插值法下.pptx

3 Hermite插值 不少实际问题不但要求插值不少实际问题不但要求插值函数在节点上与原来的函数相等函数在节点上与原来的函数相等（满足插值条件），而且还要求（满足插值条件），而且还要求在节点上的各阶导数值也相等，在节点上的各阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式，称满足这种要求的插值多项式，称为为Hermite插值多项式记为插值多项式记为H(x)，本节主要讨论已知节点的函数值本节主要讨论已知节点的函数值和一阶导数的情形。和一阶导数的情形。3.1 Hermite插值 设已知函数设已知函数设已知函数设已知函数y y=f f(x x)在在在在n n+1+1个互异节点个互异节点个互异节点个互异节点x x0 0,x x1 1,x xn n上的函数值上的函数值上的函数值上的函数值y yi i=f f(x xi i)(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)和导数值和导数值和导数值和导数值y y i i=f f (x xi i)()(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)，要求一个不超过要求一个不超过要求一个不超过要求一个不超过2 2n n+1+1次次次次的多项式的多项式的多项式的多项式HH(x x)，使其满足：使其满足：使其满足：使其满足：这样的这样的这样的这样的HH(x x)称为称为称为称为HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式。引例（续引例（续1）引例（续引例（续2）引例的误差估计：引例的误差估计：注意到注意到注意到注意到x x1 1是是是是HH(x x)的二阶零点，的二阶零点，的二阶零点，的二阶零点，x x0 0,x x2 2为其一阶零点，为其一阶零点，为其一阶零点，为其一阶零点，所以：所以：所以：所以：为确定为确定为确定为确定 (x x)，作辅助函数作辅助函数作辅助函数作辅助函数：当当当当t t=x x时，可选择时，可选择时，可选择时，可选择 (x x)，使使使使 (x x)=0)=0t t=x x,x x0 0,x x2 2为为为为 (t t)的一阶零点，的一阶零点，的一阶零点，的一阶零点，t t=x x1 1为二重零点。因此为二重零点。因此为二重零点。因此为二重零点。因此 (t t)共五重零点，共五重零点，共五重零点，共五重零点，反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在反复使用罗尔中值定理（对重零点也适合）可得到：存在 x x，使使使使 (4)(4)(x x)=0)=0，即即即即：由于由于由于由于HH(t t)是是是是t t 的三次多项式，的三次多项式，的三次多项式，的三次多项式，H H(4)4)(x x)=0)=0 推广至推广至n+1个点个点推广至推广至推广至推广至n n+1+1个点的个点的个点的个点的 y yi i,y y i i时，利用构造插值基函数的方法，时，利用构造插值基函数的方法，时，利用构造插值基函数的方法，时，利用构造插值基函数的方法，照上述引例，可设：照上述引例，可设：照上述引例，可设：照上述引例，可设：其中其中其中其中h hi i(x x)和和和和HHi i(x x)()(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)满足：满足：满足：满足：（1 1）h hi i(x x),),HHi i(x x)()(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)都是不超过都是不超过都是不超过都是不超过2 2n n+1+1次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式；下面分别确定下面分别确定下面分别确定下面分别确定h hi i(x x)和和和和HHi i(x x)：下面分别确定下面分别确定hi(x)和和Hi(x)：对对对对h hi i(x x)：x x=x xj j(j j i i)为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式为其二重零点，故应含有因式(x x x xj j)22(j j i i)，因此可以设为因此可以设为因此可以设为因此可以设为请注意：直观上应设请注意：直观上应设请注意：直观上应设请注意：直观上应设h hi i(x x)为：为：为：为：这样来确定这样来确定这样来确定这样来确定a a,b b较麻烦，上述引入较麻烦，上述引入较麻烦，上述引入较麻烦，上述引入l li i(x x)后，较简单。后，较简单。后，较简单。后，较简单。h hi i(x x)还应满足：还应满足：还应满足：还应满足：对对Hi(x):对对对对HHi i(x x):由于由于由于由于x x=x xj j(j j i i)为其二为其二为其二为其二重零点，重零点，重零点，重零点，x xi i为一重为一重为一重为一重零点，故可设零点，故可设零点，故可设零点，故可设:这样，代回去得这样，代回去得这样，代回去得这样，代回去得:特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当n n=1=1时，有时，有时，有时，有:两个节点的三次两个节点的三次Hermite插值多项式插值多项式因此因此因此因此n n=1=1的三次的三次的三次的三次HermiteHermite插值多项式可用标准化插值多项式可用标准化插值多项式可用标准化插值多项式可用标准化的基函数表示为：的基函数表示为：的基函数表示为：的基函数表示为：更便于上机使用，上式中更便于上机使用，上式中更便于上机使用，上式中更便于上机使用，上式中h h=x x1 1-x x0 0。通常称之为通常称之为通常称之为通常称之为“标准化标准化标准化标准化”的基函数，的基函数，的基函数，的基函数，而上述三次而上述三次而上述三次而上述三次HermiteHermite插值基函数可由其插值基函数可由其插值基函数可由其插值基函数可由其表示出：表示出：表示出：表示出：3.2误差估计误差估计和引例类似，可导出和引例类似，可导出和引例类似，可导出和引例类似，可导出HermiteHermite插值的误差估计。插值的误差估计。插值的误差估计。插值的误差估计。定理定理定理定理5.25.2设设设设x x0 0,x x1 1,x xn n为区间为区间为区间为区间 a a,b b 上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点，上的互异节点，HH(x x)为为为为f f(x x)的的的的过这组节点的过这组节点的过这组节点的过这组节点的2 2n n+1+1次次次次HermiteHermite插值多项式。若插值多项式。若插值多项式。若插值多项式。若f f(x x)在在在在 a a,b b 上上上上2 2n n+2+2连续可导，则对连续可导，则对连续可导，则对连续可导，则对 x x a a,b b 插值余项为：插值余项为：插值余项为：插值余项为：特别地，特别地，特别地，特别地，n n=1=1的的的的三次三次三次三次HermiteHermite插值插值插值插值余项为：余项为：余项为：余项为：注意注意注意注意与引例的误差估计式，与与引例的误差估计式，与与引例的误差估计式，与与引例的误差估计式，与LagrangeLagrange插值的误差插值的误差插值的误差插值的误差估计式相比较。估计式相比较。估计式相比较。估计式相比较。定理定理5.3设设设设x x0 0,x x1 1,x xn n为区间为区间为区间为区间 a a,b b 上互异节点，上互异节点，上互异节点，上互异节点，f f(x x)C C(1)(1)a a,b b，则上述则上述则上述则上述HermiteHermite插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。定理定理定理定理5.35.3证明证明证明证明（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个（反证法）假设另有一个HH(x x)与与与与HH(x x)一样，为满足相一样，为满足相一样，为满足相一样，为满足相同插值要求的同插值要求的同插值要求的同插值要求的2 2n n+1+1次次次次HermiteHermite多项式，可将多项式，可将多项式，可将多项式，可将HH(x x)视作视作视作视作f f(x x)，而而而而HH(x x)为为为为HH(x x)的的的的2 2n n+1+1次次次次HermiteHermite插插插插 值多项式，由余项公式值多项式，由余项公式值多项式，由余项公式值多项式，由余项公式则有：则有：则有：则有：HH(x x)为不超过为不超过为不超过为不超过2 2n n+1+1次多项式，次多项式，次多项式，次多项式，HH(2n+2)(2n+2)(x x)0 0于是于是于是于是HH(x x)H H(x x)0 0这表明这表明这表明这表明HermiteHermite插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。插值多项式是唯一的。推论推论推论推论1 1：不超过不超过不超过不超过2 2n n+1+1次的多项式在任意次的多项式在任意次的多项式在任意次的多项式在任意n n+1+1个互异节点上个互异节点上个互异节点上个互异节点上的的的的HermiteHermite插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。插值多项式就是其自身。对于推论对于推论对于推论对于推论2 2，事实上，可令，事实上，可令，事实上，可令，事实上，可令f f(x x)=1)=1，f f (x xi i)=0)=0，(i i=0,1,=0,1,n n)，显然显然显然显然满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。满足这组插值条件，即得结论。Hermite插值举例插值举例例例6按下表求按下表求Hermite插值：插值：Hermite插值举例（续）插值举例（续）例例7设：已知函数设：已知函数设：已知函数设：已知函数f f(x x)的如下值的如下值的如下值的如下值:f f(-1)=-2(-1)=-2，f f(0)=-(0)=-1 1，f f(1)=0(1)=0，f f (0)=0(0)=0，求不超过求不超过求不超过求不超过3 3次的次的次的次的HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式HH(x x)3.3Hermite插值的一般形式插值的一般形式求一个不超过求一个不超过求一个不超过求一个不超过n n+mm+1+1次的多项式次的多项式次的多项式次的多项式HH(x x)使得使得使得使得:与前面的讨论类似，可以证明这样的与前面的讨论类似，可以证明这样的与前面的讨论类似，可以证明这样的与前面的讨论类似，可以证明这样的HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式是唯一存在的，其余项为是唯一存在的，其余项为是唯一存在的，其余项为是唯一存在的，其余项为:这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全这里的一般形式即是在节点处的一阶导数值没有全部给出，与前面引例相似，举例说明方法。部给出，与前面引例相似，举例说明方法。部给出，与前面引例相似，举例说明方法。部给出，与前面引例相似，举例说明方法。给定给定给定给定(x xi i,y yi i)i i=0,1,2,=0,1,2,n n及及及及某些节点上的导数值（而不是全部导数值）某些节点上的导数值（而不是全部导数值）某些节点上的导数值（而不是全部导数值）某些节点上的导数值（而不是全部导数值）HermiteHermite插值插值插值插值问题的一般形式是：问题的一般形式是：问题的一般形式是：问题的一般形式是：Hermite插值一般形式（举例）例例8 按下表求按下表求Hermite插值多项式：插值多项式：解法一解法一解法一解法一：这里有这里有这里有这里有5 5个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过个条件，所以插值多项式不超过4 4次，用次，用次，用次，用构造插值基函数构造插值基函数构造插值基函数构造插值基函数h hi i(x x)()(i i=0,1,2)=0,1,2)和和和和HHi i(x x)()(i i=0,1)=0,1)的方法，它们分的方法，它们分的方法，它们分的方法，它们分别应满足：别应满足：别应满足：别应满足：例8（解法2）解法解法解法解法2 2：x x=0=0为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为为二阶零点，故可设插值多项式为 代入条件：代入条件：代入条件：代入条件：所求四次所求四次所求四次所求四次HermiteHermite插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：解法解法解法解法3:3:还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解还可直接设五次方程求解4 多项式插值的缺陷与分段插值 4.14.1多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷多项式插值的缺陷 在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，在插值方法中，为了提高插值多项式的逼近程度，常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插常常需要增加节点个数，即提高多项式的次数，当插值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼值节点增多，插值多项式的次数逐步提高时，是否逼近程度也越来越好呢？一般总认为近程度也越来越好呢？一般总认为近程度也越来越好呢？一般总认为近程度也越来越好呢？一般总认为L Ln n(x x)的次数的次数的次数的次数n n越高，越高，越高，越高，逼近逼近逼近逼近f f(x x)的程度越好，实际上并非如此。因为：的程度越好，实际上并非如此。因为：的程度越好，实际上并非如此。因为：的程度越好，实际上并非如此。因为：（1 1）节点的增多固然使插值函数）节点的增多固然使插值函数）节点的增多固然使插值函数）节点的增多固然使插值函数L Ln n(x x)在更多的地方在更多的地方在更多的地方在更多的地方与与与与f f(x x)相等，但另一方面在两个插值节点之间相等，但另一方面在两个插值节点之间相等，但另一方面在两个插值节点之间相等，但另一方面在两个插值节点之间L Ln n(x x)不不不不一定能很好地逼近一定能很好地逼近一定能很好地逼近一定能很好地逼近f f(x x)，有时差异还很大，即高次插有时差异还很大，即高次插有时差异还很大，即高次插有时差异还很大，即高次插值收敛性得不到保证。值收敛性得不到保证。值收敛性得不到保证。值收敛性得不到保证。（2 2）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严）从计算的含入误差看，高次插值可能会产生严重的误差积累，即稳定性得不到保证。重的误差积累，即稳定性得不到保证。重的误差积累，即稳定性得不到保证。重的误差积累，即稳定性得不到保证。下面分别举例说明。下面分别举例说明。下面分别举例说明。下面分别举例说明。多项式插值的缺陷举例例如，例如，例如，例如，在区间在区间在区间在区间-1,1-1,1上给定函数上给定函数上给定函数上给定函数f f(x x)=1/(1+25)=1/(1+25x x2 2)，并并并并将区间将区间将区间将区间-1,1-1,1分为分为分为分为n n等分，以等分，以等分，以等分，以P Pn n(x x)表表表表n n+1+1个节点的个节点的个节点的个节点的n n次次次次插值插值插值插值多项式，多项式，多项式，多项式，图图图图5-45-4给出了给出了给出了给出了f f(x x)及及及及P P1010(x x)的图象，从中可以看出，的图象，从中可以看出，的图象，从中可以看出，的图象，从中可以看出，P P1010(x x)在端点附近，误差很大，如在端点附近，误差很大，如在端点附近，误差很大，如在端点附近，误差很大，如f f(0.95)=0.24244(0.95)=0.24244，而而而而P P1010(0.95)=1.92363(0.95)=1.92363，并且还可画出并且还可画出并且还可画出并且还可画出P P4 4(x x)相比较，相比较，相比较，相比较，P P1010(x x)在在在在区间中间能较好地逼近区间中间能较好地逼近区间中间能较好地逼近区间中间能较好地逼近f f(x x)，比比比比P P4 4(x x)好得多，但在端点好得多，但在端点好得多，但在端点好得多，但在端点附近附近附近附近P P1010(x x)的波动很大，可以证明：的波动很大，可以证明：的波动很大，可以证明：的波动很大，可以证明：P Pn n(x x)只在只在只在只在|x x|0.726|0.726内内内内收敛于收敛于收敛于收敛于f f(x x)。在在在在0.726|0.726|x x|1|1内内内内P Pn n(x x)与与与与f f(x x)偏离很大，不收偏离很大，不收偏离很大，不收偏离很大，不收敛于敛于敛于敛于f f(x x)。高次多项式高次多项式高次多项式高次多项式插值产生的这种不收敛插值产生的这种不收敛插值产生的这种不收敛插值产生的这种不收敛现象称为现象称为现象称为现象称为龙格（龙格（龙格（龙格（RungeRunge）现象现象现象现象。yx0.5图图图图5-45-41多项式插值的缺陷举例（续多项式插值的缺陷举例（续1）再以再以再以再以LagrangeLagrange插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据插值为例，讨论其稳定性。不妨设数据y yi i误误误误差差差差 y yi i，假定计算过程中不再产生误假定计算过程中不再产生误假定计算过程中不再产生误假定计算过程中不再产生误差，此时，差，此时，差，此时，差，此时，LagrangeLagrange插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：插值多项式为：故插值的实际误差为：故插值的实际误差为：故插值的实际误差为：故插值的实际误差为：上式中右端第一项即为上式中右端第一项即为上式中右端第一项即为上式中右端第一项即为插值余项，而第二项为：插值余项，而第二项为：插值余项，而第二项为：插值余项，而第二项为：这就是节点数据的误差这就是节点数据的误差这就是节点数据的误差这就是节点数据的误差 y yi i所引起的插值误差。可见，所引起的插值误差。可见，所引起的插值误差。可见，所引起的插值误差。可见，y yi i通过插值基函数通过插值基函数通过插值基函数通过插值基函数l li i(x x)而全面扩散，而插值基函数而全面扩散，而插值基函数而全面扩散，而插值基函数而全面扩散，而插值基函数l li i(x x)在基本在基本在基本在基本插值区间插值区间插值区间插值区间 x x0 0,x xn n 内是上下波动的，在区间外，则按距离的内是上下波动的，在区间外，则按距离的内是上下波动的，在区间外，则按距离的内是上下波动的，在区间外，则按距离的n n次幂放大，如次幂放大，如次幂放大，如次幂放大，如图图图图5-55-5所示。当变大时，其波动频率与振幅也所示。当变大时，其波动频率与振幅也所示。当变大时，其波动频率与振幅也所示。当变大时，其波动频率与振幅也随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其随之增大。此时插值过程对节点数据误差非常敏感并将其放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。放大，这就是说高次插值不具有数值稳定性。（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）（紧接下屏）多项式插值的缺陷举例（续2）x0 x1x2x3x x4 4x5x6x7xy图图图图5-55-5实际上在以实际上在以实际上在以实际上在以L Ln n(x x)近似近似近似近似f f(x x)时，由误差估计式：时，由误差估计式：时，由误差估计式：时，由误差估计式：几点启示几点启示（3）因为高次插值不能用，而实际情况需要将因为高次插值不能用，而实际情况需要将给定的节点全部都用上给定的节点全部都用上(区间长度所需要），此时区间长度所需要），此时常采用常采用分段低次多项式插值。分段低次多项式插值。以上分析给我们几点启示：以上分析给我们几点启示：（1）增加节点并不一定能保证在两节点之间插增加节点并不一定能保证在两节点之间插值函值函数数 Ln(x)能很好地逼近能很好地逼近f(x)，即高次插值即高次插值（如（如7，8次上）次上）在在实际应用中很少被采用。实际应用中很少被采用。（2）插值多项式逼近插值多项式逼近f(x)时，当时，当f(x)为多项式为多项式时效果非常好，误差为零，而上述时效果非常好，误差为零，而上述Runge现象现象中中f(x)为有理函数，能否寻求用有理分式（而不用为有理函数，能否寻求用有理分式（而不用多项式）作插值函数。多项式）作插值函数。启示（启示（4）（4）由于高次插值可能不收敛，若要精度高，能由于高次插值可能不收敛，若要精度高，能否考虑寻找一否考虑寻找一新的逼近函数新的逼近函数P(x)，它不是插值函数它不是插值函数（不满足插值条件），但却仍然是一简单函数，比（不满足插值条件），但却仍然是一简单函数，比如仍为多项式，但如仍为多项式，但P(x)在在xi处不一定等于处不一定等于f(x)，而而是要求是要求在整个区间上每一点处在整个区间上每一点处P(x)都能在误差允都能在误差允许范围内逼近许范围内逼近f(x)，比如比如要求其在节点要求其在节点xi处的处的偏差偏差ri=P(xi)yi(i=0,1,2,n)按按某种标准最小某种标准最小以反映以反映所给数据的所给数据的总体趋势总体趋势，消除局部波动的影响。，消除局部波动的影响。由于高次插值不能用而引出了上面几点讨论，由于高次插值不能用而引出了上面几点讨论，对出现的对出现的问题进行分析而导致新的方法，新理论问题进行分析而导致新的方法，新理论的产生，这也正我们在后面学习中的新起点。的产生，这也正我们在后面学习中的新起点。4.2 分段多项式插值 在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低在大范围且节点较多的情况下，常采用分段低次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分次多项式插值，大致可分为两类，一类为局部化分段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直段插值，即把插值区间分段后，在每个小区间上直接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一接构造低次插值多项式，也叫简单分段插值；另一类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段类是非局部化分段插值，即在整个区间上构造分段插值多项式，如样条插值。插值多项式，如样条插值。插值多项式，如样条插值。插值多项式，如样条插值。下面介绍几种简单分段插值：下面介绍几种简单分段插值：下面介绍几种简单分段插值：下面介绍几种简单分段插值：以下几种分段插值都设为：以下几种分段插值都设为：以下几种分段插值都设为：以下几种分段插值都设为：1、分段线性插值 已知已知已知已知y yi i=f f(x xi i)(i i=0,1,=0,1,n n)，在每个子区间在每个子区间在每个子区间在每个子区间 x xi i,x xi i+1+1 上分上分上分上分别作线性插值别作线性插值别作线性插值别作线性插值(i i=0,1,=0,1,n n 1)1)。P P1 1(x x)在在在在 a a,b b 上为分段一次多项式，它满足插值条件：上为分段一次多项式，它满足插值条件：上为分段一次多项式，它满足插值条件：上为分段一次多项式，它满足插值条件：P P1 1(x xi i)=)=y yi i(i i=0,1,=0,1,n n)，在节点处连续，在节点处连续，在节点处连续，在节点处连续，P P1 1(x x)的图形为一折的图形为一折的图形为一折的图形为一折线，如图线，如图线，如图线，如图5-65-6，其几何意义就是用折线去逼近曲线，其几何意义就是用折线去逼近曲线，其几何意义就是用折线去逼近曲线，其几何意义就是用折线去逼近曲线f f(x x)。x0 x1x2x3x4x xy yo o 图图图图5-65-62、分段抛物插值、分段抛物插值 P2(x)为为a,b上的分段二次多项式，它满足上的分段二次多项式，它满足插值条件插值条件P2(xi)=yi (i=0,1,n)，在节点在节点x2k处连处连续。续。3、分段三次Hermite插值 已知已知已知已知 y yi i =f f(x xi i)，y y i i =f f (x xi i)(i i=0,1,2,=0,1,2,n n)，在每在每在每在每个子区间个子区间个子区间个子区间 x xi i,x xi+i+1 1 上作上作上作上作HermiteHermite插值插值插值插值，由，由，由，由33中式中式中式中式(5-21)(5-21)可得：可得：可得：可得：其中其中其中其中h hi i =x xi i+1+1 x xi i，0 0(x x)=(1+2)=(1+2x x)(1)(1 x x)2 2,1 1(x x)=)=x x(1(1 x x)2 2,显然显然显然显然分段三次分段三次分段三次分段三次HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式HH(x x)满足插值条件满足插值条件满足插值条件满足插值条件HH(x xi i)=)=y yi i,HH (x xi i)=)=y y i i (i i=01,2,=01,2,n n)，在节点处一阶导在节点处一阶导在节点处一阶导在节点处一阶导数连续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。数连续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。数连续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。数连续，因此密合程度较好并且为分段光滑函数。4.分段插值的余项及收敛性和稳定性分段插值的余项及收敛性和稳定性（1 1）插值余项）插值余项）插值余项）插值余项利用插值余项结果可得分段线性插值多项式利用插值余项结果可得分段线性插值多项式利用插值余项结果可得分段线性插值多项式利用插值余项结果可得分段线性插值多项式P P1 1(x x)在在在在子区间子区间子区间子区间 x xi i,x xi i+1+1 上的余项估计式。上的余项估计式。上的余项估计式。上的余项估计式。而在整个插值区间而在整个插值区间而在整个插值区间而在整个插值区间 a a,b b 上：上：上：上：同理可得对同理可得对同理可得对同理可得对分段三次分段三次分段三次分段三次HermiteHermite插值多项式插值多项式插值多项式插值多项式HH(x x)在在在在 x xi i,x xi i+1+1 上：上：上：上：在在在在 a a,b b 区间上：区间上：区间上：区间上：构造函数y=ln x在x1,10上的等距数表，应如何选取步长h，才能在利用该数表进行分段线性插值时，使误差不超过10-6/2。例例9分段插值的余项及收敛性和稳定性（续）分段插值的余项及收敛性和稳定性（续）（2）收敛性）收敛性设设f(x)在在a,b上连续，则可以证明，上连续，则可以证明，当当h0时，上述分段插值多项式时，上述分段插值多项式P1(x)，P2(x)，H(x)等都一致收敛于等都一致收敛于f(x)。（3）稳定性稳定性简单分段插值具有突出的局部性质，简单分段插值具有突出的局部性质，其每个节点至多只影响到直接衔接的两其每个节点至多只影响到直接衔接的两个子区间而不远及，因而，节点的数据个子区间而不远及，因而，节点的数据误差基本上不扩散，不放大。所以，简误差基本上不扩散，不放大。所以，简单分段插值具有高度的数值稳定性。单分段插值具有高度的数值稳定性。5 样条插值 分段插值分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地具有良好的稳定性和收敛性，有效地避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际避免了龙格现象的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其应用中占有重要地位，但是，其光滑性较差光滑性较差。前面。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续，满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有较高要求的计算问题。有较高要求的计算问题。例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，即二阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度，就阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度，就要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往往是很难提供的。为解决这一类问题，导致产生往是很难提供的。为解决这一类问题，导致产生了了样条插值。样条插值。5.1 样条函数的概念 所谓样条（所谓样条（所谓样条（所谓样条（SplineSpline）本来是工程设计中使用的一种绘图本来是工程设计中使用的一种绘图本来是工程设计中使用的一种绘图本来是工程设计中使用的一种绘图工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制工具，它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压造过程中，被用于描绘光滑的外形曲线。使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值它实际上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导点上，不仅函数自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数。数也是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数。数也是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数。数也是连续的。由此抽象出数学模型称为样条函数。则则则则称称称称S S(x x)为关于上述划分的为关于上述划分的为关于上述划分的为关于上述划分的mm次次次次样条函数。样条函数。样条函数。样条函数。给定区间给定区间给定区间给定区间 a a,b b 的一个划分的一个划分的一个划分的一个划分a a=x x00 x x1 1x xn n =b b，如果函数如果函数如果函数如果函数S S(x x)满足满足满足满足（1 1）在每个小区在每个小区在每个小区在每个小区 x xi i,x xi i+1+1(i i=0,1,=0,1,n n-1)-1)上上上上S S(x x)是是是是mm次多项式；次多项式；次多项式；次多项式；（2 2）S S(x x)在在在在 a a,b b 上具有上具有上具有上具有mm 1 1阶连续导阶连续导阶连续导阶连续导数数数数。样条函数的概念样条函数的概念(续续1）显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用“样条样条样条样条”绘绘绘绘出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。出的图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述那么，确定一个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述样条函数定义（样条函数定义（样条函数定义（样条函数定义（1 1）中知，）中知，）中知，）中知，S S(x x)在每个小区间在每个小区间在每个小区间在每个小区间 x xi i,x xi i+1+1 上是上是上是上是一个三次多项式，因此需要确定一个三次多项式，因此需要确定一个三次多项式，因此需要确定一个三次多项式，因此需要确定4 4个个个个待定常数，一共有待定常数，一共有待定常数，一共有待定常数，一共有n n个个个个小区间，故应确定小区间，故应确定小区间，故应确定小区间，故应确定4 4n n个个个个参数。由定义中条件（参数。由定义中条件（参数。由定义中条件（参数。由定义中条件（2 2），），），），S S(x x)应在应在应在应在n n 1 1个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：共有共有共有共有3(3(n n 1)1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，个条件。因此，要确定一个三次样条函数，个条件。因此，要确定一个三次样条函数，个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另增加还需要另增加还需要另增加还需要另增加4 4n n 3(3(n n 1)1)=n n+3+3 个条件。个条件。个条件。个条件。利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。称为样条插值。称为样条插值。称为样条插值。例如例如例如例如 分段线性插值是一次样条插值。分段线性插值是一次样条插值。分段线性插值是一次样条插值。分段线性插值是一次样条插值。5.2 三次样条插值已知函数已知函数已知函数已知函数y y=f f(x x)在区间在区间在区间在区间 a a,b b 上的上的上的上的n n+1+1个节点个节点个节点个节点a a=x x0 0 x x1 1x xn n=b b上的值上的值上的值上的值y yj j=f f(x xj j)()(j j=0,1,=0,1,n n)，求插值函数求插值函数求插值函数求插值函数S S(x x)使其满足：使其满足：使其满足：使其满足：（1 1）S S(x xj j)=)=y yj j(j j=0,1,=0,1,n n)；（2 2）在每小区间在每小区间在每小区间在每小区间 x xj j,x xj j+1+1(j j=0,1,=0,1,n n-1)-1)上上上上S S(x x)是三次多是三次多是三次多是三次多项式，记为项式，记为项式，记为项式，记为S Sj j(x x)；（3 3）S S(x x)在在在在 a a,b b 上二阶连续可微。上二阶连续可微。上二阶连续可微。上二阶连续可微。则则则则S S(x x)称为称为称为