来，学生通过自主学习，小组合作探究学习，收获较大。变式（二）中的问题3时本节课的教学难点，聪明的学生利用了折纸的方法形象的讲解了线段平移的特点，让原本很难理解的平移变得直观易懂，突破了教学难点，通过点拨提升，学生更加深入的理解借助平移方法解决四边形中的最短路径问题的数学本质。本节课中仍然存在个别问题，需要课下小组内继续解决，解决不了的问题，教师要指导并最终解决问题。